1.1 Phase dispers´ee
1.1.1 Evolution de la surface
Afin de d´eterminer la masse de liquide quittant une goutte qui s’´evapore, il est n´ecessaire de r´esoudre les ´equations quasi-stationnaires de la m´ecanique des fluides permettant de connaˆıtre le profil des couches limites de vapeur et de temp´erature `a la surface d’une goutte. Dans un premier temps la taille de celle-ci est consid´er´ee comme constante grˆace `a une alimentation interne de la goutte en combustible.
Les ´epaisseurs de couche limite de diffusion des esp`eces et de la temp´erature, sont d´efinies respectivement |}
et|
, au del`a desquelles tous les flux et transferts li´es `a l’´evaporation de la goutte ne sont plus valables. Les propri´et´es dites ”`a l’infini” du fluide sont alors appliqu´ees :
3 ) |} .& ¡ 3c¢¤£ etV ) | T.¥[V ¢¦£ .
Un ´eventuel mouvement convectif autour de la goutte peut alors ˆetre pris en compte en mo-difiant localement l’´epaisseur de film. Pour cela, deux nombres sans dimension sont introduits :
– le nombre de Sherwood li´e `a la convection : R "! §] |} |}>¨ GIH + (1.1) o`uGIH
est le rayon de la goutte.
Ainsi, pour une goutte plac´ee dans une atmosph`ere au repos, c’est-`a-dire sans convection,|}n©
ª
, et l’on obtient la valeur th´eorique :R "! §] . – le nombre de Nusselt li´e `a la convection :
<>= ! §] | | ¨ G/H + (1.2)
lui aussi ´egal `a deux dans un ´ecoulement au repos.
En modifiant ces deux param`etres, la th´eorie de l’´evaporation d’une goutte d´evelop´ee initiale-ment pour une atmosph`ere au repos peut ˆetre ´etendue au cas d’une goutte plac´ee dans un champ convectif.
1.1 Phase dispers´ee 27
1.1.1.1 Evaporation
L’´evaporation d’une goutte peut-ˆetre repr´esent´ee grˆace `a une quantit´e normalis´ee
ap-pel´ee nombre de transfert de masse, ou plus commun´ement nombre de Spalding. Le taux d’´evaporation, n´ecessaire dans le calcul de la masse ´evapor´ee, est une variable qui d´epend du nombre de Spalding. L’´evaporation des gouttes de combustible d´epend des propri´et´es de la phase gazeuse qui les entoure (temp´erature, pression, fraction massique de combustible ga-zeux). Le param`etre de Spalding est d´efini par :
H ¨ Z + (1.3) o`u ) G .
repr´esente le rapport entre la fraction massique de combustible en tout point G tel queGIH«¬G«
|}
et la fraction massique des esp`eces autres que le combustible, `a la surface de la goutte. Le nombre de Spalding est reli´e aux flux de combustible gazeux entre la surface de la goutte (
H
) et le gaz environnant `a la position de la goutte (
3
)®4¯
.
) (fig 1.2) par la relation :
£ ¨ H + (1.4) soit : H ¨ 3 )p4¯ . Z ¨ H (1.5)
Quand la fraction massique de combustible `a la saturation
H
est plus grande que la fraction massique de combustible gazeux au voisinage de la goutte, la gouttelette s’´evapore (
° ). Dans le cas contraire,
est nul et le diam`etre reste constant. Les ´eventuels cas de condensation ne sont pas pris en compte.
