I.4 Choix d’un cadre de travail en temps discret
I.4.3 Repr´esentations LTI ´equivalentes
x(Ts(k+ 1)) = Φ(Ts(k+ 1), Ts(k))x(Ts(k)) +
Z Ts(k+1) Ts(k)
Φ(Ts(k+ 1), τ)B(τ)u(τ)dτ y(Ts(k)) =C(Ts(k))x(Ts(k)) +D(Ts(k))u(Ts(k+ 1))
Puisque, du fait du bloqueur d’ordre 0,u(t) est constant sur une p´eriode d’´echantillonnage, la repr´esentation d’´etat du syst`eme ´echantillonn´e est donn´ee par les matrices :
Ak = Φ(Ts(k+ 1), Ts(k)) Bk =
Z Ts(k+1) Ts(k)
Φ(Ts(k+ 1), τ)B(τ)dτ Ck =C(Ts(k))
Dk =D(Ts(k))
(I.24)
Etant donn´eN le nombre d’´echantillons relev´es sur une p´eriode, si l’´echantillonnageTs(k) v´erifie la relation suivante :
Ts(k+N)−Ts(k) =T ∀k ∈N (I.25)
alors le syst`eme ´echantillonn´ee est N-p´eriodique. En effet, d’apr`es les relation (I.25) et (I.19), nous avons :
Ak+N = Φ(Ts(k+N+1), Ts(k+N)) = Φ(Ts(k+1)+T, Ts(k)+T) = Φ(Ts(k+1), Ts(k)) =Ak
De mˆeme, nous obtenons Bk+N =Bk, Ck+N =Ck etDk+N =Dk.
I.4.3 Repr´ esentations LTI ´ equivalentes
La repr´esentation d’´etat discr`ete d’un syst`eme p´eriodique ´etant de dimension finie, il est possible de construire des repr´esentations LTI ´equivalentes `a (I.20) d’un point
I.4. Choix d’un cadre de travail en temps discret 23
de vue entr´ees-sorties. Plus pr´ecis´ement, il s’agit d’associer au syst`eme p´eriodique une repr´esentation LTI ´equivalente.
Dans cette partie sont d´ecrites les deux repr´esentations `a coefficients constants les plus utilis´ees dans la litt´erature : la repr´esentation lift´ee et la repr´esentation cyclique. D’autres repr´esentations `a coefficients constants existent. Le lecteur int´eress´e pourra se reporter `a la r´ef´erence [BIT 00] qui r´epertorie et compare l’ensemble de ces repr´esentations.
I.4.3.1 La repr´esentation lift´ee
Cette repr´esentation fait apparaˆıtre l’´evolution de l’´etat non plus entre deux ins-tants discrets mais sur une p´eriode compl`ete. Les vecteurs d’entr´ee et de sortie sont alors constitu´es de l’ensemble des valeurs prises par l’entr´ee et la sortie sur l’ensemble de la p´eriode. Cette repr´esentation est probablement la plus classique. Introduite dans [KRA 57] pour les syst`emes multi´echantillonn´es puis dans [JUR 59] pour les syst`emes p´eriodiques, elle a souvent ´et´e utilis´ee depuis (dans des contextes vari´es tels que la d´efinition des z´eros p´eriodiques [BOL 86], la commande optimale des syst`emes p´eriodiques [DAH 92] et l’analyse des syst`emes d’att´enuation de vibrations pour les h´elicopt`eres [GAI 04]).
La repr´esentation lift´ee du syst`eme (I.20) s’´ecrit :
x¯i+1,k0 = Alk0x¯i,k0 + Bkl0u¯i,k0
La valeur de l’´etat de ce syst`eme n’´etant mise `a jour qu’`a chaque p´eriode, la valeur de l’´etat `a chaque instant n’est pas directement accessible. En effet, consid´erons le cas o`u l’ensemble de l’´etat est mesurable : yk =xk (Ck =1 et Dk =0 ∀ k ∈N). La sortie de la repr´esentation lift´ee (pouri= 0 et k0 = 0) vaut alors :
¯ y0 =
x′0 x′1 · · · x′N−1 ′
L’ensemble des valeurs de l’´etat sur la p´eriode est donc accessible, mais seulement une fois la p´eriode termin´ee (par exemple, il n’est pas possible de connaˆıtre la valeur de x1
avant l’instant N). Cette repr´esentation lift´ee est donc moins riche que la repr´esentation d’´etat du syst`eme p´eriodique (I.20).
