Les liens entre la description th´eorique de l’´energie d’un ´ecoulement turbulent et sa descrip-tion num´erique discr´etis´ee dans un maillage Cart´esien sont tout d’abord d´etaill´es. Ensuite, la m´ethode de Rogallo est pr´esent´ee, suivie de l’ensemble des proc´edures pour g´en´erer un champ scalaire. Enfin, la m´ethode est ´etendue `a la g´en´eration de champ de sprays Lagrangien polydis-pers´es avec une densit´e locale contrˆol´ee et une fonction de distribution du diam`etre.
A.2 Champ de vitesse turbulent
Dans cette section, nous commenc¸ons par la d´efinition basique de l’´energie spectrale ¦¨§ª©¬« pour estimer l’´energie contenue dans chaque cellule divisant l’espace spectral. ¦¨§©N« est un param`etre donn´e et il peut ˆetre obtenu d’apr`es une expression analytique ou des r´esultats exp´e-rimentaux. Deux formes analytiques pour¦¨§ª©¬« sont pr´esent´ees dans ce papier.
A.2.1 R´epartition de l’´energie dans l’espace spectral
Commenc¸ons tout d’abord par quelques d´efinitions. Le spectre d’´energie ¦K§©¬« exprime, dans l’espace spectral (ou l’espace de fr´equence) ® , la quantit´e d’´energie cin´etique dans le
mode © , o`u © est le nombre d’onde. ® a le mˆeme nombre de dimensions ¯±°³² que l’espace
physique´ . Le transfert de valeurs entre® et´ est fait par une transform´ee de Fourier discr`ete [57], et les valeurs de ´ sont r´eelles alors que celles de ® sont complexes. Une g´eom´etrie cart´esienne est utilis´ee etµ·¶¹¸»º½¼¾ est la taille du domaine physique dans la direction¿. µÀ¶Á¸»º½¼¾ est divis´ee en ÂöÁ¸»º½¼¾ noeuds identiques, la largeur de chaque cellule ´etant d´efinie parÄÆÅǶÁ¸»º½¼¾t° µÀ¶Á¸»º½¼¾ÉÈxÂʶÁ¸»º½¼¾ . Dans l’espace spectral® , les longueurs ´elementairesÄË©8¶Á¸»º½¼¾ sont d´efinies selon chaque direction¿ parÄË©8¶Á¸»º½¼¾Ì°ÍÎÏÈ8µÀ¶Á¸»º½¼¾ .
On peut introduire le tenseur spectral ¢¶ÑÐÒ°|ÓÔǶ
Ó
ÔÖÕ/Ð comme l’´equivalent spectral des corr´elations de fluctuations de vitessesÔ¢¶¹¸»º½¼¾ . ÓÔ est la transform´ee de Fourier deÔ . Par d´efinition,
¦¨§©N«×°ÙØ
Í
Ú¬ÛÇÜ
¢¶Ý¶cÞ)ßáà â
o`u ßãà est la surface de la sph`ere de rayon © et Þ)ßãàä°æå8Îç©éèBÞ)© , en coordonn´ees sph´eriques (Þéßãà°ÍÎÏ©NÞ)© pour un signal 2D).
164 M´ethodes num´eriques pour la g´en´eration de champs DNS ¥~¥~¥
La densit´e spectrale ¦¨§©N« repr´esente [45] l’´energie des fluctuations contenues dans le vo-lumeê¢ë¢ìí©»âB©ãîïÞ)©)ð d´elimit´ee dans les sph`eres de rayon© et©ãîïÞ)© (Fig. PA.1.a), avecÞé©Ëñ ò . Pour d´ecrire ces fluctuations, le module et la phase doivent ˆetre d´etermin´es (valeur complexe). Une g´en´eration parfaite d’un champ turbulent impliquerait la connaissance `a la fois de l’inten-sit´e (module) et de la phase des fluctuations des sph`eres consid´er´ees. Mais cette information n’est pas connue. Par cons´equent, le probl`eme est simplifi´e grˆace aux deux hypoth`eses sui-vantes :
1. G´en´erer une turbulence homog`ene isotrope implique qu’il n’y a pas d’angle privil´egi´e pour la vitesse spectrale. Celle-ci est obtenue par une d´etermination al´eatoire des phases. 2. Le module de la vitesse spectrale, et donc celui de l’´energie, est pris constant dans une sph`ere donn´ee pour ´eviter toute hypoth`ese hasardeuse concernant les fluctuations de l’´energie.
