L’objet de cette section est de v´erifier l’hypoth`ese de stationnarit´e du processus d’´etat U , du processus de contrˆole Z et du processus normalis´e X. Il est important de v´erifier cette hypoth`ese car les mod`eles probabilistes que nous mettrons en oeuvre dans la prochaine section sont bas´es sur l’identification de processus stochastiques stationnaires.
III.4.1
V´erification des hypoth`eses de r´egularit´e de U , Z et X
Rappelons que Up = (Up(t), t ∈ R) est le processus d’´etat du syst`eme V-I-C, d´efini sur
(Ω, =, P) `a valeurs dans R6, tel que ∀t ∈ R :
Up(t) = (X1(t), X2(t), V1(t), V2(t), Γ1(t), Γ2(t)) T
(III.2) Le processus Up est not´e U afin d’all´eger les notations. On a u(t) = U (t, ω), ∀t ∈ T o`u
ω ∈ Ω.
Les composantes de U sont respectivement : les positions, les vitesses et les acc´el´erations du centre de masse (G) du v´ehicule selon la base BA0 = (~e1, ~e2, ~e3) du rep`ere fixe RA0.
III.4.1.1 Processus d’´etat U
Le processus U est non stationnaire sur la totalit´e du virage car la moyenne temporelle de ses composantes est fortement d´ependante du temps, c.f. figure (III.12). Par contre,
Figure III.12 – Moyenne temporelle des coordonn´ees (v1 et v2) de u.
la figure (III.13) montre une stationnarit´e par morceaux pour les composantes : ac- c´el´eration γ1(t) et acc´el´eration γ2(t) du centre de masse (G) du v´ehicule. Malgr´e cette
Figure III.13 – Moyenne temporelle des coordonn´ees (γ1 et γ2) de u.
de faire un d´ecoupage du virage en zones stationnaires. Et d’autre part, il faut relier les diff´erentes zones de d´ecoupage apr`es la caract´erisation de chacune de ces zones. Ce qui n’est pas envisageable vu la dimension du processus U et la forme des signaux. A partir des observations de U , nous obtenons les r´ealisations du processus Z d´efini sur (Ω, =, P) `
a valeurs dans R.
III.4.1.2 Processus de contrˆole Z
Le processus de contrˆole Z = F (U ) est obtenu par la transformation du processus d’´etat U , o`u F d´esigne une fonctionnelle affine. Les deux cas de Z choisis dans le chapitre II pour ´etudier la d´efaillance du syst`eme V-I-C sont :
– D = (D(t), t ∈ R+), processus de contrˆole repr´esentant la distance entre le centre
de la voie (CV) et la position lat´erale du centre de masse (G) dans le rep`ere route.
Rappelons que D est obtenue par : D(t) = min
|{z}
M ∈CV
(d(G(t), M )) (III.3)
– ΓN = (ΓN(t), t ∈ R+), processus de contrˆole repr´esentant l’acc´el´eration transversale
du v´ehicule dans le rep`ere de Serret-Fr´enet. Nous avons montr´e au chapitre I, le passage du rep`ere galil´een fixe RA
0 au rep`ere mobile de Serret-Fr´enet RSFG .
Nous rappelons que ces 2 processus de contrˆole portent respectivement les crit`eres de d´efaillance K1 et K2. Les figures (III.14) et (III.15) montrent une variation importante
de la moyenne temporelle des processus Z pour chaque classe Cp et pour chacun des
crit`eres (Ki)(i=1,2) consid´er´es. Cela signifie que Z n’est ´egalement pas stationnaire comme
Figure III.14 – Moyenne temporelle de Z selon le crit`ere K1 pour les 4 classes.
Figure III.15 – Moyenne temporelle de Z selon le crit`ere K2 pour les 4 classes.
Rappelons que les m´ethodes de simulation utilis´ees dans ce travail de th`ese sont adapt´ees pour des processus stationnaires en moyenne d’ordre deux.
L’´etape suivante de notre d´emarche (c.f. chapitre II) consiste `a chercher une repr´esentation standardis´ee de Z que l’on a not´e X.
III.4.1.3 Repr´esentation standardis´ee du processus Z
Le processus scalaire X d´efini sur (Ω, =, R) `a valeurs dans R est obtenu par la relation (II.30). Ce processus admet par construction une moyenne µX = 0 et un ´ecart-type
σX = 1.
Les figures (III.16) et (III.17) repr´esentent une ω-r´ealisation du processus X relative aux 4 classes Cp de trajectoires et `a chacun des 2 processus de contrˆole D(t) et ΓN(t).
Figure III.16 – Une ω-r´ealisation de X du processus de contrˆole D(t).
Figure III.17 – Une ω-r´ealisation de X du processus de contrˆole ΓN(t).
III.4.1.4 Fonction d’autocorr´elation X
Par construction le processus X est centr´e et de variance unit´e. Mais l’hypoth`ese de sta- tionnarit´e au second ordre suppose aussi que la fonction d’autocorr´elation RX de X ne
d´epend que de l’´ecart τ entre deux instants t1 et t2, (cf. annexesV.1). Les figures (III.18)
et (III.19) repr´esentent les fonctions d’autocorr´elation τ → RX(τ ) relatives aux 4 classes
de trajectoires et `a chacun des 2 crit`eres de d´efaillance K1 et K2.
Figure III.18 – Graphes de RX selon le pro-
cessus de contrˆole D.
Figure III.19 – Graphes de RX selon le pro-
cessus de contrˆole ΓN.
Selon la classe Cp de trajectoires et le crit`ere Ki, on a une d´ecroissance rapide de la
fonction d’autocorr´elation RX. On constate sur ces figures que la variation de la fonction
RX d´epend de l’´ecart entre deux instants τ = (t, t + k∆).
Outre la v´erification des conditions de stationnarit´e `a l’ordre 2 du processus X par la fonction d’autocorr´elation RX(τ ), on a utilis´e aussi des tests statistiques de stationnarit´e.
Nous avons utilis´e le test de substituts temps-fr´equence, Xiao[105]. Le principe de ce test est d’utiliser des caract´eristiques temps-fr´equence pour donner un sens statistique pr´e- cis `a un signal. Ce test est relatif `a une dur´ee d’observation et peut s’appliquer `a des bandes de fr´equence, donnant un cadre `a ce qui est souvent fait en pratique. Un degr´e de non-stationnarit´e peut ˆetre attach´e au test, ainsi que, le cas ´ech´eant, une ´echelle caract´e- ristique de la non-stationnarit´e d´etect´ee. En appliquant ce test sur le processus X, nous remarquons que l’hypoth`ese de stationnarit´e n’est pas rejet´ee. Ceci confirme, le r´esultat obtenu avec la fonction d’autocorr´elation RX(τ ).
Apr`es cette v´erification des hypoth`eses de stationnarit´e du processus X, nous allons `a pr´esent construire des mod`eles probabilistes sp´ecifiques `a chaque classe Cp de trajectoires.