Propri´et´es attendues pour le syst`eme boucl´e

=

A^′_k+C_k^′(¹−K_k^′D^′_k)⁻¹)K_k^′B_k^′ C_zk^′ +C_k^′(¹−K_k^′D_k^′)⁻¹K_k^′D^′_zuk B_wk^′ +D^′_ywk(¹−K_k^′D_k^′)⁻¹K_k^′B_k^′ D^′_zwk+D_ywk^′ (¹−K_k^′D^′_k)⁻¹K_k^′D^′_zuk

x^d_k w_k^d

Nous obtenons bien le syst`eme dual du syst`eme original boucl´e par le correcteur uk = Kkyk (III.7). L’´equivalence du point de vue de la stabilit´e et des performances entre ces

syst`emes est prouv´ee par les Lemmes II.6 et II.9

Le r´esultat pr´ec´edent est ´egalement valable dans le cas du retour d’´etat et du retour de sortie dynamique. En effet, nous avons montr´e que ces probl`emes de synth`ese peuvent ˆetre reformul´es comme celui de la synth`ese d’un retour de sortie statique. Ainsi, le r´esultat pr´ec´edent peut ˆetre g´en´eralis´e de la mani`ere suivante :

Σ⋆ K ≡(Σ⋆ K)_d≡Σd⋆ Kd (III.14)

comme illustr´e sur la Figure III.3.

wk z_k

uk yk

K

Σ

Σ

w^d_k z_k^d

u^d_k y_k^d

K

Σ _d

Σ

Fig. III.3 – Dualit´e pour le probl`eme de synth`ese

III.2.2 Propri´ et´ es attendues pour le syst` eme boucl´ e

Une fois le type de correcteur choisi, il s’agit de formuler les propri´et´es que doit conf´erer ce correcteur au syst`eme boucl´e. Les propri´et´es attendues sont celles qui ont ´et´e ´etudi´ees dans le chapitre d’analyse : stabilit´e, performances et robustesse. Dans cette partie sont

´enonc´es les diff´erents probl`emes de synth`ese associ´es `a ces propri´et´es. Une attention par-ticuli`ere est port´ee au probl`eme de robustesse du syst`eme boucl´e vis-`a-vis d’incertitudes affectant le correcteur.

III.2. Probl´ematique 73

III.2.2.1 Stabilit´e robuste

La caract´eristique minimale attendue des correcteurs est d’assurer la stabilit´e de la boucle ferm´ee. Pour un type de correcteur donn´e, la stabilit´e de la boucle ferm´ee n’est pas n´ecessairement atteignable. Ainsi, la stabilisabilit´e est d´efinie relativement `a la classe de correcteurs choisie. Notons^K l’ensemble des correcteurs (stabilisants ou non) pour une loi de commande donn´ee :^Kre pour le retour d’´etat,^Krss pour le retour de sortie statique et^Krsd pour le retour de sortie dynamique.

D´efinition III.4 (Stabilisabilit´e)

Un syst`eme Σ est stabilisable par une loi de commande de classe <sup>K</sup> si et seulement s’il existe une valeur des param`etres du correcteur tel que le syst`eme boucl´e soit stable :

Σ stabilisable ⇐⇒ ∃ K ∈^K : Σ⋆ K stable

Lorsque le mod`ele ´etudi´e est incertain, le correcteur doit garantir la stabilit´e de toute r´ealisation du mod`ele. Le probl`eme de stabilisabilit´e robuste se formule donc de la mani`ere suivante :

D´efinition III.5 (Stabilisabilit´e robuste)

Un syst`eme incertain Σ(∆), ∆∈, est stabilisable robustement par une loi de commande de classe <sup>K</sup> si et seulement s’il existe une valeur des param`etres du correcteur telle que le syst`eme boucl´e soit robustement stable :

Σ(∆) stabilisable robustement ⇐⇒ ∃ K ∈^K : Σ(∆)⋆ K stable ∀ ∆∈ D´efinition III.6 (Ensemble des correcteurs robustement stabilisants)

