Validation de l’´etape de discr´etisation

Dans les ´equations (IV.35-IV.36) explicitant le mod`ele p´eriodique lin´eaire `a temps continu, nous avons d´ecompos´e la matrice A(ν) en trois matrices Akep(ν), AJ2(ν) et A_atm(ν). La matrice A_kep(ν) est celle qui a l’effet le plus important sur la dynamique

IV.3. Comparaison des diff´erents mod`eles en simulation 121

du syst`eme. En consid´erant l’´equation (IV.37), nous pouvons remarquer qu’outre l’ano-malie vraie, le seul param`etre orbital intervenant dans l’expression deAkep est l’excentri-cit´e de la cible e. En ´etudiant plus finement cette expression, nous constatons que plus l’excentricit´e e est grande, plus la valeur de Akep(ν) va ´evoluer au cours d’une p´eriode.

Or, dans l’´etablissement du mod`ele p´eriodique `a temps discret (IV.43), nous avons fait l’hypoth`ese que la matrice dynamique ´evolue peu entre deux ´echantillons. Il est donc n´ecessaire d’´evaluer l’influence de e sur l’erreur de discr´etisation.

Pour ce faire, nous nous pla¸cons dans le cas k´epl´erien. Le mod`ele s’´ecrit alors : dx(ν)

Nous choisissons par ailleurs des conditions initiales conduisant `a un mouvement relatif p´eriodique entre les deux satellites. Au niveau du mod`ele non lin´eaire, cela revient `a choisir pour les deux satellites des orbites dont seule l’excentricit´e diff`ere. Pour le mod`ele lin´earis´e, ce dernier choix correspond `a prendre un vecteur d’´etat `a l’instant ν = 0 comme suit :

x(0) =

Cette condition initiale particuli`ere, propos´ee dans [INA 02], correspond `a un cycle limite pour le syst`eme non-lin´eaire et `a un cycle pour le syst`eme p´eriodique lin´earis´e. A titre d’exemple, nous proposons dans la Figure IV.3 le mouvement relatif poure= 0.7 etξ0 = 1 simul´e `a l’aide des mod`eles lin´eaires `a temps continu et `a temps discret (pour un choix deN = 100 ´echantillons pour un tour du satellite autour de la Terre).

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

Modèle linéaire à temps continu Modèle linéaire à temps discret

ξ

η

Fig. IV.3 – Mouvement relatif p´eriodique pour des conditions initiales particuli`eres (e= 0.7 - cas k´epl´erien)

Nous remarquons que pour ce choix d’excentricit´e et d’´echantillonnage, la d´erive entre le mod`ele `a temps continu et celui `a temps discret est importante. Afin de quantifier cette erreur, nous introduisons la variable ǫ d´efinie comme suit :

ǫ= 1 N

N

X

k=1

kx(k∆ν)−xkk2

kx(k∆ν)k² (IV.45)

o`u x(k∆ν) est le vecteur d’´etat du mod`ele `a temps continu `a l’instant k∆ν et o`u xk est le vecteur d’´etat du mod`ele `a temps discret `a ce mˆeme instant. L’erreurǫ indique donc la moyenne sur une r´evolution du satellite de l’erreur relative de discr´etisation.

La Figure IV.4 pr´esente, dans le cas d’un mouvement p´eriodique d´etermin´e par un mˆemeξ0, l’influence du nombre d’´echantillons par tour N et de l’excentricit´eesur l’erreur de discr´etisation.

Remarque

La valeur deN a volontairement ´et´e limit´ee `a150car les m´ethodes d’analyse et de synth`ese pr´esent´ees dans les chapitres II et III conduisent `a des probl`emes LMIs de dimension trop importante pour des syst`emes N-p´eriodiques de p´eriode plus grande.

