Exemple Num´erique

Reprenons l’exemple de la Section II.4.2 avec une borne sur le param`etre incertain α≤α¯= 0.01. La repr´esentation d’´etat du syst`eme 3-p´eriodique incertain est donn´ee par les matrices :

Bu1 =Bw1 = 1

β

Bu2 =Bw2 = 1

−^3β+2₁₀

Bu3 =Bw3 =

0.5(β+ 1) 1

Czk =

1 0

Dzuk =Dzwk = 0 ∀ k = 1,2,3

Les deux param`etres incertains |α| ≤ 0.01 et 0 ≤ β ≤ 1 d´efinissent un polytope `a 4 sommets pour les matrices du syst`eme. Une m´ethode de synth`ese a permis de calculer le correcteur par retour d’´etat suivant :

uk =Kkxk Kk+3 =Kk

o`u : K1 =

0.0167 −0.0175

K2 =

0.8495 −2.6782

K3 =

−4.9538 −3.6797 La performance du syst`eme boucl´e par ce correcteur est maintenant ´evalu´ee par le calcul de bornes sous optimales du coˆut H2. La borne quadratique, correspondant `a un choix de fonction de Lyapunov ind´ependante des param`etres, est calcul´ee `a l’aide du Th´eor`eme II.18 :

γ_g^q = 25.6046

La borne ´etendue, correspondant `a une fonction de Lyapunov de type polytopique, est calcul´ee `a l’aide du Th´eor`eme II.19 :

γ_g^e= 9.1374

Ces r´esultats montrent clairement l’avantage du cadre de travail ´etendu sur le cadre de travail quadratique. Afin d’´evaluer la qualit´e de la borne H2 ´etendue par rapport au pire des cas r´eel, la valeur de la norme H2 est calcul´ee pour une grille de 400 points sur les param`etres incertains α et β. Le pire des cas est obtenu pour α = 0.01 et β = 1. La norme H2 du syst`eme pour ces valeurs de α etβ vaut alors :

γ_pc^grille = 6.8430

La Figure II.4 illustre ces diff´erents r´esultats. La surface ondul´ee repr´esente la valeur de la norme H2 en fonction des param`etres incertains α etβ. Le pire cas correspondant

`a la valeur de la norme H2 la plus ´elev´ee sur cette surface est indiqu´e par un point. Les deux surfaces planes en trait plein et en pointill´es repr´esentent respectivement le coˆutH2

quadratique garanti et le coˆutH² ´etendu garanti. La distance entre ces surfaces et le coˆut H² dans le pire des cas illustre le pessimisme associ´e `a chaque m´ethode.

Remarque Ici, le pire des cas semble ˆetre atteint sur un des sommets du polytope. Il s’agit bien entendu d’un cas particulier. Evaluer la norme H2 (ou la stabilit´e) sur les sommets d’un polytope ne permet pas de conclure sur la valeur dans le pire des cas de la borne H2 sur l’ensemble du polytope.

II.5. Conclusion 61

−0.01

−0.005 0 0.005 0.01

0 0.5

1 10¹

β α

||Σ(α,β)||

2

γ_g^e γg q

γpc grille

Fig. II.4 – Analyse de performance H2 robuste

II.5 Conclusion

Nous avons pr´esent´e dans ce chapitre diff´erentes m´ethodes bas´ees sur la th´eorie de Lyapunov permettant d’analyser la stabilit´e et les performances des syst`emes lin´eaires p´eriodiques `a temps discret.

Dans un premier temps, nous avons consid´er´e le cas certain. Les m´ethodes font alors intervenir des in´egalit´es matricielles lin´eaires. Le cas plus complexe du probl`eme d’ana-lyse robuste est ensuite trait´e pour des incertitudes param´etriques de type polytopique.

Les m´ethodes d’analyse robuste propos´ees peuvent ˆetre class´ees en deux cat´egories. Les premi`eres sont issues de la th´eorie de la stabilit´e quadratique alors que les secondes font appel `a des matrices de Lyapunov d´ependant des param`etres. Nous d´emontrons d’un point de vue th´eorique et nous confirmons sur diff´erents exemples que ce second cadre de travail, appel´e cadre de travail ´etendu, est moins pessimiste que le premier. Cette approche fait intervenir des variables additionnelles permettant de d´ecoupler les matrices du syst`eme des matrices de Lyapunov. La r´eduction du pessimisme se fait donc au d´epend d’une augmentation du nombre de variables de d´ecision et de la taille desLMIs.

