Une méthode d’extraction de contre-modèles

Nous présentons la méthode d’extraction de contre-modèles pour DMBI. Comme nous le

verrons, les contre-modèles extraits ont la particularité de posséder une action α ne pouvant

jamais être exécutée.

Définition 4.6.1 (Hintikka CSS). Un CSS hF,Ciest unHintikka CSS ssi pour toutes formules

φ, ψ∈ L

_DMBI

, toute actionf ∈Σ

_Act

et tous labelsx∈L

_r

etu∈L

_s

:

1. _Tφ: (x, u)6∈ F ou _Fφ: (y, u)6∈ F ou x∼y6∈ C

2. _FI : (x, u)6∈ F ou 1

_r

∼x6∈ C

3. _T⊥: (x, u)6∈ F

4. Si_TI : (x, u)∈ F alors1

r

∼x∈ C

5. Si_Tφ→ψ: (x, u)∈ F alors_Fφ: (x, u)∈ F ou_Tψ: (x, u)∈ F

6. Si_Fφ→ψ: (x, u)∈ F alors_Tφ: (x, u)∈ F et_Fψ: (x, u)∈ F

7. Si_Tφ∗ψ: (x, u)∈ F alors∃y, z ∈L

_r

,yz ∼x∈ C et_Tφ: (y, u)∈ F et_Tψ: (z, u)∈ F

8. Si_Fφ∗ψ: (x, u)∈ F alors∀y, z ∈L

r

,yz ∼x∈ C ⇒_Fφ: (y, u)∈ F ou _Fψ: (z, u)∈ F

9. Si_Tφ−∗ψ: (x, u)∈ F alors∀y ∈L

r

,xy∈ D

_r

(C) ⇒ _Fφ: (y, u)∈ F ou _Tψ: (xy, u)∈ F

10. Si_Fφ−∗ψ: (x, u)∈ F alors∃y∈L

r

,xy ∈ D

_r

(C) et_Tφ: (y, u)∈ F et_Fψ: (xy, u)∈ F

11. Si_Thfiφ: (x, u)∈ F alors∃y∈L

_r

,∃v∈L

_s

,x

^k

^fk

y∈ C etu

^k

^fk

v∈ C et_Tφ: (y, v)∈ F

12. Si_Fhfiφ: (x, u)∈ Falors∀y∈L

r

,∀v∈L

s

,(x

^k

^fk

y∈ Cetu

^k

^fk

v∈ C)⇒_Fφ: (y, v)∈ F

13. Si _T♦φ : (x, u) ∈ F alors ∃y ∈ L

r

, ∃f ∈ L

a

, ∃v ∈ L

s

, x

^f

y ∈ C et u

^f

v ∈ C et

Tφ: (y, v)∈ F

14. Si _F♦φ: (x, u) ∈ F alors∀y ∈L

_r

,∀f ∈L

_a

,∀v ∈L

_s

,(x

^f

y∈ C etu

^f

v∈ C)⇒ _Fφ:

(y, v)∈ F

Les conditions (1), (2) et (3) de la Définition 4.6.1 garantissent qu’un Hintikka CSS n’est pas

clos.

Nous donnons maintenant une fonctionΩ permettant d’extraire un contre-modèle à partir d’un

Hintikka CSS. Nous notons [x] = {y ∈ L

r

| x ∼ y ∈ C} et D

_r

(C)/ ∼ = {[x] | x ∈ D

_r

(C)}.

Nous pouvons remarquer que la relation ∼ sur la clôture d’un ensemble de contraintes (C) est

réflexive (par le Corollaire 4.4.9), symétrique (par la règle hs

r

i) et transitive (par le règle ht

r

i).

En conséquence,∼ est une relation d’équivalence et alors[x]est une classe d’équivalence.

