G´en´eration de champs scalaires turbulents

A.2.4 Retour sur l’espace physique

A ce niveau, le signal de la turbulence a ´et´e g´en´er´e dans l’espace spectral tri-dimensionnel ® . Le nombre de noeuds dans chaque direction doit ˆetre au moins ´egal `a Âʶ ÈÍ pour permettre une description efficace de toutes les structures d´ecrites par le spectre d’´energie.

Les transform´ees de Fourier inverses sont utilis´ees pour obtenir le signal de l’espace phy-sique. La proc´edure suivante doit ˆetre suivie pour obtenir les valeurs r´eelles dans l’espace´ :

1. Calcul des valeurs de l’espace spectral dans le demi espace §­©éºUT ò&« comme d´ecrit ci-dessus (valeurs complexes).

2. Transform´ee de Fourier inverse dans le demi domaine §­©éºVT ò&« selon la direction ©
(valeurs complexes).

3. Transform´ee de Fourier inverse dans le demi domaine §­©éºVT ò&« selon la direction ©

è

(valeurs complexes).

4. Initialisation du demi domaine §­©éº



ò&« tel que ÓÔϧª©Nº€«,° ÓÔ

Õ

§ÿù ©Nºÿ« . Ensuite, une trans-form´ee de Fourier inverse est r´ealis´ee selon la direction©Nº. Les phases dans le plan©éº·°ò doivent ˆetre ´egales `aò pour g´en´erer un signal r´eel dans l’espace physique.

En faisant cela, le champ g´en´er´e respecte toutes les caract´eristiques physiques sp´ecif´ees dans le spectre donn´e. La planche PA.2. montre un exemple 2D de champs turbulents g´en´er´es d’apr`es un spectre de Passot-Pouquet et d’autres d’apr`es un spectre de Pope. Le premier cr´ee seulement de grandes structures `a cause de sa forme caract´eristique simple alors que les petites structures sont d´evelopp´ees avec le second. Ces champs ont ´et´e g´en´er´es dans un espace 2D pour des raisons graphiques. En effet, pour g´en´erer un signal 2D, seule une modification de l’expression pour le volume ´el´ementaire Þ)ßãà est n´ecessaire, l’ensemble de la m´ethodologie restant la mˆeme.

A.3 G´en´eration de champs scalaires turbulents

Le principe de la g´en´eration de champ scalaire turbulent avec fonction de densit´e de proba-bilit´e impos´ee est de diffuser spatiallement les valeurs statistiques d’une PDF donn´ee : W-X‚§4Y,« associ´e au champ scalaire limit´e Y§

Å»« , sur un champ spatial illimit´e ZƧ

168 M´ethodes num´eriques pour la g´en´eration de champs DNS ¥~¥~¥

d’apr`es un spectre impos´e¦\[v§­©N« . Une proc´edure `a quatre ´etapes (fig. PA.1.b) est propos´ee : 1. Tout d’abord, un champ scalaire turbulent illimit´eZƧ

Å»« est g´en´er´e grˆace au spectre donn´e ¦\[v§­©¬«.

2. Dans une table sont ´ecrites les positions des noeuds telles que les valeurs deZƧ

Å»« soient dans un ordre croissant num´erique. Parce que le domaine est discr´etis´e, les  positions sont ordonn´ees de sorte qu’elles correspondent aux noeuds du maillage.

3. Au mˆeme moment, un ensemble de valeurs est g´en´er´e en respectant la PDF donn´ee : WX§4YÆ« . De la mˆeme fac¸on, ces valeurs sont ordonn´ees num´eriquement.

4. Pour finir, le champ Z §

Å»« est substitu´e par la valeur Y de sorte que le champ Y soit distribu´e suivant les positions ordonn´ees du champ Z .

Les d´etails de cette proc´edure `a quatre ´etapes vont ˆetre pr´esent´es. L’initialisation du champ ZƧ

Å»« est semblable `a la g´en´eration d’une composante du champ de vitesse. En supposant une r´epartition isotropique du scalaire ´energie, la relation suivante peut ˆetre ´ecrite :

Ó Z Ó Z Õ ° ¦\[v§­©¬« ÍvÎç© è ÄËê¢à â

o`u ê est le volume physique du domaine de calcul. Ainsi, le champ Ó ZƧ

©N« est construit par les relations suivantes : Ó Z{°A] ¦7[v§ª©¬« ÍvÎÏ© è ÄËêÇà F #" §q¿%^8« â

o`u ^ est une phase al´eatoire choisie dans l’intervalle ìòNâ÷̓Îð. Le champ Z §

Å»« de l’espace phy-sique est obtenu d’apr`es Ó

Z §

©¬« grˆace `a une transform´ee de Fourier inverse comme d´ecrit pr´ec´e-demment pour le vecteur vitesse.Z §

Å»« n’est pas limit´e mais suit exactement le spectre d’´energie donn´e.

