F.3 Passage des coordonn´ ees absolues aux coordonn´ ees relatives locales
Pour comparer les r´esultats produits par les mod`eles non-lin´eaires de chaque satellite et ceux produits par le mod`ele lin´earis´e, il est n´ecessaire d’effectuer une conversion des coordonn´ees cart´esiennes absolues de chaque satellite (exprim´ees dans le rep`ere inertiel Ri) vers les coordonn´ees relatives locales (exprim´ees dans le rep`ere R1). Nous pr´esentons dans cette section les caluls permettant d’effectuer cette conversion.
D’abord les vecteurs des positions et vitesses relatives des satellites dans le rep`ere inertiel sont obtenues par simple diff´erence :
(∆~r)(Ri)= (~r2)(Ri)−(~r1)(Ri) (∆~v)(RRii)= (~v2)(RRii)−(~v1)(RRii)
Ensuite, ces vecteurs sont projet´es dans la base locale R1 `a l’aide de la matrice de passageP1i selon les ´equations suivantes :
(∆~r)(R1) =P1i(∆~r)(Ri) (∆~v)(RRi1) =P1i(∆~v)(RRii)
Le passage du rep`ere inertiel au rep`ere local faisant intervenir trois rotations successives d’angles Ω, iet ω+ν, la matrice de passage s’´ecrit :
Enfin, la vitesse relative doit ˆetre exprim´ee par rapport au rep`ere local, soit : (∆~v)(RR11)= (∆~v)(RRi1)+ (∆~r)(R1)∧Ω(~ R1/Ri)
Si la variation des angles orbitaux est n´eglig´ee devant la variation de l’anomalie vraie, le vecteurΩ(~ R1/Ri) est donn´e par l’expression suivante :
Glossaire
Notations :
L Transform´ee de Laplace
Z Transform´ee en z
s Variable de Laplace
z Variable de la transform´ee en z
1 , 0 Matrice identit´e et matrice nulle de dimensions appropri´ees kΣk2 , kΣk∞ Norme H2 et Norme H∞ du syst`eme Σ
Σd Syst`eme dual du syst`eme primal Σ
Σ1 ⋆Σ2 Syst`eme boucl´e r´esultant de l’interconnexion de Σ1 et Σ2
γ CoˆutH2 obtenu en analyse
χ CoˆutH2 obtenu en synth`ese
det , T race D´eterminant et trace d’une matrice
hAi Partie symm´etrique d’une matrice carr´ee A : hAi=A+A′ Abr´eviations :
LMI, BMI In´egalit´e Matricielle Lin´eaire, Bilin´eaire
LTI Lin´eaire Invariant dans le Temps
LTV Lin´eaire Variant dans le Temps
Vecteurs :
x Etat du syst`eme
u, y Entr´ees de commande et sorties de mesure xd, ud, yd, wd, zd Etat, entr´ees et sorties du syst`eme dual w , z Entr´ees exog`enes et sorties controll´ees
xK Etat du correcteur par retour de sortie dynamique Dimensions :
m Nombre d’entr´ees de commande u∈Rm
p Nombre de sorties de mesure y∈Rp
mw Nombre d’entr´ees exog`enes w∈Rmw pz Nombre de sorties mesur´ees z ∈Rpz
L Nombre de sommets d’un mod`ele incertain polytopique
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Matrices des syst`emes certains et incertains :
A Matrice dynamique d’un syst`eme
B Matrice de commande d’un syst`eme
C Matrice de mesure d’un syst`eme
D Matrice de transmission directe d’un syst`eme M =
A B C D
Matrice d´efinissant la repr´esentation d’´etat d’un syst`eme M(∆) Matrice d´efinissant le mod`ele incertain d’un syst`eme M[i] Matrice d´efinissant le ieme sommet d’un polytope
∆ Op´erateur incertain
Correcteurs :
K Correcteur quelconque
AK BK CK DK
Matrices de la repr´esentation d’´etat d’un corecteur par retour de sortie dynamique
Ensembles :
R , C Ensembles des nombres r´eels et complexes
Ensemble de matrices incertaines r´eelles constantes
Kst Ensembles des correcteurs stabilisants
K
rest Ensembles des correcteurs stabilisants par retour d’´etat Notations de cin´ematique :
~a·~b Produit scalaire du vecteur~a et du vecteur~b
~a∧~b Produit vectoriel du vecteur~a et du vecteur~b (~r)(R) Vecteur position exprim´e dans le rep`ere R
(~v)(RR12) Vecteur vitesse par rapport au rep`ere R1 exprim´e dans le rep`ere R2
Index
par retour d’´etat, 70, 90, 93
par retour de sortie dynamique, 69, 100 par retour de sortie statique, 70
r´esilient, 75, 77, 79, 90, 100 Ellipso¨ıde de matrices, xi In´egalit´es Matricielles
In´egalit´e Matricielle, iv
In´egalit´e Matricielle Bilin´eaire - BMI, iv
In´egalit´e Matricielle Lin´eaire -LMI, iv Incertitudes
born´ees en norme, 28 polytopiques, 28 Lemme d’´elimination, viii Lemme de Finsler, viii
Lemme de Lyapunov p´eriodique, 39, 40 Lemme de Projection, viii
Norme H2 - domaine fr´equentiel, 47 Norme H2 - domaine temporel, 46
Norme H∞ - domaine fr´equentiel, 44 Norme H∞ - domaine temporel, 44 Param`etres orbitaux, xiii