Définition 4.6.2 (FonctionΩ). SoithF,Ciun Hintikka CSS. La fonctionΩassocie àhF,Ciun

triplet Ω(hF,Ci) = (M,_J·_K,

K

), oùM = (R,A, S,||·ii, µ), R= (R,•, e) etA = (Act,,1), tel

que :

- R=D

_r

(C)/∼

- Act=D

_a

(C)∪ {α} (avecα6∈ D

_a

(C)∪Σ

_Act

)

- S=A

_s

(C)

- e= [1

r

]

- 1 = 1

_a

- [x]•[y] =

↑ sixy 6∈ D

_r

(C)

[x◦y] sinon

- Pour tout a∈Act et[x]∈R,µ(a,[x]) =

(

↑ si {y|x

^a

y∈ C}=∅

{y|x

^a

y∈ C} sinon

- s

1

||fiis

2

ssi s

1 f

s

2

∈ C

- Pour tout a

₁

, a

₂

∈Act,a

₁

a

₂

=

a

1

a

2

si a

1

a

2

∈ D

_a

(C)

α sinon

- ([x], s)∈_Jp_Kssi ∃y∈[x]tel que _Tp: (y, s)∈ F

Concernant la construction de µ, si {y | x

^f

y ∈ C} 6= ∅ alors nous devrons montrer que

{y|x

^f

y∈ C} est une classe d’équivalence, c’est-à-dire que{y|x

^f

y∈ C} ∈ D

_r

(C)/∼.

Dans un premier temps, nous montrons certaines propriétés sur l’actionαet sur la fonctionk · k.

Concernant l’interprétation des symboles d’actions : pour tout symbole d’actions a ∈ Σ

_Act

tel que kak ∈ D

_a

(C), nous considérons que _Ja_K

_ΣAct

= kak. Par ailleurs, pour tout a∈ Σ

_Act

tel

que kak 6∈ D

_a

(C), nous considérons que _Ja_K

ΣAct

n’est pas défini. Nous remarquons qu’une telle

considération est bien formée en particulier dans le cas où 1∈Σ

Act

. En effet, comme k1k = 1

a

et comme1

_a

∈ D

_a

(C) par les règles h1

_r

i eth1

_µ

i, alors nous avons _J1_K

_ΣAct

=k1k= 1

_a

= 1.

Proposition 4.6.3. Les propriétés suivantes sont vérifiées :

1. Pour tout a∈Act,aα=αa=α

2. Pour tout r∈R,µ(α, r)↑

3. Pour tout a∈ D

_a

(C)∩Σ

_Act

,kak=a

Preuve. Nous prouvons une à une les propriétés :

1. Soita∈Act. Nous pouvons remarquer queaα 6∈ D

_a

(C)puisqueα6∈ D

_a

(C)∪Σ

_Act

. Donc,

par définition deΩ, nous avons aα=αa=α.

2. Soit r∈R. Alors il existe x∈ D

_r

(C) tel quer = [x]. Comme α6∈ D

_a

(C), alors il n’existe

pas de y ∈ L

r

tel que x

^α

y ∈ C. Donc {y | x

^α

y ∈ C} =∅. En conséquence, µ(a, r)

n’est pas défini.

3. Soita∈ D

_a

(C)∩Σ

_Act

. Il y a deux cas :

- Casa= 1 : dans ce cas, nous avons k1k= 1

a

= 1, par définition de Ω

- Casa6= 1 : dans ce cas, nous avons kak=a

En conséquencekak=a.

Lemme 4.6.4. Soit C =hF,Ci un Hintikka CSS. Soit Ω(C) = (M,_J·_K,

K

) où M= (R,A, S,

||·ii, µ),R= (R,•, e) etA= (Act,,1).(M,_J·_K,

K

) est un modèle.

4.6. Extraction de contre-modèles

Preuve. Nous montrons que R est un monoïde de ressources, queA est un monoïde d’actions

et queMest un µ-MRD :

- Nous montrons queRest un monoïde de ressources :

- 1

r

∈ D

_r

(C) par la règle h1

r

i. Commee= [1

r

]etR=D

_r

(C)/∼, alors e∈R.

- Nous montrons que•:R×R * R est bien défini, associatif, commutatif eteest son

élément neutre :

- Nous montrons que•est bien défini :

Supposons qu’il existe x, y, x

⁰

, y

⁰

∈ D

_r

(C) tels que [x] = [x

⁰

] et [y] = [y

⁰

]. Alors

x∼x

⁰

∈ C ety∼y

⁰

∈ C. Il y a deux cas :

- xy ∈ D

_r

(C) : dans ce cas, [xy]∈R et[x]•[y] = [xy]. Par le Corollaire 4.4.11,

xy∼x

⁰

y

⁰

∈ D

_r

(C). Donc[x]•[y] = [xy] = [x

⁰

y

⁰

] = [x

⁰

]•[y

⁰

].

