II.4 Analyse robuste en stabilit´e et performances
II.4.1 Analyse de la stabilit´e robuste
Un mod`ele incertain est dit robustement stable si toutes ses r´ealisations admissibles sont stables.
D´efinition II.11 (Stabilit´e robuste)
Le syst`eme (II.56) est robustement stable si, pour toute valeur admissible des param`etres ξ ∈Ξ, le syst`eme est stable.
Les m´ethodes de synth`ese par retour d’´etat propos´ees au Chapitre III font intervenir les versions duales des conditions LMIs d’analyse. Nous choisissons donc de pr´esenter les r´esultats d’analyse robuste sur le syst`eme dual suivant :
xdk−1
Comme dans le cas certain, le syst`eme (II.56) et le syst`eme dual (II.57) sont ´equivalents du point de vue stabilit´e et performances robustes. Cependant, les m´ethodes d’analyse
II.4. Analyse robuste en stabilit´e et performances 51
robuste pr´esent´ees par la suite faisant intervenir des relaxations, les r´esultats obtenus sur le syst`eme primal et le syst`eme dual peuvent diff´erer. Nous nous limitons `a la pr´esentation des r´esultats sur le syst`eme dual car cette forme est adapt´ee `a la r´esolution des probl`emes de synth`ese par retour d’´etat pr´esent´es au Chapitre III.
S’il est ais´e de prouver la stabilit´e d’une r´ealisation (correspondant `a un choix parti-culier deξ) `a l’aide du calcul des multiplieurs caract´eristiques, comment garantir que ces derniers appartiennent au disque unit´e pour tout ξ∈Ξ ?
Remarque
La stabilit´e des sommets d’un polytope n’implique pas la stabilit´e de l’ensemble des ma-trices du polytope. Diff´erents contre-exemples appuyant cette conjecture sont donn´es dans [BAR 84] pour le cas des matrices par intervalles qui constituent un cas particulier des polytopes de matrices. Ainsi, tester la stabilit´e des sommets du polytope ne permet pas de conclure sur sa stabilit´e.
La seconde m´ethode de Lyapunov se r´ev`ele la plus adapt´ee pour aborder le probl`eme d’analyse robuste. En effet, le Th´eor`eme II.2 peut ˆetre ´etendu au cas incertain en consid´erant des fonctions de Lyapunov d´ependant des param`etres :
Vk(xdk, ξ) (II.58)
A partir de ce choix de fonction de Lyapunov, la condition de stabilit´e suivante peut ˆetre formul´ee.
Th´eor`eme II.14 (Stabilit´e robuste - Formulation par in´egalit´es matricielles) Le syst`eme (II.56) est robustement stable si et seulement s’il existe N matrices de Lya-punov d´ependant de param`etres {Wk(ξ)∈ Sn+}k∈{0···N−1}, telles que ∀ ξ∈Ξ :
Ak(ξ)Wk−1(ξ)A′k(ξ)−Wk(ξ)<0 , ∀ k∈ {1· · ·N} (II.59)
WN(ξ) = W0(ξ) (II.60)
Ce r´esultat est l’extension directe au cas incertain du Lemme II.4. Cependant, mˆeme dans le cas plus simple o`u le syst`eme (II.56) est LTI, ce probl`eme est difficile `a r´esoudre.
En effet, il s’agit d’un probl`eme de dimension infinie puisque lesLMI(II.59-II.60) doivent ˆetre v´erifi´ees pour tout ξ ∈ Ξ. A l’exception de cas particuliers, il est n´ecessaire de faire intervenir certaines relaxations permettant de ramener ce probl`eme en dimension finie.
Dans le cas LTI, une relaxation couramment employ´ee consiste `a utiliser une fonction de Lyapunov ind´ependante des param`etres. Ce cas particulier, initialement propos´e par [HOL 80, BAR 85], est connu dans la litt´erature sous l’appellation de stabilit´e qua-dratique. La stabilit´e quadratique est `a la base de tr`es nombreux travaux (par exemple [BER 89, KHA 90, GER 91]). Ce r´esultat peut ˆetre ´etendu aux syst`emes p´eriodiques comme propos´e dans [De 00]. La fonction de Lyapunov s’´ecrit alors :
Vk(xdk, ξ) = Vk(xdk) =xdk′Wkxdk (II.61) Un tel choix de fonction de Lyapunov conduit `a la formulation LMI suivante :
Th´eor`eme II.15 (Stabilit´e quadratique) [De 00]
Le syst`eme (II.56) est quadratiquement stable si et seulement s’il existe N matrices de Lyapunov {Wk∈ Sn+}k∈{0···N−1}, telles que ∀ i∈ {1· · ·L} :
A[i]k Wk−1A[i]k′−Wk <0 , ∀ k ∈ {1· · ·N} (II.62)
WN =W0 (II.63)
Preuve
Supposons qu’il existe N matrices {Wk}k∈{0···N−1} solutions de (II.62-II.63). Appliquons la transformation de Schur aux in´egalit´es (II.62-II.63), on obtient, ∀ i∈ {1· · ·L} :
"
−Wk A[i]kWk−1
Wk−1A[i]k′ −Wk−1
#
<0 , ∀ k ∈ {1· · ·N} WN =W0
Le calcul des combinaisons convexes sur les L sommets permet d’´ecrire, ∀ ξ∈Ξ : −Wk Ak(ξ)Wk−1
Wk−1A′k(ξ) −Wk−1
<0 , ∀ k∈ {1· · ·N} WN =W0
En appliquant `a nouveau la transformation de Schur aux N in´egalit´es pr´ec´edentes, les in´egalit´es (II.62-II.60) sont obtenues avec Wk(ξ) = Wk. L’´equivalence entre le syst`eme
dual et le syst`eme original conclut la preuve.