En r´esolvant les ´equations de conservation de la masse et de la temp´erature `a la surface d’une goutte qui s’´evapore dans une atmosph`ere au repos, deux nombres de transfert peuvent ˆetre d´etermin´es : le nombre de transfert de masse (ou nombre de Spalding) et le nombre de transfert thermique. Pour cela, l’´equation de transport de la fraction massique d’un combustible dans un rep`ere sph´erique est utilis´ee [74], pour d´eterminer le nombre de Spalding. Une seconde ´equation, similaire est utilis´ee pour d´eterminer l’´energie des gaz autour de la goutte :
G Y`B 3 G G²± G 3 G´³ + (1.6) YCB G V G G G V G (1.7)
28 Equations de la DNS diphasique r Y = Y α α δ δ T =T Y T a/2
FIG. 1.2 – Evaporation et combustion d’une goutte. o`u YCB
est la composante radiale du vecteur vitesse du gaz environnant. Les conditions limites
appliqu´ees ici sont : µ
3 ¡ 3c¢¤£ pourG | - + 3 ¡ 3c¢¤H H pourG GIH + (1.8) et µ V¶V £ pourG G/£ + V¶V H pourG G/H
Le flux de Stephan pour la fraction massique de combustible `a la surface de la goutte s’´ecrit :
H · 3 G²¸ H tYCB H ¹ 3:¢¦H ¨ YCB H + (1.9) avec l’hypoth`ese suivante pour le coefficient de diffusion des esp`eces :
H H constante
De plus, la condition li´ee au gradient de temp´erature donne : · V G ¸ H "! ) V £ ¨ V H .& H YCB H $ &º » U ¼ + (1.10) o`u» U
est l’´energie n´ecessaire pour chauffer la goutte. Enfin, la conservation de la masse autour de la goutte permet de fermer le syst`eme d’´equation ci-dessus :
G YCB( HrGIH Y`B H ½ 9¾Q X 9 X L (1.11)
1.1 Phase dispers´ee 29
D’apr`es la relation 1.3, le flux de Stephan peut s’´ecrire : YCB H ¬ · ¿ G ¸ H + (1.12) et l’´equation 1.6 devient : G YCB ¿ G Gn± G ¿ Gc³ + (1.13) avec les conditions limites suivantes :µ
£ enG |} + H enG GIH +,ÁÀ B/Â tYCB H
En int´egrant les ´equations 1.13 et 1.7, nous obtenons : HÃG H YCB H ) ¨ H ºZI. G H G + G YCB V G V G º
Nous avons donc :
G H YCB H G G ¨ H º¬Z + (1.14) et en utilisant les relations 1.10 et 1.11 :
HrGIH Y`B H ± V ¨ V H º "! ) V £ ¨ V H . HrGIH Y`B H ³ G V G (1.15)
Apr`es avoir int´egr´e l’´equation 1.14, et en utilisant les conditions limites loin de la goutte, il vient: G H YCB H ± Z G ¨ Z |} ³ ln ± £ ¨ H ºZ ¨ H ºÄZ ³ + soit G H YCB H G |} |}Ũ G ln ± £ ¨ H ºZ ¨ H ºÄZ ³
Le flux total de masse quittant la surface vaut donc : GIH Y`B H Z ] RTÆ ! ln ) £ ¨ H ºÄZ. +
30 Equations de la DNS diphasique d’o`u GIH Y`B H Z ] RTÆ ! ln ) ZÇºÈ . (1.16)
De la mˆeme mani`ere, en int´egrant une seconde fois l’´equation 1.15, nous obtenons la relation suivante : ln ± V ¨ V H º e! ) V £ ¨ V H . HÃGIH YCB H ³ ¨ Z G HÃGIH YCB H º
D’apr`es la conditon limite enG
| , nous avons : ln ÉÊ V £ ¨ V H º Æ@Ë ) ÌÇÍÎ Ï . Ð Î B ÎmÑrÒ Ó®Î V ¨ V H º Æ@Ë ) ÌÇÍ Î Ï . Ð Î B Î ÑlÒ Ó®Î ÔÕ HÃGIH YCB H ± Z G ¨ Z | ³ De plus, quandG GIH : ln ± H Y`B H e! ºZ ³ HÃGIH YCB H ± | ¨ GIH | ³ + soit, ln ± H YCB H "! ºÄZ ³ ] <?O ! HrGIH YCB H (1.17)
Enfin, sachant que les nombres de tranfert massique et thermiques s’´ecrivent :
£ ¨ H + H YCB H e!
et que le taux d’´evaporation est d´efini par la relation
jÖ8Ø× ¼ HlGIH
YCB
H
, nous obtenons alors deux expressions pour le taux d’´evaporation:
jÖ ¼ Hà RTÆ ! ln ) ZÇºÈ . + jÖ ¼ Íe' <ÙO ! ln ) Z(ºÚT. o`u
est le diam`etre de la goutte
.
