R´eduction de la complexit´e num´erique

Les in´egalit´es matricielles apparaissant dans les Th´eor`emes III.3, III.4 et III.5 sont non-lin´eaires. Une m´ethode de r´esolution de ces in´egalit´es est propos´ee en Section III.3.1.

Cette partie pr´esente diff´erente m´ethodes permettant de r´eduire la complexit´e num´erique associ´ee `a ces in´egalit´es.

III.3.4.1 Formulations BMI

Une premi`ere m´ethode pour r´eduire la complexit´e num´erique [FAR 06b] consiste `a fixer la valeur de la g´eom´etrie Zk = ¹ dans les in´egalit´es matricielles (III.21-III.23), (III.27-III.29) ou (III.34-III.36). Le probl`eme devient alors BMI et peut ˆetre trait´e

`a l’aide de solveurs d´edi´es tels que PenBMI [KOC 04] interfac´e avec Matlab^R par YALMIP [L¨oF 01]. Ces solveurs ne pr´esentent pas de garantie de convergence mais se montrent efficaces en pratique [FAR 06b].

Le fait de choisir a priori la g´eom´etrie n’est pas un choix restrictif au sens o`u, s’il existe une solution pour Zk 6= ¹, alors il existe une solution pour Zk = ¹. L’ellipso¨ıde trouv´e

´etant cependant de plus petite dimension.

Lemme III.10

S’il existe une solution au probl`eme de faisabilit´e associ´e aux LMIs (III.21-III.22), (III.27-III.28) ou (III.34-III.35) et aux in´egalit´es non-lin´eaires (III.23), (III.29) ou (III.36), alors il existe une solution au probl`eme de faisabilit´e associ´e aux mˆemes LMIs avec Zk=¹ ∀ k ∈ {1· · ·N} et aux BMIs (∀k ∈ {1· · ·N}) :

Xk ≤YkYk′. (III.45)

Preuve

La preuve est faite uniquement pour le Th´eor`eme III.3. La mˆeme d´emarche peut ce-pendant ˆetre appliqu´ee aux Th´eor`emes III.4 et III.5.

Supposons qu’il existe N quadrupl´es {Pk, Xk, Yk, Zk}k∈{1···N} tels que les in´egalit´es (III.21-III.23) sont satisfaites pour toutk ∈ {1· · ·N}. Soit λ la plus grande valeur propre

des matrices sym´etriques d´efinies positives Zk :

Multiplions les LMIs (III.21) par 1/λ :

De plus, les contraintes non-lin´eaires s’´ecrivent : X¯k−Y¯kY¯_k^′ = 1

λ(Xk−YkZ_k⁻¹Y_k^′)≤⁰

Ainsi, les N quadrupl´es {P¯k, X¯k, Y¯k, Z¯k = ¹}k∈{1···N} v´erifient les in´egalit´es

(III.21-III.23) pour tout k ∈ {1· · ·N}.

Remarque Une interpr´etation g´eom´etrique de ce lemme peut ˆetre donn´ee. Supposons qu’il existe une s´equence d’{XkYkZk}-ellipso¨ıdes de correcteurs stabilisant le syst`eme.

Alors, il est toujours possible de trouver une s´equence de sph`eres ({X¯<sub>k</sub>Y¯<sub>k</sub><sup>1</sup>}-ellipso¨ıdes) de correcteurs stabilisants contenues dans ces ellipso¨ıdes. Ces sph`eres ont le mˆeme centre que les ellipso¨ıdes mais sont de dimension plus faible (voir aussi Corollaire III.6).

III.3.4.2 Formulation duale

Une autre m´ethode permettant de diminuer la complexit´e num´erique consiste `a r´eduire la taille des contraintes non-lin´eaires (III.23), (III.29) ou (III.36). Ceci est possible lorsque le nombre d’entr´ee est inf´erieur au nombre de sorties m < p en utilisant la formulation duale des Th´eor`emes III.3, III.4 et III.5.

A titre d’exemple, nous pr´esentons ici la version duale du Th´eor`eme III.3. La mˆeme m´ethodologie peut ˆetre employ´ee pour obtenir les versions duales des Th´eor`emes III.4 et III.5.