Imposer `a la fonction de Lyapunov d’ˆetre ind´ependante des param`etres incertains ξ introduit clairement un certain pessimisme. Ainsi, la condition de stabilit´e quadratique du Th´eor`eme II.15 est une condition simplement suffisante de stabilit´e robuste. Ce pessimisme reste probl´ematique, mˆeme si pour un nombre non n´egligeable d’applications, l’approche est concluante [GAR 97, MAG 97, ELG 00].
Une m´ethode pour r´eduire ce pessimisme consiste `a rechercher des fonctions de Lyapu-nov d´ependant de param`etres [FER 96, FU 00, GAH 96, IWA 99]. Mˆeme si le syst`eme incertain pr´esente une structure polytopique, il est ´evidemment impossible de connaˆıtre a priori la forme de la d´ependance de la fonction candidate de Lyapunov envers les pa-ram`etres incertains. Cependant, il semble naturel de rechercher des fonctions de Lyapunov polytopiques de la forme :
Vk(xdk, ξ) =xdk′Wk(ξ)xdk (II.64) avec :
Wk(ξ) =
N
X
i=1
ξiWk[i] (II.65)
A partir de ce choix de fonction candidate de Lyapunov, la condition suffisante de stabilit´e robuste suivante peut ˆetre formul´ee.
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Th´eor`eme II.16 (Stabilit´e ´etendue) [ARZ 05, FAR 05b]
S’il existe N ·L matrices de Lyapunov {W[i]k ∈ Sn+}k∈{0···N−1} et N matrices {Hk ∈
R
n×2n}k∈{1···N} telles que, ∀ i∈ {1· · ·L} :
"
−Wk[i] 0
0 Wk−1[i]
# +
*"
A[i]k
−1
# Hk
+
<0 , ∀ k ∈ {1· · ·N} (II.66)
WN[i]=W[i]0 (II.67)
alors, le syst`eme (II.56) est robustement stable.
Preuve
Supposons qu’il existeN·Lmatrices {Wki}k∈{0···N−1} etN matrices{Hk}k∈{1···N} solutions de (II.66-II.67), alors le calcul des combinaisons convexes sur les L sommets permet d’´ecrire :
−Wk(ξ) 0
0 Wk−1(ξ)
+
Ak(ξ)
−1
Hk
<0 , ∀ k ∈ {1· · ·N} , ∀ ξ ∈Ξ WN(ξ) = W0(ξ) , ∀ ξ ∈Ξ
En appliquant le lemme d’´elimination `a chacune desN in´egalit´es pr´ec´edentes, les in´egalit´es
(II.59-II.60) sont obtenues.
Les nouvelles variables Hk introduites dans le Th´eor`eme II.16 `a l’aide du lemme d’´elimination sont des variables de relaxation (ou variables additionnelles). L’augmen-tation du nombre de variables induit des degr´es de libert´e suppl´ementaires. Ici, elles sont utilis´ees pour d´ecoupler les matrices de Lyapunov W[i]k et les matrices du syst`eme A[i]k. Ce d´ecouplage permet l’utilisation de fonctions de Lyapunov d´ependant de param`etres de la forme (II.64-II.65) o`u les matrices de Lyapunov W[i]k sont d´efinies `a chaque som-met du polytope. Il est ainsi possible de prouver que cette nouvelle condition de stabilit´e robuste est toujours moins pessimiste que celle d´evelopp´ee dans le cadre de l’approche quadratique.
Lemme II.17 (Relation entre la stabilit´e quadratique et la stabilit´e ´etendue) Si le syst`eme (II.56) est quadratiquement stable alors il existe N · L matrices {Wk[i] ∈ Sn+}k∈{0···N−1} et N matrices {Hk ∈Rn×2n}k∈{1···N} solutions de (II.66-II.67).
Preuve
S’il existe N matrices Wk solutions de (II.62-II.63), alors les matrices Wk[i]=Wk , k∈ {1· · ·N} , i ∈ {1· · ·L} Hk =
0 Wk
, k∈ {1· · ·N}
sont des solutions des LMIs (II.66-II.67).
Remarque
La r´eduction du pessimisme apport´ee par l’approche ´etendue passe par l’augmentation du nombre de variables de d´ecision dans le probl`emeLMI. Ces nouvelles variables Hk sont au nombre de N et de dimension n ×2n. Lorsque l’ordre et/ou la p´eriode du syst`eme sont importants, l’approche ´etendue entraˆıne donc une augmentation non n´egligeable de la complexit´e num´erique du probl`eme.