Les deux expressions du taux d’´evaporation 1.18 et 1.18 doivent ˆetre ´egales. Il est donc possible de d´eduire une relation entre les nombres de Spalding massique et thermique, `a savoir :
Û ) º¬ZI.^ÜÞÝ Ë ß à Ëá Ó Ü Ë ¨ Z (1.18)
1.1 Phase dispers´ee 31
Le temps de relaxation d’´evaporation de la goutte, d´efini par la relationz â WÞã ) G H .e ) ] GIH YCB H . devient : z â WÞã G H RTÆ ! ln ) ZÇºÚ . + (1.19) ou encore z&â Wäã R ! × RTÆ ! ln ) ZÇºÈ . + (1.20) avecG/H ' , et Ç @ R ! et
la densit´e des gouttes. La m´ethode pour d´eterminer le nombre de transfert
peut varier avec le niveau de com-plexit´e souhait´e, la pr´ecision et le coˆut de calcul. Plusieurs m´ethodes sont propos´ees ici pour calculer cette quantit´e, selon que ce nombre soit consid´er´e constant ou variable.
1.1.1.2 M´ethode de saturation (Mod`ele Saturation Full Droplet (SFD))
La relation de Clausius-Clapeyron pour le changement de phase permet de calculer le nombre de Spalding. Cette relation reste valable dans le cas o`u nous sommes loin de l’´etat
critique : å¦æ ) A H . V ç $ JPO 3 V + (1.21) o`u JPO 3
est la constante des gaz parfaits li´ee au combustible et $&
est la chaleur latente de vaporisation.
En int´egrant par rapport `a un ´etat de r´ef´erence et en consid´erant$
X L , on obtient : ln ± ¡A 3T¢ H AèBl% ³ ¨ $& JO 3 ± Z V H ¨ Z V:Bl%m ³ soit A H ¬AèBl% èéê^ë ± ¨ $ JPO 3 ± Z V H ¨ Z VcBl% ³P³ (1.22) o`u ¹A 3T¢ H ìA H etACBl%m etV:B%
sont des param`etres de r´ef´erence. La temp´erature d’´ebullition `a la pression de r´ef´erence ´egale `a l’unit´e a ´et´e utilis´ee. La temp´eratureV
H
de la gouttelette peut varier au cours du temps mais reste uniforme au sein du liquide. En effet, le coefficient de diffusion est
32 Equations de la DNS diphasique
suppos´e infini pour le liquide. Dans les simulations consid´er´ees, les flux ´energ´etiques atteignants la surface de la goutte contribuent donc `a l’´evaporation du liquide et `a l’´el´evation g´en´erale du niveau de temp´erature du liquide [24].
D’autre part, la fraction massique de combustible est d´efinie par :
H w 3 j 3 w 3 j 3 º ) Z ¨ w 3 ."j 6 + ou encore H ± ZǺ j 6 j 3 ± Z w 3 ¨ Z ³P³ Íe' + (1.23) o`u j 3 et j 6
sont les masses mol´eculaires du combustible et d’oxydant et w
3
la fraction molaire d´efinie parw
3
A
íA
. Ainsi, la fraction massique de combustible `a la surface de la goutte vaut : H ± ZǺ j 6 j 3ì± A )p4î . A H ¨ Z ³K³ Íe' avecw H 3 ìA H ïA ) w . .
1.1.1.3 Indexation artificielle de la temp´erature (IAT)
En r´esolvant le syst`eme compos´e des ´equations 1.22, 1.23, et 1.33 dans une atmosph`ere au repos, il est possible d´eterminer les param`etres de saturation `a l’interface de la goutte comme une fonction de la temp´erature, de la pression et de la fraction massique de combustible gazeux. Dans les configurations ´etudi´ees, le niveau moyen de pression reste ´egal `a Z
et les fluctuations ne sont pas suffisantes pour modifier de fac¸on significative le taux d’´evaporation des gouttes. De plus, l’´evaporation des gouttes dans un milieu dilu´e conduit `a de faibles taux de fraction massique de combustible gazeux (
3¶«
]
). Par cons´equent, la temp´erature de l’´ecoulement environnant est un param`etre fr´equent pour d´eterminer le taux d’´evaporation grˆace au nombre de transfert
)
VÁ+,AÁ+,
3
.
. Une base de donn´ees de nombre de Spalding
)
VÁ+@A+@
3
.
pour diff´erents cas a ´et´e g´en´er´ee. En premi`ere approximation, il apparaˆıt que la d´ependance en temp´erature de
pour une pression et une fraction massique de combustible donn´ees peut ˆetre consid´er´ee comme lin´eaire (fig 1.3-(a’)). Le mod`ele IAT peut ˆetre d´efini par :
) VK.&ìðÁV )p4î .ñ+ (1.24)
1.1 Phase dispers´ee 33 1.23 1.18