Perturbations orbitales
effet gravitationnel du J2, 111, 115 frottement atmosph´erique, 111, 116 Rep`ere
inertiel Ri, xviii, 110
li´e au plan d’orbite R, xviii, 113 local R1, 110, 114 au sens de Lyapunov, 33 simple, 34
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M´ethodes d’Analyse et de Synth`ese Robustes pour les Syst`emes Lin´eaires P´eriodiques
Cette th`ese porte sur la commande robuste des syst`emes lin´eaires p´eriodiques qui constituent une classe particuli`ere de syst`emes variant dans le temps. Des dynamiques p´eriodiques appa-raissent dans de nombreux domaines des sciences de l’ing´enieur tels que l’a´eronautique, l’espace ou les syst`emes de t´el´ecommunication.
Des m´ethodes syst´ematiques pour l’analyse et la synth`ese robuste de ces syst`emes sont pro-pos´ees. Le cadre de travail choisi est celui de la th´eorie de Lyapunov et fait appel principalement
`a des outils num´eriques de type in´egalit´es matricielles lin´eaires (LMI). La robustesse est envi-sag´ee de mani`ere duale par la prise en compte d’incertitudes pouvant non seulement affecter le syst`eme `a commander mais ´egalement le correcteur lui mˆeme. Ce dernier probl`eme est trait´e par la synth`ese d’ensembles convexes de correcteurs assurant un certain niveau de performances garanties vis-`a-vis du syst`eme boucl´e. La question de la structure temporelle du correcteur est
´egalement pos´ee. Le correcteur doit il n´ecessairement ˆetre de mˆeme p´eriodicit´e que le syst`eme ? Est-il possible de r´eduire le nombre de param`etres `a m´emoriser ? Pour r´epondre `a ces diff´erentes questions, nous avons d´efini la classe des correcteurs p´eriodiques structur´es dans le temps et d´evelopp´e des m´ethodes de synth`ese adapt´ees.
Les r´esultats th´eoriques sont illustr´es sur le probl`eme du maintien `a poste autonome d’un sa-tellite en orbite basse consistant `a maintenir un satellite sur une orbite de r´ef´erence excentrique malgr´e les diff´erentes forces perturbatrices pouvant l’en ´ecarter (frottement atmosph´erique, ef-fet de la distribution non-sph´erique de la masse de la Terre). Diff´erentes lois de commande minimisant certains crit`eres de performances tels que la quantit´e de carburant consomm´ee ou l’influence d’acc´el´erations perturbatrices sont calcul´ees. Leur qualit´e est ensuite ´evalu´ee `a l’aide de simulations non-lin´eaires.
Mots-cl´es : Automatique, syst`emes p´eriodiques, commande, robustesse, th´eorie de Lyapunov, LMI, BMI, commande de satellites.
Robust analysis and synthesis of linear periodic systems
This thesis addresses robustness problems for a linear periodic systems. These correspond to a special case of linear time-varying systems with periodic dynamics. Such periodic processes arise in numerous domains such as aeronautics, celestial mechanics or communication systems.
Systematic procedures for robust analysis and synthesis are proposed. The adopted framework is based on the Lyapunov theory and uses the linear matrix inequalities (LMI) formalism. Un-certainties are supposed to affect not only the system but the controller itself. This last problem is treated by the synthesis of convex sets of controllers ensuring a given level of performances for the closed-loop system. The question of the time structure of the controller is formulated.
Does the controller need to be of the same periodicity as the system ? Is it possible to reduce the number of parameters to be stored inside the controller ? The class of time-structured controller is defined and dedicated synthesis methods are developed.
Theoretical results are illustrated on the problem of the stationkeeping for a spacecraft on a low earth orbit subject to different disturbance accelerations (atmospheric drag, effect of the non spheric mass repartition of the Earth). Different feedback control laws are computed with per-formance requirements such as minimizing the amount of maneuvering propellant or the effect of additional unknown disturbance accelerations. Their efficiency is evaluated by the mean of non linear simulations.
Keywords :Automatic control, periodic systems, robustness, Lyapunov theory, LMI, BMI, spa-cecraft control.