Ces m´ethodes d’analyse sont la base des m´ethodes de synth`ese d´evelopp´ees dans le cha-pitre suivant. Par ailleurs, nous verrons comment mettre `a profit le d´ecouplage offert par l’utilisation des variables additionnelles, non plus seulement pour r´esoudre des probl`emes de robustesse, mais aussi pour r´esoudre certains probl`emes particuliers de synth`ese.

Chapitre III Synth` ese de lois de commande

Sommaire

III.1 Introduction . . . 64 III.2 Probl´ematique . . . 65 III.2.1 Nature du correcteur . . . 65 III.2.2 Propri´et´es attendues pour le syst`eme boucl´e . . . 72 III.3 Formulations BMI pour la synth`ese par retour de sortie

statique . . . 76 III.3.1 Retour de sortie statique r´esilient . . . 77 III.3.2 Retour de sortie statique r´esilient et robuste . . . 79 III.3.3 Sp´ecifications additionnelles sur le correcteur . . . 83 III.3.4 R´eduction de la complexit´e num´erique . . . 85 III.3.5 Exemple num´erique . . . 88 III.4 M´ethodes LMI pour la synth`ese par retour d’´etat et par

retour de sortie dynamique d’ordre plein . . . 89 III.4.1 Retour d’´etat . . . 90 III.4.2 Retour de sortie dynamique d’ordre plein . . . 100 III.4.3 Correcteurs structur´es . . . 104 III.5 Conclusion . . . 106

63

III.1 Introduction

Dans le chapitre pr´ec´edent ont ´et´e pr´esent´ees diff´erentes m´ethodes permettant d’ana-lyser les propri´et´es d’un syst`eme. Si ce dernier n’atteint pas les performances d´esir´ees, un dispositif sp´ecifique, appel´esyst`eme de commande oucorrecteur, est utilis´e afin de modifier le comportement dynamique du syst`eme ´etudi´e. Le but du syst`eme de commande est d’exercer des actions entraˆınant une am´elioration du comportement du syst`eme et de ses performances.

En pr´esence de perturbations non mesur´ees et d’incertitudes affectant le mod`ele, cette commande doit tenir compte des mesures effectu´ees sur le syst`eme. Ce type de commande est alors appel´ee commande en boucle ferm´ee (Figure III.1).

wk zk

uk yk

K

Σ

Σ _bf

Fig. III.1 – Mod`ele standard pour le probl`eme de synth`ese

La probl´ematique de synth`ese est de concevoir un correcteur permettant au syst`eme boucl´e Σbf d’atteindre un certain nombre d’objectifs ou sp´ecifications. Cette conception peut se faire en plusieurs ´etapes comme suit.

La premi`ere est le choix du type de correcteur utilis´e. Ce choix, conditionn´e en partie par les d´ecisions prises `a l’´etape de mod´elisation, est discut´e dans la Section III.2.1. Les diff´erents aspects abord´es sont la p´eriodicit´e, l’ordre du correcteur et l’utilisation d’un retour d’´etat ou de sortie.

Il s’agit ensuite de sp´ecifier les propri´et´es attendues pour le syst`eme boucl´e : robustesse vis-`a-vis d’incertitudes affectant le mod`ele (stabilit´e et performances robustes) et robus-tesse vis-`a-vis d’incertitudes affectant le correcteur (r´esilience). Ces aspects sont ´etudi´es en Section III.2.2.

Enfin, une fois la nature du correcteur choisie et les objectifs `a atteindre sp´ecifi´es, il s’agit de fournir des m´ethodes de synth`ese permettant de calculer les param`etres du correcteur. Le calcul de ces param`etres est bas´e sur les m´ethodes d’analyse de la boucle ferm´ee pr´esent´ees au chapitre pr´ec´edent. Le probl`eme de synth`ese est alors formul´e comme un probl`eme d’analyse dont une partie des donn´ees du mod`ele en boucle ferm´ee est `a re-chercher. Ces probl`emes sont d’abord ´ecrits dans leur forme la plus g´en´erale `a l’aide d’in´egalit´es matricielles bilin´eaires (BMIs) en Section III.3. Ensuite, diff´erentes