- xy6∈ D

_r

(C): dans ce cas [x]•[y]↑. Par le Corollaire 4.4.11,x

⁰

y

⁰

6∈ D

_r

(C). Donc

[x

⁰

]•[y

⁰

]↑.

Par conséquence [x]•[y] = [x

⁰

]•[y

⁰

]ou bien[x]•[y]et[x

⁰

]•[y

⁰

]ne sont pas définis.

En conclusion •est bien défini.

- Élément neutre :

Soit r ∈ R. Alors il existe x ∈ D

_r

(C) tel que r = [x]. Comme 1

_r

est l’élément

neutre de ◦, alors x◦1

_r

∈ D

_r

(C), donc r•e↓. En conséquence, par définition de

Ω,r•e= [x]•[1

r

] = [x◦1

r

] = [x] =r.

- Commutativité :

Soitr

₁

, r

₂

∈R. Alors il existex, y∈ D

_r

(C) tels quer

₁

= [x]etr

₂

= [y]. Supposons

que r

1

•r

2

↓. Donc xy ∈ D

_r

(C). Comme ◦ est commutatif alorsx◦y=y◦x. En

conclusion, nous avonsr

1

•r

2

= [x]•[y] = [x◦y] = [y◦x] = [y]•[x] =r

2

•r

1

.

- La preuve pour l’associativité est similaire (◦ est associatif).

- Nous montrons queAest un monoïde d’actions :

- 1

a

∈ D

_a

(C) parce que 1

r

1a

1

r

∈ C par les règles h1

r

i et h1

µ

i. Comme 1 = 1

a

et

Act=D

_a

(C)∪ {α} alors1∈Act.

- Nous montrons que:Act×Act→Actest associatif et que1est son élément neutre :

- Élément neutre :

Soit a∈Act. Il y a deux cas :

- Cas a∈ D

_a

(C) :

a1 =a1

a

=a= 1

a

a= 1a, parce que1

a

est l’élément neutre de .

- Cas a6∈ D

_a

(C) :

Comme a ∈ Act\ D

_a

(C) alors a = α. Donc 1

_a

α = α 1

_a

= α, par la

Proposition 4.6.3.

En conclusion, pour tout a∈Act,a1 = 1a=a.

- Associativité :

Soit a

1

, a

2

, a

3

∈Act. Il y a deux cas :

- (a

₁

a

₂

)a

₃

6=α :

Puisque α est absorbant (Proposition 4.6.3) alors a

₁

a

₂

6= α. Donc (a

₁

a

2

)a

3

∈ D

_a

(C) et (a

1

a

2

)a

3

= (a

1

a

2

)a

3

. Comme est associatif,

alors(a

1

a

2

)a

3

=a

1

(a

2

a

3

). Donc a

1

(a

2

a

3

)∈ D

_a

(C). En conséquence

(a

₁

a

₂

)a

₃

= (a

₁

a

₂

)a

₃

=a

₁

(a

₂

a

₃

) =a

₁

(a

₂

a

₃

).

- (a

1

a

2

)a

3

=α :

a

1

(a

2

a

3

) = (a

1

a

2

)a

3

, mais ceci est absurde. Donc a

1

(a

2

a

3

) =α

et par conséquent(a

₁

a

₂

)a

₃

=a

₁

(a

₂

a

₃

).

Pour finir, nous remarquerons que la composition d’actions est bien totale, cela ayant

été rendu possible grâce à l’introduction de l’action α. En conclusion A est un monoïde

d’actions.

- Nous montrons queMest un µ-MRD :

- Nous montrons que||·iisatisfait les propriétés de||·ii-unité et de ||·ii-composition :

- ||·ii-unité :

Soits∈S. Alorss∈ A

_s

(C). Donc il existe un label d’états u et un label d’actions

f tels ques

^f

u∈ C ou u

^f

s∈ C. Alors, par les règlesh1

t1

ieth1

t2

i,s

^1a

s∈ C.

En conséquence, nous avons s||1iis.