I.4.3.2 La repr´esentation cyclique
Cette reformulation fait apparaˆıtre des vecteurs d’´etat, de commande et de sortie cycliques. Ces vecteurs cycliques, constitu´es deN sous-vecteurs, sont d´efinis de telle sorte qu’`a chaque instant un seul sous vecteur est non nul et que ce sous vecteur non nul se d´eplace de fa¸con cyclique dans la colonne au cours d’une p´eriode. Cette repr´esentation fut introduite dans [PAR 89] et [FLA 91], puis appliqu´ee `a diff´erents probl`emes tel que l’assignation de mod`eles [COL 97].
xˆi+1,k0 = Ack0xˆi,k0 + Bkc0uˆi,k0
Contrairement `a la reformulation lift´ee, la reformulation cyclique est aussi riche que la repr´esentation d’´etat du syst`eme p´eriodique (I.20). Pour le probl`eme d’analyse de stabilit´e, la forme particuli`ere du vecteur d’´etat (I.28) induit une structuration particuli`ere des matrices de Lyapunov (ce point est discut´e en Section II.2.3). De mˆeme, pour le probl`eme de synth`ese de loi de commande, celle-ci doit tenir compte de la structure particuli`ere des vecteurs d’entr´ee et de sortie.
I.4. Choix d’un cadre de travail en temps discret 25
I.4.3.3 La transformation de Floquet
Lorsque seule la matrice dynamique est consid´er´ee, le syst`eme s’´ecrit :
xk+1 =Akxk , Ak+N =Ak (I.29)
Il est alors possible, dans certains cas, de trouver un changement de base N-p´eriodique inversible ˜xk =Skxk tel que :
˜
xk+1 = ˜Ax˜k (I.30)
o`u ˜A est constant.
Th´eor`eme I.1 (Conditions d’existence de la transformation de Floquet)[VAN 94]
Le syst`eme (I.29) admet une transformation de Floquetx˜k =Skxk, Sk+N =Sk, conduisant
`a un syst`eme invariant dans le temps de la forme (I.30) si et seulement si les conditions de rang suivantes sont v´erifi´ees :
rang (Φk0+k,k0) =rk ind´ependant de k , ∀ k0 ∈ {1· · ·N} , ∀ k ∈ {1· · ·n} (I.31) o`u Φ est la matrice de transition d’´etat du syst`eme d´efinie en (I.23) et n est l’ordre du syst`eme (I.29).
Dans le cas r´eversible, la transformation de Floquet est toujours possible puisque la condition de rang (I.31) est v´erifi´ee. La matrice ˜A et la suite N-p´eriodique de matrices {Sk}k∈{1···N} peuvent alors ˆetre d´etermin´ees `a l’aide des relations suivantes propos´ees dans l’article [VAN 94] :
A˜= S1Φ1+N,1S1−1N1
(I.32)
Si = ˜AiS1Φ−1i,1 (I.33)
o`u S1 est une matrice inversible choisie arbitrairement et Φ est la matrice de transition d’´etat du syst`eme : Φk,l =Ak−1Ak−2· · ·Al.
Historiquement, ces repr´esentations ont ´et´e introduites pour permettre d’appliquer aux syst`emes p´eriodiques les m´ethodes d’analyse et de synth`ese d´evelopp´ees dans le cadre LTI. Nous leur pr´ef´ererons des approches plus directes bas´ees sur la repr´esentation (I.20) pour les raisons suivantes :
– la repr´esentation lift´ee est moins riche en information que la repr´esentation p´eriodique (la valeur de l’´etat par exemple n’est mise `a jour qu’au bout d’une p´eriode),
– la repr´esentation cyclique implique la prise en compte de la structure particuli`ere des vecteurs du syst`eme,
– la transformation de Floquet ne s’applique pas dans tout les cas et ne s’´ecrit que pour le syst`eme autonome.