IV.3. Comparaison des diff´erents mod`eles en simulation 123

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0 5 10 15 20 25

ǫ(%)

e

N = 50 N= 100 N= 150

Fig. IV.4 – Influence de l’excentricit´e e et du nombre d’´echantillons N sur l’erreur de discr´etisation (cas k´epl´erien)

La Figure IV.4 montre que l’erreur de discr´etisation est importante pour des orbites

`a tr`es forte excentricit´e (e > 0.4). Nous d´ecidons donc d’´etudier par la suite une orbite d’excentricit´ee= 0.1.

Les perturbations dues `a l’effet du J<sub>2</sub> et du frottement atmosph´erique sont `a pr´esent r´eint´egr´ees dans le mod`ele :

dx(ν)

dν = (Akep(ν) +AJ2(ν) +Aatm(ν))x(ν)

L’acc´el´eration r´esultant du frottement atmosph´erique d´epend de l’altitude du satellite.

Afin que cette perturbation ait un effet sensible sur le mod`ele, nous choisissons une orbite de r´ef´erence telle que l’altitude du p´erig´ee soit relativement faible :

h_P = 400 km

Etant donn´ee l’excentricit´e choisie, le demi-grand axe est donc : a= hP +Req

1−e = 7531 km

Les autres param`etres orbitaux sont fix´es `a 0 `a l’exception de l’inclinaison i et de l’ar-gument du p´erig´ee ω pour ´eviter certains probl`emes de singularit´e lors des futures simu-lations non-lin´eaires (ces singularit´es interviennent au niveau des ´etapes de conversion entre les param`etres cart´esiens et les param`etres orbitaux d´ecrites en Annexe D). L’orbite de r´ef´erence de la cible et les conditions initiales du chasseur, exprim´ees en termes de param`etres orbitaux, sont regroup´ees dans le Tableau IV.1.

Param`etres Orbitaux Satellite cible Satellite chasseur Unit´e

a 7531 7531 km

e 0.1 0.1 + 1.33·10⁻⁵

-i 1·10⁻⁴ 1·10⁻⁴ deg

Ω 0 0 deg

ω 30 30 deg

ν 0 0 deg

Tab. IV.1 – Conditions initiales de la cible et du chasseur Les caract´eristiques du satellite sont :

S = 2 m² C_D = 2

m = 100 kg

(IV.46)

Le mod`ele du frottement atmosph´erique est d´efini par : ρ0 = 1.0759·10⁻⁷ kg.m⁻³

H0 =−46830 m (IV.47)

La diff´erence d’excentricit´e entre le chasseur et la cible donnerait lieu `a un mouvement relatif p´eriodique dans le cas non perturb´e. Pour le syst`eme lin´earis´e, cette condition initiale s’´ecrit :

x(0) = 1·10⁻⁴ −0.1463 0 0 0 0.2793 0 ′

et correspond `a l’´ecart de position radiale suivant :

∆X(0) = a ξ(0) =˜ a

1 +ecos 0ξ(0) =−100.16 m

La variable ǫ d´efinie par l’´equation (IV.45) est utilis´ee afin d’´evaluer l’erreur de dis-cr´etisation dans le cas perturb´e pour diff´erentes valeurs de N. Les r´esultats obtenus sont pr´esent´es dans la Figure IV.5.

IV.3. Comparaison des diff´erents mod`eles en simulation 125

20 40 60 80 100 120 140

0 1 2 3 4 5 6 7

ǫ(%)

N

Fig. IV.5 – Influence du nombre d’´echantillons N sur l’erreur de discr´etisation (cas per-turb´e)

Nous choisissons un ´echantillonnage faisant intervenir N = 100 ´echantillons par tour.

Ceci permet d’avoir une erreur relative en boucle ouverte entre le mod`ele `a temps discret et le mod`ele `a temps continu inf´erieure `a 0.5%. La boucle ferm´ee apportant naturellement des propri´et´es de robustesse vis-`a-vis de l’erreur de discr´etisation, ce choix apparait valide.