- ||·ii-composition :

Soits

1

, s

2

, s

3

∈S eta

1

, a

2

∈Acttels ques

1

||a

1

iis

2

ets

2

||a

2

iis

3

. Par définition de

Ω,s

1 a1

s

2

∈ C et s

2 a2

s

3

∈ C. Par la règle ht

t

i,s

1 a1a2

s

3

∈ C. Nous pouvons

alors remarquer quea

1

a

2

∈ D

_a

(C). Donca

1

a

2

=a

1

a

2

et nous pouvons conclure

ques

₁

||a

₁

a

₂

iis

₃

, par définition de Ω.

- Nous montrons queµ:Act×R * Rest bien défini et satisfait les propriétés deµ-unité

et de µ-composition :

- Nous montrons queµ est bien défini :

- Nous montrons que si µ(a,[x]) = {y | x

^a

y ∈ C} et {y | x

^a

y ∈ C} 6= ∅

alors{y|x

^a

y ∈ C}est une classe d’équivalence telle que {y|x

^a

y ∈ C} ∈

D

_r

(C)/ ∼. Soit z ∈ {y | x

^a

y ∈ C}. Alors x

^a

z ∈ C. Nous montrons que

[z] ={y|x

^a

y∈ C}.

Soit z

⁰

∈ [z]. Alors z ∼ z

⁰

∈ C. Donc, par la règle hk

_µ2

i, x

^a

z

⁰

∈ C. Donc

z

⁰

∈ {y|x

^a

y∈ C}. En conséquence, nous avons [z]⊆ {y|x

^a

y∈ C}.

Soitz

⁰

∈ {z|x

^a

y∈ C}. alorsx

^a

z

⁰

∈ C. Donc, par la règlehk

_r

i,z∼z

⁰

∈ C.

Donc z

⁰

∈[z]. En conséquence, nous avons [z]⊇ {y|x

^a

y∈ C}.

Nous pouvons alors conclure que {y |x

^a

y∈ C} est une classe d’équivalence

et que {y|x

^a

y∈ C} ∈ D

_r

(C)/∼.

- Nous montrons que pour tout x ∼ x

⁰

∈ C et tout a ∈ Act, µ(a,[x]) ↑ ssi

µ(a,[x

⁰

]) ↑ et si µ(a,[x]) ↓ alors µ(a,[x]) = µ(a,[x

⁰

]). Il y a deux cas. Si

µ(a,[x])↑alors il n’existe pas de label de ressourcesytel quex

^a

y∈ C. Donc

par la règle hk

µ1

i il n’existe pas de label de ressources y tel que x

⁰

^a

y ∈ C

(sinon nous aurions x

^a

y ∈ C). Donc µ(a,[x

⁰

]) n’est pas défini. Maintenant,

si µ(f,[x]) ↓ alors il existe un label de ressourcesy tel que x

^a

y ∈ C. Par la

règle hk

_µ1

i,x

⁰

^a

y ∈ C. En conséquence, par définition deΩ,µ(a,[x]) = [y] =

µ(a,[x

⁰

]).

- µ-unité :

Soit r ∈ R. Alors il existe x ∈ D

_r

(C) tel que r = [x]. Par le Corollaire 4.4.9,

x ∼ x ∈ C. Par le règleh1

_µ

i, x

^1a

x ∈ C. Donc, par définition de Ω,µ(1, r) ↓ et

µ(1, r) =µ(1,[x]) = [x] =r.

- µ-composition :

4.6. Extraction de contre-modèles

alors il existe x ∈ D

_r

(C) tel que r = [x]. Comme µ(a

1

, r) ↓ alors il existe un

label de ressources y tel que x

^a1

y ∈ C. Donc µ(a

₁

, r) = [y]. Par conséquente

µ(a

2

,[y]) ↓ et il existe un label de ressources z tel que y

^a2

z ∈ C. Donc, nous

avons µ(a

2

,[y]) = [z] et donc µ(a

2

, µ(a

1

, r)) = [z]. Par la règleht

µ

i, x

^a

^1a2

z∈ C.

Donc, par définition de Ω,µ(a

₁

a

₂

,[x])↓etµ(a

₁

a

₂

,[x]) = [z]. En conclusion,

µ(a

1

a

2

, r)↓ etµ(a

1

a

2

, r) =µ(a

2

, µ(a

1

, r)).

