O UTILS D ’ ANALYSE TEMPORELLE

(2. 52)

où l’étoile indique le nombre complexe conjugué. Pour un signal discret réel et fini, cela donne :

𝐶_𝑥𝑦(𝑘) = ∑ 𝑥(𝑛)𝑦(𝑛 − 𝑘) 𝑁

𝑛=1

(2. 53)

En effectuant une normalisation lors du calcul de la fonction d’intercorrélation, un coefficient c quantifiant le taux de ressemblance entre les signaux peut être obtenu :

𝐶_{𝑥𝑦𝑁𝑜𝑟𝑚}(𝑘) = ^{𝐶𝑥𝑦(𝑘)} √𝐶𝑥𝑥0× 𝐶_𝑦𝑦0 ^{(2. 54)} avec : 𝐶_𝑥𝑥0= ∑|𝑥(𝑛)|2 𝑁 𝑛=1 (2. 55) et : 𝐶_𝑦𝑦0 = ∑|𝑦(𝑛)|2 𝑁 𝑛=1 (2. 56)

Le coefficient c est le maximum de la fonction d’intercorrélation normalisée 𝐶_{𝑥𝑦𝑁𝑜𝑟𝑚}. Il est compris entre 0 et 1 ; plus il est proche de 1, plus les signaux se ressemblent.

IV.2. O

’

Certains descripteurs temporels sont représentés sur la Figure 2. 24.

Parmi les descripteurs temporels, l’amplitude pic (A) est souvent utilisée en EA. C’est l’amplitude maximale du signal. Elle est en général mesurée en dB. Dans la suite de ce travail, son unité dépend de la quantité mesurée :

 En V si c’est une tension  En nm si c’est un déplacement

Figure 2. 24 : Descripteurs temporels calculés sur les signaux d’émission acoustique.

Le temps de montée (TM) et la durée (D) sont aussi utilisés. Le temps de montée est le temps auquel le signal atteint l’amplitude pic. Il se mesure en 𝜇𝑠. La durée quant à elle, est la durée totale du signal fenêtré (en 𝜇𝑠).

L’énergie du signal est associée à l’aire sous la courbe du signal. Le logiciel AEWIN qui enregistre des signaux sous la forme d’une tension (U en V), calcule l’énergie de la façon suivante :

𝐸 =¹

𝑅^{∑ 𝑈𝑖2. ∆𝑡} 𝑚𝑎𝑥

𝑖=1

(2. 57)

Où R est une résistance de référence égale à 10 k. E est une énergie, elle s’exprime donc en Joules (J) et ∆𝑡 est la période d’échantillonnage du signal.

Lors des simulations et des mesures effectuées au cours de ce travail, la quantité acquise est une vitesse particulaire (v en m/s). Le calcul de l’énergie est effectué de la façon suivante :

𝐸 =^𝜌 𝑑^{∑ 𝑣𝑖2}

𝑚𝑎𝑥 𝑖=1

. ∆𝑡 (2. 58)

Il s’agit cette fois-ci d’une énergie volumique exprimée en 𝐽/𝑚3.

D’autres descripteurs sont moins utilisés comme le taux de passage par zéro (TPZ). Il mesure le nombre de fois (en %) où le signal coupe l’axe des abscisses. Pour une même durée, un signal contenant des plus hautes fréquences aura donc un TPZ plus élevé qu’un signal contenant de plus basses fréquences. Il peut être associé au nombre de coups qui compte le nombre de dépassement de seuil du signal.

TPZ =^{Nombre de passages par zéro}

Nombre total d′échantillons ^{× 100 (2. 59)} Le barycentre temporel (BT) est le barycentre (en 𝜇𝑠) de la forme temporelle du signal, il se calcule de la façon suivante :

𝐵𝑇 = ∑ 𝑡_𝑖√ 𝑎𝑖² 𝑡_𝑚𝑎𝑥 𝑚𝑎𝑥 𝑖=1 ∑ √ 𝑎𝑖² 𝑡_𝑚𝑎𝑥 𝑚𝑎𝑥 𝑖=1 (2. 60)

Avec 𝑎 : la quantité mesurée (tension, vitesse particulaire, etc.)