Le domaine physique est discr´etis´e par un maillage dont le nombre total de noeuds est  ° _

`

¾

¶Á¸»º

Âö et avecÂöÁ¸»º½¼¾ noeuds dans chaque direction¿ . Ces noeuds sont point´es par l’indice g´en´eral© . Cependant, si¿ º ,¿

è

et¿a
correspondent `a la position d’un noeud dans un maillage 3D, © peut ˆetre d´efinie par© °t¿ÿº@îF§¿

è ù Ø «oÂ,º»ît§q¿a
·ù Ø «ÿºÿ è

. Dans un tableaub de ´el´ements sont rang´es les index© tels que :

A.3 G´en´eration de champs scalaires turbulents 169

pour toutc de l’intervalle ì

Ø

âBÂ ù

Ø

ð.

L’´etape suivante est la g´en´eration d’une s´erie ordonn´eeY¨§cq« de ´el´ements (Y¨§4cq«



YK§cÇî

Ø

« ). La PDF de Y§4cq« est celle impos´ee WX‚§Y,« . La nouvelle valeur Y remplace la valeur non limit´ee bien que les structures g´en´erales fluctuantes restent les mˆemes. Le ”mapping” se fait de la fac¸on suivante :

ZƧ4b §cq«€«·°Y¨§cq« pourc °

Ø

`a ¥

Selon ce processus, le champ Z est ”rempli” de sa plus petite `a sa plus grande valeur par le

champY .

Le champY est g´en´er´e `a partir de la PDF donn´eeW X §Y « . Par d´efinition,W X §Y,« est telle que f,g!h'ikj g hQlnm W X §YÆ«ÿÞDY ° Ø . SiW X

§4Y,« est une fonction continue, elle doit ˆetre discr´etis´ee en Â

g telle queYǶ»°oYqp ¶srîøÄ gut §q¿ ù Ø ÈÍ« avecÄ g ° §4YDp6vxwùyYqp ¶sr&«oÈxÂ

g grˆace `a la relation suivante :

W X ¶ ° Ø Ä g Ú X l ó¬ôz è X l|{ ô9 è W\}r§|~¬«ÿÞ~ ¥ (A.3) La PDF discr´etis´ee (W X ¶+€ ¿K° Ø âBÂ

g ) est multipli´ee par  , le nombre total de valeurs, pour extraire X ¶ °‚ä§ªÂ t W } ¶ t Ä g

« qui repr´esente le nombre de noeuds dans le champ prenant la valeurY¢¶. Parce que les valeursÂ

X

¶ doivent ˆetre des entiers, elles sont arrondies avec des valeurs de plafond ou de plancher par l’op´erateur  tel que ƒ

¶Á¸»º½¼„q…

Â

X

¶

° Â . La s´erie ordonn´ee est alors obtenue directement par l’algorithme suivant :

c °{ò nombre de cellules

for¿ °

Ø

toÂ

g tous les scalaires

for©°

Ø

toÂ

X

¶ le nombre de cellules correspondant au¿ ¶K†p6†

scalaire

c°cÇî

Ø

incr´ementation de la cellule

YK§cq«†°oYǶ valeur d’initialisation

endfor endfor

A ce moment, le champ scalaire turbulent a ´et´e g´en´er´e. Les valeurs statistiques de ce champ sont celles impos´ees. Durant le processus, de nouvelles valeurs scalaires ont ´et´e appliqu´ees pour contrˆoler la PDF, ainsi le niveau g´en´eral de l’´energie du champ obtenu est diff´erent de celui du spectre impos´e mais les longueurs caract´eristiques et les positions des structures turbulentes restent les mˆemes. Quelques exemples de g´en´eration de scalaires sont pr´esent´es planches PA.3.,

170 M´ethodes num´eriques pour la g´en´eration de champs DNS ¥~¥~¥

PA.4. et PA.5.a. Dans le premier cas (panche PA.3.), un champ avec une forte s´egr´egation (PDF bimodale) a ´et´e appliqu´e sur un spectre d’´energie `a un mode et ´egalement sur un spectre bi-modal. Bien entendu, un spectre continu classique peut ˆetre utilis´e mais notre exemple a ´et´e choisi pour souligner la capacit´e de la m´ethode `a contrˆoler toutes les ´echelles de longueurs caract´eristiques. Dans le second exemple (planche PA.4.), un spectre `a un mode a ´et´e utilis´e mais deux statistiques diff´erentes ont ´et´e appliqu´ees : une PDF Gaussienne (variance faible) centr´ee autour de la valeur moyenne òN¥s‡ et une PDF bimodale (avec la mˆeme valeur moyenne òN¥s‡ mais avec une forte variance, proche de son maximum 0.25). La g´en´eration de toute forme de PDF peut se faire selon plusieurs m´ethodes. La proc´edure fonction-beta est pr´esent´ee en annexe de ce papier. Elle permet la g´en´eration d’une PDF `a partir du premier et du second mo-ment de toute valeur fluctuante. Pour des champs `a forte s´egr´egation, il faut faire attention `a ce que les niveaux de gradient de scalaire ne soient pas plus ´elev´es que les capacit´es des m´ethodes num´eriques (int´egration en temps, diff´erence spatiale) qui ont ´et´e appliqu´ees sur le champ. Pour ces mˆemes raisons, la discr´etisation de la PDF doit ˆetre assez fine pour ´eviter de grandes varia-tions entre les valeurs successives prises par le scalaire. Le dernier exemple (planche PA.5.a), montre la propagation d’une flamme pr´em´elang´ee dans un environnement turbulent.