Lemme 4.6.5. SoitC=hF,Ciun Hintikka CSS etΩ(C) = (M,_J·_K,

K

)oùM= (R,A, S,||·ii, µ),

R= (R,•, e) et A = (Act,,1). Pour toute formule φ, tout x ∈ D

_r

(C) et tout u ∈ A

_s

(C), les

propriétés suivantes sont vérifiées :

1. Si_Fφ: (x, u)∈ F alors[x], u6

K

φ

2. Si_Tφ: (x, u)∈ F alors[x], u

K

φ

Preuve. Les propriétés (1) et (2) sont prouvées par induction mutuelle sur la structure deφ.

- Cas de base

- Cas _Fp: (x, u)∈ F où p∈Prop :

Supposons que [x], u

K

p. Donc ([x], u)∈_Jp_K. Par définition de Ω, il existe un label

de ressourcesy tel quey ∈[x] et_TP : (y, u)∈ F. Donc x∼y∈ C et_Tp: (y, u)∈ F.

AlorsCn’est pas un Hintikka CSS par la condition (1) de la Définition 4.6.1. Or, ceci

est absurde, donc[x], u6

K

p.

- Cas _Tp: (x, u)∈ F où p∈Prop :

Comme x∈[x]alors, par définition deΩ,([x], u)∈_Jp_K. Donc[x], u

K

p.

- Cas _F⊥: (x, u)∈ F :

Nous avons toujours [x], u6

K

⊥, par définition.

- Cas _T⊥: (x, u)∈ F :

CommeCest un Hintikka CSS alors, par la condition (3) de la Définition 4.6.1, ce cas

est absurde.

- Cas _FI : (x, u)∈ F :

Supposons que[x], u

K

I. Donc[x] =eet, par définition deΩ, nous avons [x] = [1

_r

].

Donc x∼1

_r

∈ C. En conséquence C n’est pas un Hintikka CSS, par la condition (2)

de la Définition 4.6.1. Ceci étant absurde, nous avons alors[x], u6

K

I.

- Cas _TI : (x, u)∈ F :

Par la condition (4) de la Définition 4.6.1, 1

_r

∼ x ∈ C. Donc, par définition de Ω,

[x] = [1

r

] =e. Par conséquent[x], u

K

I.

- Cas inductifs : nous supposons que les propriétés (1) et (2) sont vérifiées pour les formules

φ etψ(HI)

- Cas _Fφ→ψ: (x, u)∈ F :

Par la condition (6) de la Définition 4.6.1, _Tφ: (x, u) ∈ F et _Fψ: (x, u)∈ F. Donc,

par (HI),[x], u

K

φet[x], u6

K

ψ. Par conséquent [x], u6

K

φ→ψ.

- Cas _Tφ→ψ: (x, u)∈ F :

Par la condition (5) de la Définition 4.6.1, _Fφ: (x, u)∈ F ou _Tψ: (x, u) ∈ F. Donc,

par (HI),[x], u6

K

φou [x], u

K

ψ. Par conséquent [x], u

K

φ→ψ.

- Cas _Fφ∗ψ: (x, u)∈ F :

Soit [y],[z] ∈ R tels que [y]•[z] ↓ et [x] = [y]•[z]. Par définition de Ω, [x] = [yz].

Donc x ∼ yz ∈ C. Alors, par la condition (8) de la Définition 4.6.1, _Fφ: (y, u) ∈ F

ou _Fψ : (z, u) ∈ F. Donc, par (HI), [y], u 6

K

φ ou [z], u 6

K

ψ. Par conséquent

- Cas_Tφ∗ψ: (x, u)∈ F :

Par la condition (7) de la Définition 4.6.1, il existe deux labels de ressources y et z

tels que yz ∼ x ∈ C, _Tφ : (y, u) ∈ F et _Tψ : (z, u) ∈ F. Par définition de Ω et

par (HI), nous avons [x] = [yz] = [y]•[z], [y], u

K

φ et[z], u

K

ψ. Par conséquent

[x], u

K

φ∗ψ.

- Cas_Fφ−∗ψ: (x, u)∈ F :

Par la condition (10) de la Définition 4.6.1, il existe un label de ressources y tel que

xy ∈ D

_r

(C),_Tφ: (y, u)∈ F et_Fψ: (xy, u)∈ F. Par le Corollaire 4.4.9 et la règlehd

_r

i,

nous avons y ∈ D

_r

(C). Donc, par (HI) et par définition de Ω, il existe une ressource

[y]telle que [y], u

K

φet[x]•[y], u6

K

ψ. Par conséquent [x], u6

K

φ−∗ψ.