Ainsi, avec ces hypoth`eses, le champ spectral de la vitesse d´epend seulement du rayon © et est d´etermin´e directement d’apr`es ¦K§©¬«.
A.2.2 Discr´etisation de l’espace spectral
La discr´etisation de l’espace spectral se fait en deux ´etapes : premi`erement, toujours sous un syst`eme de coordon´ees sph´eriques, nous passons d’une description continue d´ependant de l’´el´ement Þé© `a une description discr`ete avec une largeur donn´ee ÄË© . Ensuite, l’´energie est al-lou´ee `a chaque noeud cart´esien.
La description continue impliquant de connaˆıtre la distribution de l’´energie sur les surfaces sph´eriques de rayon© n’est plus utile. En effet, la discr´etisation de la courbe de densit´e spectrale implique de connaˆıtre l’´energie contenue dans le volume d´elimit´e par les deux sph`eres ßãà et ßãàBó¬ôà (fig. PA.1.a), les rayons ´etant© et© îõÄË© . L’energie contenue dans le volume sph´erique êÖëÖìö©»â÷©ÊîøÄË©)ð»°{ßãàBó¬ôàùúßãà peut s’´ecrire : ¦ à¼àBó¬ô@à °ûØ Í Ú Û Ü/üvý&Ü Û Ü Ç¶Ý¶þÞ)ßãà â
A.2 Champ de vitesse turbulent 165
Par hypoth`ese, Ƕݶ est constant `a l’int´erieur du volumeê¢ë¢ìí©»âB©ÃîúÄË©éð, ainsi :
¦ à¼àBó¬ôàÒ°ÍvÎÏ©
è
¢¶Ý¶/§©¬«ÿÄË© â (A.1)
est la relation qui relie l’´energie¦à¼àCó¬ôà et les fluctuations de vitesse spectraleÓÔǶ.
La seconde ´etape consiste `a transf´erer une description sph´erique vers un maillage Cart´esien pour l’espace spectral. Pour conserver l’´energie, les valeurs appliqu´ees `a chaque noeud Cart´esien de l’espace spectral doit repr´esenter toute l’´energie contenue dans le volume concern´e ÄËêÇàÆ°
¾
¶Á¸»º ÄË©8¶.
Tout point de l’espace spectral avec les coordonn´ees Cart´esienne suivantes §ª©éº÷â÷©
è
â÷©÷« ap-partient au volume êÖë¢ìö©»â÷©ÊîúÄ ©éð avec © ©
èº î © è è î © è ©KîÄË© . La relation entre le module de la vitesse spectrale appliqu´ee `a ce point et ¢¶¶ §©N« s’´ecrit :
Ó Ôϧª©éºnâ÷© è â÷©÷« è ° Ƕݶ §ª©¬«oÄËêÇàâ o`u© ° © èº î © è è î © è ¥
Cette expression implique, pour tout point de l’espace spectral, une relation entre le module de la vitesse et la densit´e d’´energie impos´ee¦K§©¬« :
Ó Ôϧª©NºnâB© è â÷©÷« è ° ¦K§©¬« ÍvÎÏ© è Ä êÇàâ o`u©° © è º î © è è î © è ¥ (A.2)
En ce point, le module de la vitesse est connu. Pour tout point dans l’espace spectral, les angles li´es `a l’orientation des vecteurs turbulents sont choisis al´eatoirement entre ò et ÍvÎ pour ´eviter toute direction privil´egi´ee. En dehors du fait qu’on obtient une turbulence homog`ene, cela offre la possibilit´e de g´en´erer divers champs turbulents pour un mˆeme spectre initial ¦¨§ª©¬« en modifiant les s´eries al´eatoires.
