III.5 Mod´ elisation stochastique du processus X
III.5.1 Loi marginale d’ordre 1 de X
III.5.1.1 Estim´ees de la densit´e pX et de la fonction de r´epartition FX
Rappelons que les densit´es marginales d’ordre 1 ont ´et´e estim´ees `a l’aide de l’estimateur standard et de l’estimateur `a noyau gaussien, cf. annexes(V.2). Les figures (III.20) et (III.21) montrent les estim´ees de la densit´e pX de la loi marginale d’ordre 1 relatives aux
4 classes de trajectoires identifi´ees C1, C2, C3, C4 et aux 2 crit`eres de d´efaillance consid´er´es
K1, K2.
Figure III.20 – Graphes de pX pour le cri-
t`ere K1.
Figure III.21 – Graphes de pX pour le cri-
t`ere K2.
La densit´e pX relative au crit`ere K1 montre plus de variation (fluctuation) que celle du
crit`ere K2. Ceci s’explique par la variabilit´e de chaque crit`ere de d´efaillance.
En observant la figure (III.21), on pourrait penser que les lois obtenues pour le crit`ere d’acc´el´eration transversale sont proches `a des lois gaussiennes. Cependant, les valeurs des coefficients d’aplatissement K et d’asym´etrie S relatifs `a ces lois ne confirment pas cette
hypoth`ese, cf. tableau (III.2).
Coefficients C1 C2 C3 C4
Aplatissement (K) 3.25 3.38 3.32 3.54 Asym´etrie (S) 0.01 -0.02 -0.01 0.11
Tableau III.2 – Coefficients d’aplatissement et d’asym´etrie de X.
Pour une loi gaussienne, on a K = 3 et S = 0.
Nous allons pr´esenter les approximations trouv´ees pour les 8 densit´es de probabilit´e pX
estim´ees ci-dessus. Ces densit´es correspondent aux 4 classes de trajectoires pour chacun des 2 crit`eres de d´efaillance K1 et K2.
Au chapitre II, nous avons propos´e d’approximer les lois cibles dans un premier temps par les lois usuelles (loi normale et loi logistique) et dans un second temps par le d´eveloppement de la densit´e pX sur la base des polynˆomes d’Hermite. Nous avons propos´e cette seconde
m´ethode car les lois classiques ne sont pas souvent adapt´ees. Au cas o`u ces deux m´ethodes ne seraient pas adapt´ees, il faut utiliser le principe d’entropie maximale.
III.5.1.2 Approximation de la loi marginale d’ordre 1 de X
Les figures (III.22) et (III.23) repr´esentent les approximations ˜pX de la densit´e cible pX
pour le crit`ere de distance relative selon les classes C1 et C2, puis C3 et C4.
Figure III.22 – Approximations de pX pour C1 et C2 selon le crit`ere K1
La figure (III.22) montre une bonne approximation de pX avec le d´eveloppement sur la
base des polynˆomes d’Hermite. Par contre, celles obtenues par les lois usuelles (loi normale et loi logistique) sont tr`es mauvaises quelque soit la classe de trajectoires.
Figure III.23 – Approximations de pX pour C3 et C4 selon le crit`ere K1
La figure (III.23) montre ´egalement une bonne approximation par la m´ethode Hermite et une tr`es mauvaise approximation par les lois usuelles. Ce r´esultat est confirm´e par les crit`eres de proximit´e (I1 et I2) et les tests statistiques d’ad´equation de lois. D’o`u l’int´eret
Crit`ere K2 :
Quant aux figures (III.24) et (III.25), elles montrent une approximation ˜pX de la loi cible
pX pour le crit`ere d’acc´el´eration lat´erale selon les classes C1 et C2, puis C3 et C4.
Figure III.24 – Approximations de pX pour C1 et C2 selon le crit`ere K2
La partie gauche de la figure (III.24) montre une densit´e pX cible bien approxim´ee avec
la m´ethode Hermite. Alors que les lois usuelles donnent des approximations moins pr´e- cises surtout en queue de distribution. La pr´ecision des mod`eles d´epend aussi bien de la tendance centrale que des queues de distribution. Par contre la partie droite montre une mauvaise approximation par la m´ethode Hermite. L’utilisation de cette m´ethode ne garantit pas une approximation de pX positive surtout `a un ordre de troncature α ´elev´e
du fait de la multiplicit´e des polynˆomes d’Hermite entrant enjeu.
Figure III.25 – Approximations de pX pour C3 et C4 selon le crit`ere K2
plus pr´ecise pour une densit´e pX fine que si elle comporte des fluctuations. L’estim´ee de la
loi relative au crit`ere K1 est un exemple de densit´e avec fluctuations, c.f. figure (III.22).
III.5.1.3 Choix de la m´ethode d’approximation
Outre l’aspect graphique, l’acceptation ou le rejet d’une approximation se fait en utilisant les crit`eres de proximit´e (I1 et I2) de la section (II.3.3.3) et des tests statistiques. Les
tests d’ajustement utilis´es sont des tests classiques inspir´es des r´esultats de Glivenko et Kolmogorov, (cf. Saporta[88]). L’erreur de premi`ere esp`ece (ou p-value) est fix´ee `a 5%.
Le tableau (III.3) montre une comparaison entre les m´ethodes d’approximation utilis´ees : Hermite, loi normale et loi logistique. La comparaison se fait par : les crit`eres de proximit´e I1 et I2, l’hypoth`ese nulle H0, la p-value du test, la moyenne et l’´ecart-type de chaque
approximation. Les r´esultats concernent la classe C3 pour le crit`ere de d´efaillance K1.
crit`eres de validit´e Hermite Loi normale Loi logistique
I1 0.1656 0.46 0.51 I2 0.01 0.03 0.04 H0 0 1 1 p − value 0.75 12.10−10 14.10−18 µ 0.10 0.10 0.13 σ 0.14 0.12 0.17
Tableau III.3 – Comparaison des m´ethodes d’approximation de la loi marginale de pX.
Les autres tableaux de comparaison relatifs au couple (classe Cp/crit`ere Ki) ne sont pas
pr´esent´es car la d´emarche ´etant identique. Dans une tr´es large majorit´e des cas trait´es, on a choisi le d´eveloppement de la densit´e sur la base des polynˆomes d’Hermite. Car, le test ne rejette pas l’hypoth`ese nulle H0 `a 5% des cas environ. Ce qui confirme les valeurs
faibles de I1 et I2 pour cette m´ethode par rapport `a l’approximation par des lois usuelles.
Outre les crit`eres de proximit´e (I1 et I2), le couple (µ, σ) le plus proche des caract´eristiques
(moyenne et ´ecart-type) de la loi cible est encore la loi d’ajustement par la m´ethode Hermite. Pour la loi cible, on a µ = 0.10 et σ = 0.14. Malgr´e les bons r´esultats de la m´ethode, il faut une certaine prudence. Il existe des cas particuliers o`u une loi classique peut ˆetre adapt´ee(cf. figure III.24). Nous cherchons la meilleure approximation car la pr´ecision des mod`eles d´epend de l’erreur qu’on peut commettre sur ces approximations. Dans la prochaine ´etape, nous cherchons `a estimer la densit´e spectrale de puissance SX.