- Cas_Tφ−∗ψ: (x, u)∈ F :

Soit [y] ∈ R tel que [x]•[y] ↓ et [y], u

K

φ. Nous montrons que [x]•[y], u

K

ψ.

Par définition de Ω, nous avons[x]•[y] = [xy]etxy ∈ D

_r

(C). Donc, par la condition

(9) de la Définition 4.6.1, _Fφ : (y, u) ∈ F ou _Tψ : (xy, u) ∈ F. Alors, par (HI) et

par définition de Ω,[y], u6

K

φ (qui est absurde) ou [x]•[y], u

K

ψ. Par conséquent

[x], u

K

φ−∗ψ.

- Cas_Fhaiφ: (x, u)∈ F :

Soit [y]∈R etv∈S tels que[x], u−→

^a

[y], v. Par définition, µ(a,[x])↓,µ(a,[x]) = [y]

et u||aii v. Nous rappelons que par les abus de notation que nous avons fait, nous

supposons en réalité que µ(_Ja_K

Σ_Act

,[x])↓,µ(_Ja_K

Σ_Act

,[x]) = [y] etu||_Ja_K

Σ_Act

iiv. Nous

remarquons que a∈Σ

_Act

. De plus, commeµ(_Ja_K

_ΣAct

,[x])est défini, alors _Ja_K

_ΣAct

est

défini. Donc _Ja_K

_ΣAct

= kak. Ainsi, par définition de Ω, x

^k

^ak

y ∈ C et u

^k

^ak

v ∈ C.

Donc, par la condition (12) de la Définition 4.6.1, _Fφ : (y, v) ∈ F. Alors, par (HI),

[y], v6

K

φ. Par conséquent [x], u6

K

haiφ.

- Cas_Thaiφ: (x, u)∈ F :

Par la condition (11) de la Définition 4.6.1, il existe un label de ressources y et un

label d’états v tels que x

^k

^ak

y ∈ C, u

^k

^ak

v ∈ C et _Tφ : (y, v) ∈ F. Remarquant

que kak ∈ D

_r

(C) alors _Ja_K

_ΣAct

=kak. Par la définition deΩ et par (HI), nous avons

µ(_Ja_K

Σ_Act

,[x]) = [y],u||_Ja_K

Σ_Act

iivet[y], v

K

φ. Donc[x], u−−−−−→

^JaKΣAct

[y], vet[y], v

K

φ.

Par conséquent [x], u

K

haiφ.

- Cas_F♦φ: (x, u)∈ F :

Soit [y] ∈ R et v ∈ S tels que [x], u [y], v. Par la Proposition 4.1.7, il existe une

action a∈Acttelle que [x], u−→

^a

[y], v. Donc, par définition,µ(a,[x])↓,µ(a,[x]) = [y]

etu||aiiv. Alors, par définition deΩ,x

^a

y ∈ C etu

^a

v∈ C. Donc, par la condition

(14) de la Définition 4.6.1, nous avons_Fφ: (y, v)∈ F. Donc, par (HI),[y], v6

K

φ. Par

conséquent [x], u6

K

♦φ.

- Cas_T♦φ: (x, u)∈ F :

Par la condition (13) de la Définition 4.6.1, il existe un label de ressources y, un label

d’actions f et un label d’états v tels que x

^f

y ∈ C etu

^f

v∈ C et _Tφ: (y, v) ∈ F.

Par définition deΩet par (HI),µ(f,[x])↓,µ(f,[x]) = [y],u||fiivet[y], v

K

φ. Donc,

par définition, [x], u [y], v et[y], v

K

φ. Par conséquent [x], u

K

♦φ.

Lemme 4.6.6. Soit hF,Ci un Hintikka CSS tel que _Fφ : (x, u) ∈ F. La formule φ n’est pas

valide et Ω(hF,Ci) est un contre-modèle deφ.

4.6. Extraction de contre-modèles

(M,_J·_K,

K

) où M = (R,A, S,||·ii, µ), R = (R,•, e) et A = (Act,,1). Par le Lemme 4.6.4,

(M,_J·_K,

K

) est un modèle. Par (P

_css

), comme_Fφ : (x, u) ∈ F alorsx ∈ D

_r

(C) et u ∈ A

_s

(C).

