Les multiplieurs caract´eristiques

Dans la suite de ce m´emoire, les syst`emes ´etudi´es sont issus d’une lin´earisation au-tour d’une trajectoire de r´ef´erence ˜x^∗_k. L’´equation d’´evolution d’´etat au voisinage de cette trajectoire peut ˆetre approxim´ee par son d´eveloppement de Taylor au premier ordre :

˜

xk+1 =fk(˜xk)≃fk(˜x^∗_k) + ∂fk(˜xk)

∂x˜k

x˜k=˜x^∗_k

(˜xk−x˜^∗_k) (II.6) En posant xk = ˜xk−x˜^∗_k, l’´equation pr´ec´edente s’´ecrit :

xk+1 =Akxk (II.7)

o`uAk est la matrice Jacobienne de fk ´evalu´ee en ˜xk = ˜x^∗_k.

Le point d’´equilibre du syst`eme lin´earis´e sera donc consid´er´e comme unique et ´egal

`a l’origine : xe = 0. D’apr`es la premi`ere m´ethode de Lyapunov [VID 78], si le point d’´equilibre xe = 0 du syst`eme lin´earis´e est asymptotiquement stable, alors il s’agit ´egale-ment d’un point d’´equilibre asymptotique´egale-ment stable pour le syst`eme non lin´eaire.

Remarque

Pour que la lin´earisation soit valide et pour que la premi`ere m´ethode de Lyapunov puisse ˆetre appliqu´ee, certaines pr´ecautions doivent ˆetre prises. En particulier,f_k(˜x_k)doit v´erifier diff´erentes propri´et´es pr´esent´ees dans [DES 75].

Par principe d’homoth´etie des syst`emes lin´eaires, la stabilit´e du syst`eme (II.7) est toujours globale. Ainsi, le terme global sera ´elud´e par simplicit´e. De plus, par abus de langage, un syst`eme lin´eaire sera dit stable lorsque le point d’´equilibre x_e = 0 est un point d’´equilibre globalement asymptotiquement stable car nous recherchons avant tout

`a caract´eriser des syst`emes convergeant vers ce point d’´equilibre.

Le concept de stabilit´e au sens de Lyapunov ´etant d´efini, il s’agit `a pr´esent de formuler des crit`eres permettant de conclure sur la stabilit´e ou l’instabilit´e du syst`eme lin´eaire p´eriodique certain :

x_k+1 =A_kx_k A_k+N =A_k (II.8)

II.2.2 Les multiplieurs caract´ eristiques

Dans le cas des syst`emes LTI certains `a temps discret, la stabilit´e du syst`eme peut est caract´eris´ee par la localisation des pˆoles (valeurs propres de la matrice dynamiqueA) dans le plan complexe. Si l’ensemble des pˆoles appartient au disque unit´e ouvert alors le syst`eme est stable asymptotiquement.

Dans le cas des syst`emes p´eriodiques, un r´esultat similaire a ´et´e ´etabli dans le cadre de la th´eorie de Floquet-Lyapunov [FLO 83, LYA 92]. Ce r´esultat repose sur une propri´et´e particuli`ere de la matrice de transition d’´etat Φk,l.

La matrice de transition d’´etat entre un instant k et un instant k+N, not´ee Ψk, est appel´ee matrice monodromique du syst`eme `a l’instant k.

D´efinition II.5 (Matrice monodromique)

La valeur de la matrice de transition d’´etat du syst`eme (II.8) apr`es une p´eriode est appel´ee matrice monodromique :

Ψk= Φk+N,k =Ak+N−1Ak+N−2· · ·Ak (II.9) Les valeurs propres de la matrice monodromique Ψk portent le nom de multiplieurs caract´eristiques du syst`eme et sont not´es Λk.

D´efinition II.6 (Multiplieurs caract´eristiques) [BRO 70]

Les multiplieurs caract´eristiques (´egalement connus sous le nom de multiplieurs de Flo-quet, multiplieurs de Poincar´e ou racines caract´eristiques) sont les valeurs propres de la matrices monodromique :

Λk =λ(Ψk) (II.10)

Les multiplieurs caract´eristiques sont ind´ependants de l’instant k o`u la matrice mo-nodromique est ´evalu´ee et peuvent ˆetre compar´es aux pˆoles d’un syst`eme LTI. Ainsi, un syst`eme discret p´eriodique est stable asymptotiquement si et seulement si ses multiplieurs caract´eristiques appartiennent au disque unit´e ouvert.