IV.3. O

’

IV.3.1. Transformée de Fourier 1D

La transformée de Fourier [94] permet de visualiser le contenu fréquentiel d’un signal à partir de sa forme temporelle. Les expressions analytiques de la transformée de Fourier (TF) et de la transformée de Fourier inverse (TFI) sont les suivantes :

𝑋(𝜔) = ∫^+∞𝑥(𝑡)𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡 −∞ (2. 61) 𝑥(𝑡) = ¹ 2𝜋^{∫ 𝑋(𝜔)𝑒𝑖𝜔𝑡𝑑𝜔} +∞ −∞ (2. 62) Avec :

 𝑥(𝑡) : la forme temporelle du signal  𝑋(𝜔) : la forme fréquentielle du signal  𝑖 : l’unité imaginaire

 𝜔 : la pulsation

Une propriété importante de la transformée de Fourier, qui sera utilisée par la suite, est : La transformée de Fourier du produit de convolution de deux fonctions est le produit des transformées de ces deux fonctions et inversement, soit :

𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡) ∗ ℎ(𝑡) ⇔ 𝑌(𝜔) = 𝑋(𝜔)𝐻(𝜔) (2. 63)

En pratique, le traitement des signaux numériques se fait sur des valeurs discrètes. Lors de la mesure, le signal est échantillonné à une cadence suffisamment élevée pour pouvoir retrouver le signal original à partir du signal échantillonné, c’est-à-dire qu’il respecte le théorème de Shannon : on peut reconstruire le signal continu à partir d’un signal échantillonné si la bande de fréquence occupée par le signal continu est inférieure à la moitié de la fréquence d’échantillonnage. En d’autres

Sur des signaux numériques, la transformée de Fourier discrète (TFD) est utilisée, 𝑥 est maintenant un signal discret de 𝑁 échantillons, sa TFD est 𝑋 et se défini comme suit :

𝑋(𝑘) = ∑ 𝑥(𝑛)𝑒^{−2𝑖𝜋𝑛𝑘}𝑁 𝑁−1 𝑛=0 (2. 64) Et sa TFD inverse : 𝑥(𝑛) = ¹ 𝑁^{∑ 𝑆(𝑘)𝑒} 2𝑖𝜋𝑘_𝑁 𝑁−1 𝑘=0 (2. 65)

La TFD sera utilisée pour l’analyse spectrale des signaux et sera calculée à l’aide de la transformée de Fourier rapide (FFT), un algorithme de calcul de la TFD.

IV.3.2. Transformée de Fourier 2D

La Transformée de Fourier peut se faire sur des signaux 2D, par exemple pour analyser le contenu fréquentiel d’une image. Dans cette étude, elle est utilisée sur des matrices de signaux mesurés à différentes distances de propagation. Ainsi, dans chaque matrice de signaux, une coordonnée représente le temps et l’autre la distance.

La TF2D permet de visualiser ces matrices de signaux dans le domaine fréquentiel, c’est-à-dire la fréquence spatiale (qui n’est autre que le nombre d’onde k dans la c’est-à-direction considérée) en fonction de la fréquence temporelle. L’algorithme de calcul utilisé est aussi celui de la FFT.

IV.3.3. Descripteurs fréquentiels

Les descripteurs fréquentiels sont calculés sur le spectre fréquentiel des signaux obtenus par application d’une TFD (Figure 2. 25).

Figure 2. 25 : Descripteurs calculés sur le spectre fréquentiel du signal (Figure 2. 24).

La fréquence pic (FP en kHz) est la fréquence qui correspond au maximum d’amplitude sur le spectre.

Le barycentre fréquentiel (BF en kHz) est le barycentre du spectre, sa formule est : 𝐵𝐹 =^{∑ 𝑓𝑖𝐴𝑖} 𝑚𝑎𝑥 𝑖=1 ∑𝑚𝑎𝑥𝐴_𝑖 𝑖=1 (2. 66)

Avec : 𝐴 la quantité mesurée (tension, vitesse particulaire, etc.)

