Processus d’´ etat U du syst` eme

A chaque classe Cp, p ∈ P, pr´ec´edemment d´efinie, on associe un unique processus sto-

chastique vectoriel Up = (Up(t), t ∈ R) d´efini sur l’espace de probabilit´e (Ω, =, P) `a valeurs

dans R6_{, tel que ∀t ∈ R :}

Up(t) = (X1(t), X2(t), V1(t), V2(t), Γ1(t), Γ2(t)) T

(II.20) Ce processus Up d´ecrit, le comportement al´eatoire de la dynamique du syst`eme V-I-C. Il

est partiellement connu `a travers les trajectoires de la classe Cp `a laquelle il est associ´e. Les

composantes X1, X2, V1, V2, Γ1 et Γ2 sont des processus scalaires index´es sur R `a valeurs

dans R. Nous rappelons que ces composantes d´ecrivent respectivement : les positions, vitesses et acc´el´erations du centre de masse (G) du v´ehicule relativement `a la base fixe BA

0 = (~e1, ~e2, ~e3). Pour des raisons de simplification de notations, on pose pour la suite du

manuscrit :

U = Up (II.21)

Remarque 4. Compte tenu de la quantit´e d’observations exp´erimentales disponibles d’une part et des m´ethodes de simulation de processus stochastique d’autre part, il n’est pas envisageable de simuler le processus stochastique vectoriel U .

syst`eme V-I-C par une analyse fiabiliste. Cette analyse conduit `a choisir plusieurs crit`eres de d´efaillance. Nous choisissons des crit`eres qui portent sur des fonctionnelles scalaires du processus U , appel´es processus de contrˆole. Ceux-ci sont issus de la traduction du probl`eme ´etudi´_{e en langage fiabiliste (projection fonctionnelle de U sur R).}

II.3.1.1 Processus de contrˆole Z

Un processus de contrˆole associ´e au processus stochastique U est un processus Z = (Z(t), t ∈ R) d´efini sur (Ω, =, P) `a valeurs dans R tel que :

Z(t) = F (U (t)) , ∀t ∈ R (II.22)

o`_{u F est une fonction de R}6 _{dans R. On suppose dans toute la suite que ce processus est}

du second ordre. Insistons bien sur le fait que F est relative au crit`ere choisi pour d´efinir la d´efaillance des trajectoires. Il a ´et´e dit au chapitre I que les crit`eres de d´efaillance sont obtenus par traduction en langage fiabiliste des modes de d´efaillance suivants :

– La sortie du v´ehicule dans l’espace roulable.

– Une perte d’adh´erence du v´ehicule qui rend celui-ci incontrˆolable par le conducteur. A partir de ces modes de d´efaillance, nous avons montr´e que la d´efaillance du syst`eme peut ˆ

etre caract´eris´ee soit par une distance relative entre trajectoires, soit par une fonctionnelle des composantes de la trajectoire u dans l’espace des phases.

II.3.1.2 Crit`eres de d´efaillance du syst`eme V-I-C

Dans cette ´etude, nous ne pr´etendons pas connaˆıtre les causes de la d´efaillance du syst`eme. Parce que des causes diff´erentes peuvent engendrer le mˆeme type de d´efaillance. Nous consid´erons le syst`eme comme une boite noire g´en´erant des trajectoires. Nous essayons d’associer le risque contenu dans ce syst`eme `a des niveaux de d´efaillance portant sur la r´eponse du syst`eme (i.e. crit`ere de d´efaillance portant sur les trajectoires). La traduction math´ematique des 2 types de d´efaillance cit´es pr´ec´edemment correspond respectivement aux crit`eres de d´efaillance suivants : distance entre trajectoires et acc´el´eration lat´erale du v´ehicule.

II.3.1.2.1 Distance relative entre trajectoires Soit une trajectoire de r´ef´erence uref connue et appartenant `a l’espace roulable, cf. figure (II.6). Celle-ci est sure par

jective. Un choix possible de uref peut ˆetre la trajectoire moyenne um estim´ee `a partir des

trajectoires exp´erimentales observ´ees telle que :

um(tk) = 1 N N X l=1 u(l)_k (II.23) A partir de cette trajectoire moyenne, on peut calculer la distance Euclidienne dE entre

celle-ci et l’une quelconque des trajectoires observ´ees u par :

dE(t) =

q

(u(t) − um(t))T (u(t) − um(t)) ; ∀t (II.24)

Cependant, dans cette ´etude, nous proposons de calculer la distance g´eom´etrique D entre la ligne des centres (CV) de la voie de circulation et le centre de masse (G) du v´ehicule :

D(t) = min |{z}

M ∈CV

(d(G(t), M )) (II.25)

o`_{u d est la distance euclidienne usuelle dans l’espace affine R}2. L’ensemble des points M ∈ CV constituant la ligne des centres de voie (CV) sont connus exp´erimentalement.

La figure (II.7) repr´esente une illustration de la projection de cette distance sur le plan (x1Ox2). Nous rappelons qu’une meilleure estimation de la sortie de route serait la prise

en compte de l’orientation du v´ehicule dans le calcul de la distance D.

Figure II.6 – Espace roulable du v´ehicule. Figure II.7 – Distance relative d(t).