Th´eor`eme II.1 (Stabilit´e et multiplieurs caract´eristiques) [BRO 70]

Les multiplieurs caract´eristiques sont uniques et ind´ependants de l’instant k :

Λk= Λ ∀ k ≥0 (II.11)

De plus, le syst`eme p´eriodique (II.8) est stable asymptotiquement si et seulement si tous ses multiplieurs caract´eristiques appartiennent au disque unit´e ouvert :

Λ ⊂ D(0,1) (II.12)

Dans le cas g´en´eral, la stabilit´e du syst`eme ne peut donc ˆetre d´eduite de la stabilit´e des matrices Ak. En particulier, il est possible que toutes les matrices Ak soient stables mais que le syst`eme p´eriodique soit instable.

Exemple

Consid´erons le syst`eme 2-p´eriodique suivant :

xk+1 =Akxk , Ak+2 =Ak

II.2. Stabilit´e des mod`eles discrets p´eriodiques 37

Calculons les valeurs de la matrice de transition d’´etat du syst`eme sur une p´eriode `a partir d’un instant initial k= 0 puis k= 1 :

Les matrices Ψ₀ et Ψ₁sont les matrices monodromiques du syst`eme. Leurs valeurs propres sont identiques et constituent les multiplieurs caract´eristiques du syst`eme :

Λ =λ(Ψ0) =λ(Ψ1) ={2.25, 0}

Le syst`eme 2-p´eriodique est donc instable, comme illustr´e sur la Figure II.2 repr´esentant l’´evolution de l’´etat pour des conditions initiales non nulles :x0 = 1 1 ′

.

Fig. II.2 – Evolution de l’´etat pour une condition initiale non nulle Remarque

Dans le premier chapitre (Section I.4.3) ont ´et´e introduites diff´erentes repr´esentations

`a coefficients constants. D’apr`es le Th´eor`eme II.1, le syst`eme p´eriodique et sa repr´esentation lift´ee sont ´equivalents du point de vue de leur stabilit´e. En effet, la matrice dynamique du syst`eme lift´e est la matrice monodromique du syst`eme p´eriodique.

De mˆeme, le syst`eme p´eriodique est stable si et seulement si sa repr´esentation cyclique (I.27) est stable. En effet, du fait de la structure particuli`ere de la matriceA^ck0, ses valeurs propres sont les racinesN-i`emes des multiplieurs caract´eristiques du syst`eme p´eriodique : det(λ¹nN − A^ck0) = det(λ^N1n−Ψk0). (II.13)

Preuve

Soit v = v^′₁ · · · v_N^′ ′

le vecteur propre associ´e `a la valeur propre λ de A^ck0. Alors, par d´efinition, A^ck0v =λv, soit :

En d´eveloppant, le syst`eme d’´equations suivant est obtenu :

 Par remplacements successifs, nous obtenons :

λv1 = Ak0+N−1vN

λ²v1 = Ak0+N−1λvN =Ak0+N−1Ak0+N−2vN−1

...

λ^Nv1 = Ak0+N−1Ak0+N−2· · ·Ak0v1 = Ψk0v1

v1 est donc le vecteur propre de la matrice monodromique Ψk0 associ´e `a la valeur propre

λ^N.

Ainsi, les valeurs propres de A^ck0 appartiennent donc au disque unit´e si et seulement si les multiplieurs caract´eristiques du syst`eme p´eriodique appartiennent au disque unit´e.

Bien qu’int´eressante dans le cas certain, l’´etude de la stabilit´e `a l’aide des multiplieurs caract´eristiques montre ses limitations dans le cas incertain. La m´ethode de Lyapunov pr´esent´ee dans la section suivante se r´ev`ele plus adapt´ee au probl`eme d’analyse de stabilit´e robuste.