Afin d’évaluer la répartition des fréquences au sein du signal, il est possible de calculer les puissances partielles (PP). Elles sont définies sur des intervalles de fréquences [𝑓_𝑖 ; 𝑓_𝑖+1] compris entre 0 et la fréquence maximale considérée (souvent 1 MHz en EA). Elles représentent le pourcentage d’énergie contenu dans cet intervalle de fréquence, elles n’ont donc pas en réalité la dimension d’une puissance :

𝑃𝑃_𝑖= ∑ 𝐴^𝑖2 _𝑖

𝑖₁ ∑𝑚𝑎𝑥𝐴_𝑖

𝑖=1 × 100 (2. 67)

Les intervalles de fréquence utilisés dans la suite de cette étude, pour le calcul des puissances partielles des signaux à la surface des matériaux, sont :

 [10 ; 400] kHz pour PP1  [400 ; 750] kHz pour PP2  [750 ; 1000] kHz pour PP3  [1000 ; 1200] kHz pour PP4

Ils sont été choisis d’après les modes de propagation des éprouvettes et après analyse des FFT2D calculées dans les chapitres qui suivent.

L’étendue spectrale (ES en kHz) rend compte de l’étendue du spectre du signal. Plus sa valeur est grande, plus le contenu fréquentiel du signal est réparti sur une gamme de fréquences étendue. Il s’agit en fait de l’écart type de la distribution fréquentielle :

𝐸𝑆 = √^{∑ (𝑓𝑖− 𝐵𝐹)2𝐴𝑖} 𝑚𝑎𝑥 𝑖=1 ∑𝑚𝑎𝑥𝐴_𝑖 𝑖=1 (2. 68)

Le coefficient de dissymétrie (CD) permet de savoir quelle forme a la Transformée de Fourier par rapport au barycentre fréquentiel. Si les fréquences sont distribuées symétriquement par rapport au barycentre, comme c’est le cas pour la loi normale, alors le coefficient de dissymétrie est nul. En revanche, si les fréquences sont étalées sur la droite du barycentre alors le coefficient de dissymétrie est positif, alors que si elles sont étalées sur la gauche du barycentre celui-ci est négatif :

𝐶𝐷 = ^{∑ (𝑓𝑖− 𝐵𝐹)3𝑝𝑖} 𝑚𝑎𝑥 𝑖=1 (∑𝑚𝑎𝑥(𝑓_𝑖− 𝐵𝐹)2𝑝_𝑖 𝑖=1 )³2 (2. 69) Avec :

𝑝_𝑖 = ^𝐴𝑖 ∑𝑚𝑎𝑥𝐴_𝑖

𝑖=1

Enfin, le coefficient d’aplatissement (CA) est une mesure du regroupement du spectre fréquentiel autour du barycentre. Dans le cas d’une distribution normale le CA est égal à 3. Un CA supérieur à 3 indique une distribution des fréquences plus regroupée avec des extrémités plus fines par rapport à une distribution normale. Un CA inférieur à 3 indique que la distribution est moins regroupée et présente des extrémités plus larges par rapport à une distribution normale :

𝐶𝐴 = ^{∑ (𝑓𝑖− 𝐵𝐹)} 4𝑝_𝑖 𝑚𝑎𝑥 𝑖=1 (∑𝑚𝑎𝑥(𝑓_𝑖− 𝐵𝐹)2𝑝_𝑖 𝑖=1 )^{2 (2. 70)} Avec : 𝑝_𝑖 = ^𝐴𝑖 ∑𝑚𝑎𝑥𝐴_𝑖 𝑖=1

Type Descripteur Unité

Temporels

Amplitude pic (A) V ou m/s

Temps de montée (TM) s

Durée (D) s ou ms

Energie (E) J ou J/m3

Nombre de coups (NBRC) Ss unité

Taux de passage par zéro (TPZ) %

Barycentre temporel (BF) s

Fréquentiels

Fréquence pic (FP) kHz

Barycentre fréquentiel (BF) kHz

Etendue spectrale (ES) kHz

Puissances partielles (PP) %

Coefficient de dissymétrie (CD) Ss unité Coefficient d’aplatissement

(CA) ^{Ss unité}

Tableau 2. 4 : tableau récapitulatif des descripteurs utilisés au cours de l'étude