A.2.3 Orientation des vecteurs vitesses
Le module du vecteur Ó
Ô §ª©¬« ´etant connu, sa direction doit ˆetre d´efinie. Pour satisfaire la condition d’incompressibilit´e, sa direction est choisie al´eatoirement dans le plan normal au vecteur d’onde © . Prenons § º÷â è
« comme vecteurs de r´ef´erence de ce plan.Ó
Ôϧ©N« s’´ecrit donc : Ó Ôϧª©¬«°×§©N« º î㧩¬« â
166 M´ethodes num´eriques pour la g´en´eration de champs DNS ¥~¥~¥
o`u et sont deux coordonn´ees complexes `a d´eterminer. L’´equation A.2 impose une condition sur le module de ces deux composantes :
Ó Ôϧª©¬« è ° §ª©¬« è î᧩N« è ° ¦¨§ª©¬« ÍÎÏ© è ÄËêÇà ¥ Ainsi, et s’´ecrivent : ° ¦K§©¬« ÍvÎÏ© è Ä êÇà º è ! #" §q¿%$Àº«'&)( *9§$+÷« â,ú° ¦¨§ª©¬« ÍvÎç© è ÄËêÇà- º è ! '" § ¿%$ è «'*/.10 §$+n« ¥
Les trois angles $·º, $
è
et$2 sont choisis al´eatoirement dans l’intervalle ìíòNâ÷ÍÎð. Finalement, la base § º÷â è
« peut ˆetre d´etermin´ee par les relations suivantes :
º·° Ø © èº îø© è è §4365vâ~ù7398â;:Ö« â è ° ©=< º © ¥
Rogallo [65] exprime les composantes du champ de vitesse spectrale d’apr`es le module et les phases$·º , $ è et$2 de la fac¸on suivante : ÓÔº°?> Ï©¬© è îÒ©éºo© ©+ © èº î © è èA@ âÀÓÔ è °B> ùCÏ©¬©éºçîÒ© è © ©9 © èº î © è è @ âÉÓ ÔD °B>Éù §q© èº î © è è « © @ â avec ° ÓÔϧª©NºBâ÷© è â÷©÷« FE ¶HG I &)(*§4$2B« , ° ÓÔ §©éº÷â÷© è âB©JB« FE ¶KGML
*N.O0ç§4$2n« et, comme d’habitude, © ° © èº î © è è î © è .
Pour effectuer des simulations num´eriques d’´ecoulements turbulents compressibles, les condi-tions initiales des param`etres thermodynamiques doivent ˆetre reli´ees, sinon le comportement de tout l’´ecoulement serait affect´e par les ondes de pression num´eriques. En particulier, il semble n´ecessaire d’introduire les fluctuations de pression correspondantes aux structures turbulentes g´en´er´ees. Cela peut ˆetre fait facilement grˆace `a l’´equation de Poisson exprim´ee dans l’espace spectral pour les fluctuations de pression :
Ó QP ° ù7R ©8¶©9Ð © S Ô¢¶Ô)Ð ¥
De nombreuses approches sont possibles pour initialiser le champ de densit´e. Tout d’abord, l’´ecoulement peut ˆetre consid´er´e incompressible avec une densit´e uniformeR . Ensuite, le champ de temp´erature peut ˆetre d´eduit de la loi d’´etat des gaz. Une autre approche, propos´ee par Ris-torcelli et Blaisdell [64], est de consid´erer l’´evolution isentropique de l’´ecoulement. Dans ce cas, les fluctuations de densit´e sont li´ees aux fluctuations de pression.