III.5 Mod´ elisation stochastique du processus X
III.5.3 Validation num´ erique des mod` eles probabilistes Z
Dans un premier temps, nous simulons 100000 r´ealisations de taille N=2685 du processus X en utilisant les estim´ees pX et SX selon la m´ethode d´evelopp´ee par Poirion et Puig [75],
cf. section (II.3.4). A partir de ces r´ealisations, nous estimons la loi marginale d’ordre 1 ˜
pX et la densit´e spectrale de puissance ˜SX des donn´ees simul´ees.
Ensuite, nous proposons de comparer l’estim´ee de la loi marginale d’ordre 1 de pX obtenue
`
a partir de la famille d’observations `a celle obtenue par les simulations du processus X. Enfin, nous comparons les estim´ees des densit´es spectrales de puissance SX issues des
donn´ees mesur´ees `a celles des donn´ees simul´ees.
III.5.3.1 Comparaison de lois marginales d’ordre 1 (cibles et simulations) La validation des mod`eles Z de mani`ere quantitative n´ecessite non seulement le calcul des crit`eres de proximit´e I1 et I2 mais aussi l’utilisation de test statistique. Le test utilis´e est
celui de Kolmogorov-Smirnov pour une erreur de premi`ere esp`ece `a 5%. Les r´esultats de ce test et les valeurs des crit`eres I1 et I2 sont pr´esent´es dans le tableau (III.4) pour chaque
classe Cp selon le crit`ere d’acc´el´eration transversale K2.
crit`eres de validit´e C1 C2 C3 C4
I1 0.20 0.24 0.27 0.13
I2 0.01 0.03 0.07 0.006
H0 0 0 0 0
p − value 0.12 0.08 0.06 0.32
Tableau III.4 – Crit`eres de validit´e des simulations `a partir des mod`eles Z.
L’hypoth`ese nulle H0 de conformit´e n’est pas rejet´ee pour la densit´e de probabilit´e pX
associ´ee `a chaque classe de trajectoires Cp. Ceci explique les valeurs faibles des crit`eres de
proximit´e I1 et I2. Ces r´esultats confirment la conformit´e des deux lois marginales d’ordre
1 de pX obtenue par mesures et ˜pX obtenue par simulations.
Nous ne pr´esentons pas les autres tableaux de comparaison car la d´emarche ´etant iden- tique d’une part et les performances de la m´ethode sont comparables, d’autre part.
Outre la comparaison (classe Cp/crit`ere Ki) des r´esultats du test, on pr´esente aussi une
Crit`ere de d´efaillance K1 :
Les figures (III.29) et (III.30) montrent la comparaison entre la loi marginale d’ordre 1 de pX obtenue par estimation statistique des observations et celle obtenue par la simulation.
Cela concerne les classes C1 et C2, puis C3 et C4 selon le crit`ere distance relative K1.
Figure III.29 – Comparaison des graphes de pX pour C1 et C2 selon le crit`ere K1
Figure III.30 – Comparaison des graphes de pX pour C3 et C4 selon le crit`ere K1
L’hypoth`ese nulle H0 de conformit´e n’est pas rejet´ee pour les densit´es relatives aux 4
classes de trajectoires. Ce r´esultat est confirm´e par la repr´esentation graphique. Nous constatons toute fois une meilleure superposition pour certaines classes que pour d’autre. Ceci doit ˆetre du `a la repr´esentativit´e de ces classes en trajectoires pratiqu´ees. Justement une des faiblesses de cette m´ethode de mod´elisation reste bien entendu la repr´esentativit´e des classes vis-`a-vis de trajectoires pratiqu´ees.
Crit`ere de d´efaillance K2 :
Les figures (III.31) et (III.32) montrent une comparaison des densit´es marginales d’ordre 1 pour le cit`ere d’acc´el´eration lat´erale selon les classes C1 et C2, puis C3 et C4.
Figure III.31 – Comparaison des graphes de pX pour C1 et C2 selon le crit`ere K2
Figure III.32 – Comparaison des graphes de pX pour C3 et C4 selon le crit`ere K2
La superposition des graphes confirme les r´esultats obtenus du tableau (III.4). En se r´ef´erant `a ce tableau, l’hypoth`ese nulle H0 n’est pas rejet´ee pour les lois obtenues `a partir
des observations des 4 classes. Nous pouvons consid´erer les donn´ees simul´ees `a partir des mod`eles Z comme des r´ealisations issues des 4 classes de trajectoires. Ce r´esultat v´erifie aussi une hypoth`ese pos´ee au d´ebut de l’´etude qui consiste `a supposer que toutes les trajectoires d’une classe Cp sont issues d’un mˆeme processus stochastique U .