La distance doit ˆetre born´ee car on ne peut pas s’´ecarter ind´efiniment de CV tout en restant

sur la route. La pr´esence du v´ehicule sur l’espace roulable est ´evalu´ee par le crit`ere :

Avec δ∗ une valeur seuil qui est calcul´ee selon ce crit`ere comme suit.

δ∗ = l − 2a

4 (II.27)

o`u <sub>2</sub>l est la largeur de la voie de ciculation et a la largeur du v´ehicule. Ce crit`ere de d´efaillance porte sur le processus de contrˆ_{ole D. La distance D = (D(t), t ∈ R) est un} processus d´_{efini sur (Ω, =, P) `a valeurs dans R}+.

Apr`es la caract´erisation de la d´efaillance par la distance relative entre trajectoires, nous allons d´ecrire d’autres crit`eres de d´efaillance qui portent sur des fonctionnelles de u.

II.3.1.2.2 Fonctionnelle des composantes de la trajectoire u Le crit`ere de d´e- faillance du syst`eme pourrait ˆetre d´efini aussi par une fonctionnelle des coordonn´ees de la trajectoire u dans l’espace des phases. Il en est ainsi par exemple pour le crit`ere de d´efaillance portant sur l’acc´el´eration transversale.

Acc´el´eration transversale

L’acc´el´eration transversale et sa variation (le jerk) sont des crit`eres souvent utilis´es dans la litt´erature pour d´eterminer la dangerosit´e des trajectoires. Il en est propos´e dans Kanayama et al[49] :

1. minimiser `a vitesse constante l’int´egrale du carr´e de la courbure le long du chemin, ce qui revient `a minimiser les acc´el´erations transversales ;

2. minimiser la d´eriv´ee de la courbure ρ le long du chemin, ce qui correspond `a mini- miser les variations de l’acc´el´eration transversale.

On trouve dans Hongo et al[97] un crit`ere proche du second, consistant `a minimiser l’int´egrale du carr´e de la d´eriv´ee de l’acc´el´eration. Ce qui correspond encore une fois `

a minimiser les variations de l’acc´el´eration transversale. Elle est donc utilis´ee comme crit`ere de d´efaillance car le d´epassement d’un certain seuil (δ∗) peut engendrer une perte d’adh´erence, c.f. Revue[81]. Ce crit`ere de d´efaillance est d´efini par :

supt∈T|ΓN(t)| > δ∗ (II.28)

Il porte sur le processus de contrˆole ΓN(t). Notons que ΓN = (ΓN(t), t ∈ R) est d´efini sur

(Ω, =, P) `a valeurs dans R. On peut le d´eterminer facilement car c’est une coordonn´ee de la trajectoire u dans le rep`ere de Serret-Fr´enet. Nous avons montr´e le passage du rep`ere Galil´een de r´ef´erence RA

Les 2 crit`eres de d´efaillance introduits portent sur les processus de contrˆole : D(t) la distance relative et ΓN(t) l’acc´el´eration transversale. Les Sup de ces fonctions seront

born´ees par des seuils δ∗ pour garantir la stabilit´e du v´ehicule sur la route. Ils nous semblent ˆetre des crit`eres pertinents pour ´etudier la d´efaillance du syst`eme. Rappelons que D(t) et ΓN(t) viennent d’ˆetre obtenus par la transformation du processus U via une

fonction F selon le crit`ere de d´efaillance choisi. Ces processus seront repr´esent´es par Z pour la suite.

(

Z = D Z = ΓN

(II.29)

Les observations exp´erimentales montrent que le processus Z n’est en g´en´eral pas station- naire. Dans le paragraphe suivant, nous allons construire une repr´esentation permettant d’exprimer ce dernier comme une fonctionnelle affine d’un processus stationnaire.

II.3.1.3 Standardisation du processus de contrˆole Z

Le processus Z est du second ordre mais n’est a priori pas stationnaire en m.o.d (moyenne d’ordre deux). Consid´_{erons alors le processus X = (X(t), t ∈ R) d´efini sur (Ω, =, P) `a} valeurs dans R tel que :

X(t) = σ_Z−1(t) (Z(t) − µZ(t)) (II.30)

o`u µZ(t) = E[Z(t)] et σZ(t) = E[(Z(t) − E[Z(t)])2] sont respectivement la moyenne et

l’´ecart-type temporels de Z. Par construction, le processus X est tel que µX(t) = 0 et

σX(t) = 1. Donc ces deux premiers moments sont constants. Ce processus est donc un

bon candidat pour ˆetre suppos´e stationnaire en m.o.d. Pour qu’il en soit ainsi, il faut en toute rigueur que sa fonction d’autocorr´elation RX ne d´epende que des accroissements

temporels et non pas des couples d’instants (t1, t2).

Une ´etude statistique de X, pour les exemples consid´er´es, a montr´e (c.f. III.4.1.4) que cette propri´et´e est approximativement v´erifi´ee et donc que X peut ˆetre raisonnablement consid´er´e comme stationnaire en m.o.d. Et, compte tenu de la relation (II.30), on obtient :

Z(t) = µZ(t) + σZ(t)X(t) (II.31)

Si l’on dispose d’estimation satisfaisante de µZ(t) et σZ(t), caract´eriser le processus Z

(`a partir des donn´ees exp´erimentales disponibles) le processus X stationnaire en m.o.d.