III.3. Formulations BMI pour la synth`ese par retour de sortie statique 87

Corollaire III.11 (Synth`ese d’ensemble ellipso¨ıdaux de correcteurs par retour de sortie statique - Formulation duale)

Le syst`eme (III.20) est stabilisable par retour de sortie statique si et seulement s’il existe N matrices de Lyapunov{Wk∈ Sⁿ⁺}0∈{1···N−1} etN tripl´es de matrices{X^d_k ∈ S^m, Y^d_k ∈ et les contraintes non lin´eaires :

X^d_k ≤Y^d_kZ^d_k ⁻¹Y_k^d′. (III.48) Soient des matrices {Wk}k∈{0···N−1} et {X_k^d, Y_k^d, Z_k^d}^{k∈{1···N}} solutions des in´egalit´es (III.46-III.48). Alors, les matrices{X_k^d, Y_k^d, Z_k^d}k∈{1···N}d´efinissent une s´equenceN-p´eriodique d’ensembles ellipso¨ıdaux. Toute suite de matrices {Kk}k∈^N telle que, `a chaque instant k, K<sub>k</sub><sup>′</sup> appartient `a l’{X_k^dY_k^dZ_k^d}-ellipso¨ıde de cette s´equence d´efinit un correcteur stabilisant.

Preuve de suffisance Supposons qu’il existe N matrices {Wk}k∈{0···N−1} et N tripl´es {X_k^d, Y_k^d, Z_k^d}k∈{1···N} tels que les in´egalit´es (III.46-III.48) sont satisfaites pour tout k ∈ (C.1), il est alors possible d’´ecrire :

Vk−1(x^d_k−1)−Vk(x^d_k)< y_k^d′ du syst`eme dual. L’´equivalence du point de vue de la stabilit´e entre le syst`eme et son dual

pr´esent´ee dans le Lemme III.2 conclut la preuve.

Ainsi, il est pr´ef´erable d’utiliser le Corollaire III.11 par rapport au Corollaire III.3 lorsquem < p. En effet, lesN contraintes non lin´eaires (III.48) sont de dimension malors que les contraintes (III.23) sont de dimensionp. Les algorithmes de r´esolution num´erique sont alors plus efficaces en pratique.

III.3.5 Exemple num´ erique

Soit le syst`eme 3-p´eriodique certain d´efini dans l’espace d’´etat par les matrices :

A1 = Les multiplieurs caract´eristiques du syst`eme sont :

Λ1 =λ(Φ4,1) ={2.6760, 0.0417, 0.0094} Ce syst`eme est donc instable en boucle ouverte.

Nous cherchons `a stabiliser ce syst`eme `a l’aide d’un correcteur par retour de sortie statique r´esilient `a une incertitude multiplicative telle que 30% de variations sur chaque gain du correcteur ne d´estabilise pas le syst`eme. Nous appliquons donc le corollaire III.3 en rempla¸cant les contraintes non-lin´eaires par celles propos´ees au Corollaire III.8. De plus, nous choisissons de fixer la g´eom´etrie comme propos´e au Lemme III.10 pour obtenir des contraintesBMIs. Ainsi, nous r´esolvons le probl`eme de faisabilit´e associ´e auxLMIs (III.21-III.22) et aux BMIs (III.42) avec Zk =¹ ∀ k∈ {1· · ·N}.

Apr`es 7 it´erations du solveur PenBMI, une s´equence 3-p´eriodique d’ensembles el-lipso¨ıdaux stabilisants est trouv´ee. Les centres de ces 3 ensembles sont :

K₁⁰ =

Les multiplieurs caract´eristiques attestent de la stabilit´e du syst`eme boucl´e : Λ^bf₁ = λ(Φ^bf_4,1) ={0.0945±0.1208i, 0.1176}.

Toute suite de gains matriciels dont la valeur `a l’instant k appartient au k-i`eme el-lipso¨ıde de la Figure III.6 d´efinit un correcteur stabilisant. Les correcteurs stabilisants ainsi obtenus ne sont donc pas n´ecessairement p´eriodiques. Afin d’obtenir des correcteurs p´eriodiques, il suffit de choisir une s´equence de gains pour les instants 1 `a 3 et de la r´ep´eter.

Remarque

Les correcteurs ´etant impl´ement´es num´eriquement, chaque gain occupe un certain espace m´emoire. Il est donc pr´ef´erable de choisir un correcteur p´eriodique, et en particulier le correcteur dont les gains correspondent aux centres des ellipso¨ıdes car il pr´esente la plus forte r´esilience.