L’ensemble des correcteurs robustement stabilisants pour une structure de commande donn´ee est not´e^Kst ⊂^K :

Kst ={K ∈^K : Σ(∆)⋆ K stable }

Ainsi, l’ensemble des correcteurs robustement stabilisants par retour d’´etat sera not´e^Kre_st. III.2.2.2 Performances robustes

Comme au Chapitre II, les probl`emes de performances seront ´etudi´es `a l’aide de la norme H2. Un raisonnement similaire peut cependant ˆetre tenu dans le cas de la norme H∞.

Comme pr´ec´edemment, les probl`emes de performances robustes sont envisag´es pour des syst`emes incertains polytopiques de la forme :

xk+1

Ξ =

Pour un correcteur stabilisant K ∈^Kst donn´e, nous avons montr´e au Chapitre II que le calcul du coˆut H2 dans le pire des cas du syst`eme boucl´e incertain revient `a r´esoudre le probl`eme max-min suivant :

γ_pc²(K) = max

Ainsi, pour toute incertitude, nous avons :

kΣ_bf(ξ)k²2 ≤γ_pc(K)

Le probl`eme de synth`ese robuste performante est de calculer un correcteur minimisant γ_pc(K).

Probl`eme III.1 (Synth`ese H2 dans le pire des cas)

Le calcul du correcteur optimal K^opt au sens du coˆut H2 passe par la r´esolution du probl`eme de min-max-min suivant :

K^opt = arg

et peut ˆetre ´enonc´e comme suit :

Trouver K^opt ∈^Kst tel que γ_pc(K^opt) est minimum.

La valeur du coˆutH2 `a l’optimum du Probl`eme III.1 est d´efini de la mani`ere suivante : χ^∗_pc = min

K∈^Kst

γpc(K) (III.18)

Tout au long de ce chapitre, γ d´esigne un coˆut H2 obtenu en analyse (solution ou relaxation d’un probl`eme d’optimisation max-min) et χ d´esigne un coˆut H2 obtenu en synth`ese (solution ou relaxation d’un probl`eme d’optimisation min-max-min).

Il n’existe pas de m´ethode permettant de r´esoudre le Probl`eme III.1 exactement. Il est donc n´ecessaire de mettre en oeuvre des relaxations (correspondant `a des sous-ensembles de correcteurs^Ksub ⊂^Kst et `a une solution sous-optimale du Probl`eme III.1) pour obtenir des solutions associ´ees `a des proc´edures de r´esolution num´erique SDP.

III.2. Probl´ematique 75

Probl`eme III.2 (Synth`ese H² `a coˆut garanti)

K^sub= arg

K∈min^K_submax

ξ∈Ξ kΣbf(ξ)k²2

(III.19) o`u ^Ksub est un sous-ensemble convexe de correcteurs stabilisants et d´efini par un ensemble de LMIs.

Soit χsub=γ(K^sub). L’objectif est d’obtenir une borne χsub la plus proche possible de χ^∗_pc.

III.2.2.3 R´esilience

Dans les probl`emes de synth`ese que nous venons de formuler, une hypoth`ese impli-cite a ´et´e faite : le correcteur peut ˆetre impl´ement´e avec une pr´ecision infinie. Cette hypoth`ese n’est pas aberrante dans le sens o`u l’incertitude sur le mod`ele du syst`eme est souvent pr´epond´erante par rapport aux erreurs d’impl´ementation. Cependant, ces erreurs d’impl´ementation existent toujours et il est important d’en tenir compte. En effet, le correcteur est soumis `a une impr´ecision r´esultant :

– des conversions analogique-num´erique et num´erique-analogique,

– de la m´emorisation des param`etres du correcteur dans des ´el´ements ayant une pr´ecision finie,

– des erreurs d’arrondis lors du calcul de la loi de commande,

– des erreurs intervenant lors de l’impl´ementation physique du correcteur. En effet, lors de la fabrication industrielle du correcteur, une certaine tol´erance est admise sur la valeur de ses param`etres.