Nous allons pr´esenter la comparaison entre les densit´es spectrales SX des mesures `a celles
III.5.3.2 Comparaison des densit´es spectrales SX (cibles et simulations)
Crit`ere de d´efaillance K1 :
Les figures (III.35) et (III.36) montrent la comparaison des graphes de SX entre les
mesures et les simulations pour chaque classe de trajectoires selon le crit`ere de distance.
Figure III.33 – Comparaison des graphes de SX pour C1 et C2 selon le crit`ere K1
Figure III.34 – Comparaison des graphes de SX pour C3 et C4 selon le crit`ere K1
Nous constatons une superposition des densit´es spectrales SX entre les mesures et les
simulations comme pour les densit´es de probabilit´e pX. Cette superposition est encore
plus pr´ecise pour les classes C2 et C4 que pour les classes C1 et C3. Ceci est encore du `a
la repr´esentativit´e de ces classes en trajectoires pratiqu´ees. Plus les classes sont repr´esen- tatives de trajectoires u pratiqu´ees, plus les caract´eristiques statistiques des mesures sont proches de celles des simulations.
Crit`ere de d´efaillance K2 :
Les figures (III.35) et (III.36) montrent la comparaison des graphes de SX entre les donn´ees
mesur´ees et les donn´ees simul´ees pour le crit`ere d’acc´el´eration transversale et selon chaque classe Cp.
Figure III.35 – Comparaison des graphes de SX pour C1 et C2 selon le crit`ere K2
Figure III.36 – Comparaison des graphes de SX pour C3 et C4 selon le crit`ere K2
On distingue une diff´erence visible entre les mesures et les simulations pour la classe C3.
L’´ecart entre les graphes de SX pour les classes C1et C2 est plus faible que celui de la classe
C3. Par contre, la classe C4 donne une bonne superposition des densit´es spectrales SX entre
les mesures et les simulations. Ces r´esultats montrent l’importance de la repr´esentativit´e des classes Cp en trajectoires pratiqu´ees. Notons que des pics existent pour les SX obtenues
par mesure alors que celles obtenues par simulation ne les consid`erent pas. Cela ouvre une discussion entre le fait de consid´erer ces pics comme un bruit de mesures ou de
mod´elisation. Les r´esultats pr´ec´edents et les tableaux (III.5, III.6) ont permis de clore cette discussion. Les pics des SX issues des donn´ees mesur´ees sont des bruits de mesures.
III.5.3.3 Comparaison des moments d’ordre p (mesures et simulations) Les tableaux (III.5) et (III.6) pr´esentent la comparaison des moments d’ordre p entre les estimations statistiques issues de mesures et celles issues de simulations.
Classe µ1
X µ1X µ2X µ2X µ3X µ3X µ4X µ4X mesure simulation mesure simulation mesure simulation mesure simulation
C1 0 0.06 1 1.12 1.51 1.67 6.22 5.95
C2 0 0.05 1 1.14 2.15 1.98 10.79 9.13
C3 0 0.07 1 1.14 1.58 1.44 5.88 5.07
C4 0 0.11 1 1.20 1.94 1.66 8.49 6.54
Tableau III.5 – Comparaison des moments µp entre mesures et simulations pour K1.
Classe µ1
X µ1X µ2X µ2X µ3X µ3X µ4X µ4X mesure simulation mesure simulation mesure simulation mesure simulation
C1 0 0.0001 1 0.99 -0.03 -0.02 2.66 2.68
C2 0 0.0001 1 1.001 0.068 0.072 3.33 3.32
C3 0 -0.0002 1 1.001 -0.09 -0.08 2.97 2.77
C4 0 -0.0001 1 0.997 0.01 0.05 4.01 3.01
Tableau III.6 – Comparaison des moments µp entre mesures et simulations pour K2.
A travers ces tableaux, on note que les moments µpX des donn´ees de mesures sont assez proches de ceux des donn´ees simul´ees. En conclusion, les performances du proc´ed´e de simulation du processus X sont acceptables.
La prochaine section consiste `a utiliser les donn´ees simul´ees `a partir des mod`eles Z pour calculer les probabilit´es de d´efaillance Pf.
III.6
Analyse fiabiliste du syst`eme V-I-C
L’objet de cette section est de construire des abaques de probabilit´e de d´efaillance par classe de trajectoires. Rappelons que ces abaques π(δ∗) sont sp´ecifiques au virage ´etudi´e. Nous allons d’abord identifier la loi des maxima du processus Z. A partir de ces lois, nous estimerons les probabilit´es de d´efaillance Pf relatives `a chaque classe Cp et selon
les crit`eres de d´efaillance K1 et K2. Enfin, nous ferons une ´etude de sensibilit´e de ces
probabilit´es par rapport aux 4 classes Cp et aux 2 crit`eres de d´efaillance.