Ainsi, il est important que le correcteur admette une certaine incertitude sur ses pa-ram`etres, mˆeme si celle-ci est assez faible. Un tel correcteur est dit r´esilient :

D´efinition III.7 (R´esilience)

Un correcteurK est dit r´esilient (ou non fragile) `a une incertitude∆K ∈<sup>K</sup> si le syst`eme Σ boucl´e par ce correcteur est robustement stable :

K(∆K) r´esilient ⇐⇒ Σ⋆ K(∆K) stable ∀ ∆K ∈K

Conclure a posteriori (une fois le correcteur calcul´e) sur sa r´esilience se formule comme un probl`eme d’analyse de robustesse de la boucle ferm´ee. Ce probl`eme ne pr´esente donc pas de difficult´e sp´ecifique.

Un probl`eme plus int´eressant est d’int´egrer ces aspects de r´esilience d`es l’´etape de synth`ese. Il s’agit alors de garantir a priori la r´esilience du correcteur vis-`a-vis d’une incertitude donn´ee. Ce probl`eme s’appelle le probl`eme de synth`ese r´esiliente. Il est alors envisageable de calculer un correcteur pr´esentant une tol´erance plus importante sur ces param`etres. Outre les avantages cit´es pr´ec´edemment, cette tol´erance donne des marges de r´eglage pour l’ing´enieur permettant d’ajuster les param`etres du correcteur lorsque ce dernier est utilis´e sur le syst`eme r´eel.

Remarque

Dans l’article Robust, Fragile, or Optimal [KEE 97], une discussion est men´ee sur le lien entre la m´ethode de synth`ese (H2, H∞...) et la fragilit´e du correcteur. Diff´erents exemples semblent indiquer que les correcteurs optimaux sont souvent tr`es fragiles. Il s’agit donc de faire un compromis entre robustesse, fragilit´e et optimalit´e. Par exemple, nous propo-sons des m´ethodes permettant de synth´etiser un correcteur garantissant simultan´ement la stabilit´e du syst`eme boucl´e vis-`a-vis d’incertitudes param´etriques et une performance H² dans le pire des cas et poss´edant certaines propri´et´es de r´esilience.

Diff´erentes techniques sont propos´ees dans la litt´erature pour traiter le probl`eme de fragilit´e. Certaines [YEE 01, TAK 00] supposent que les incertitudes sont connues et que seule la loi de commande doit ˆetre synth´etis´ee. D’autres [YAN 01] choisissent une structure multiplicative pour l’incertitude. La valeur de l’incertitude d´epend alors des param`etres du correcteur. Dans tous les cas, la m´ethodologie employ´ee pour r´esoudre le probl`eme de synth`ese r´esiliente est similaire aux m´ethodes de synth`ese robuste.

Le probl`eme de r´esilience est abord´e ici selon l’approche propos´ee dans [PEA 02] et [PEA 05]. Il s’agit de synth´etiser non plus un correcteur unique mais des ensembles de correcteurs ayant les mˆemes propri´et´es garanties de performances pour le syst`eme boucl´e.

Ces ensembles de correcteurs, appel´es{XY Z}-ellipso¨ıdes de matrices, sont d´ecrits en An-nexe C. Tout correcteur appartenant `a un {XY Z}-ellipso¨ıde solution pr´esente les mˆemes propri´et´es vis-`a-vis du syst`eme boucl´e. Ainsi, tout correcteur appartenant `a l’ellipso¨ıde pr´esente naturellement des propri´et´es de r´esilience.

Le centre, le rayon et la g´eom´etrie ´etant libres, le but de cette approche est d’ap-proximer l’ensemble de tous les correcteurs stabilisants^Kst de l’int´erieur par un ensemble convexe : un{XY Z}-ellipso¨ıde dont un sous-cas est la mod´elisation born´ee en norme.

III.3 Formulations BMI pour la synth` ese par retour