Nous rappelons queA

_s

(C) =A

_s

(C) (Proposition 4.4.12). Par le Lemme 4.6.5, [x], u6

K

φ. Donc

Ω(hF,Ci)est un contre-modèle de φetφn’est pas valide.

4.6.2 Un exemple d’extraction de contre-modèles

Nous illustrons, dans cette sous-section, la méthode d’extraction de contre-modèles que nous

venons de présenter sur la formule (haiP ∗ hbiP) → ♦(P ∗P). En appliquant la méthode des

tableaux deDMBI, nous pouvons obtenir le DMBI-tableau de la Figure 12.

[F]

√

1

F(haiP ∗ hbiP)→♦(P∗P) : (c

₁

, l

₁

)

√

2

ThaiP∗ hbiP : (c

1

, l

1

)

√

5

F♦(P∗P) : (c

1

, l

1

)

√

3

ThaiP : (c

₂

, l

₁

)

√

4

ThbiP : (c

3

, l

1

)

TP : (c

₄

, l

₂

)

TP : (c

₅

, l

₃

)

√

6,7

FP ∗P : (c

1

, l

1

)

FP : (c

₂

, l

₁

) _FP : (c

₃

, l

₁

)

..

.

FP : (c

1

, l

1

)

B

FP : (1

r

, l

1

)

..

.

[C]

c

1

∼c

1

l

₁

^1a

l

₁

c

2

c

3

∼c

1

c

₂

^a

c

₄

l

₁

^a

l

₂

c

3 b

c

5

l

1 b

l

3

..

.

..

.

Figure ^{12 – DMBI-tableau pour la formule}(haiP ∗ hbiP)→♦(P∗P)

Nous pouvons remarquer que la branche (CSS) notéeBest un Hintikka CSS. Ainsi, la fonction

Ω nous permet d’extraire un contre-modèle de la formule que nous avons considéré, qui est

Ω(B) = (M,_J·_K,

K

), où M= (R,A, S,||·ii, µ),R= (R,•, e) etA= (Act,,1), tel que :

- R ={e,[c

1

],[c

2

],[c

3

],[c

4

],[c

5

]}, avec [c

1

] = [c

2

c

3

]ete= [1

r

].

- Act={1, a, b, α}, avec 1 = 1

a

,_Ja_K

_ΣAct

=kak=a,_Jb_K

_ΣAct

=kbk=b. Nous rappelons que

par abus de notation, nous notons aau lieu de_Ja_K

_ΣAct

etbau lieu de_Jb_K

_ΣAct

.

- S ={l

1

, l

2

, l

3

}

• e [c

₁

] [c

₂

] [c

₃

] [c

₄

] [c

₅

]

e e [c

₁

] [c

₂

] [c

₃

] [c

₄

] [c

₅

]

[c

1

] [c

1

] ↑ ↑ ↑ ↑ ↑

[c

2

] [c

2

] ↑ ↑ [c

1

] ↑ ↑

[c

3

] [c

3

] ↑ [c

1

] ↑ ↑ ↑

[c

4

] [c

4

] ↑ ↑ ↑ ↑ ↑

[c

5

] [c

5

] ↑ ↑ ↑ ↑ ↑

µ e [c

1

] [c

2

] [c

3

] [c

4

] [c

5

]

1 e [c

1

] [c

2

] [c

3

] [c

4

] [c

5

]

a ↑ ↑ [c

4

] ↑ ↑ ↑

b ↑ ↑ ↑ [c

5

] ↑ ↑

α ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑

1 a b α

1 1 a b α

a a α α α

b b α α α

α α α α α

- La relation||·ii:

l

1

l

₂

l

₃

a

b

1

1

1

- L’interprétation : _JP_K={([c

₄

], l

₂

),([c

₅

], l

₃

)}

Nous pouvons alors vérifier que nous avons alors bien obtenu un contre-modèle de la formule

(haiP∗ hbiP)→♦(P∗P):

1. Nous avons ([c

₁

], l

₁

)6∈_JP_Ket([c

₂

], l

₁

)6∈_JP_K. Donc[c

₁

], l

₁

6

K

P et[c

₂

], l

₁

6

K

P.

2. Nous pouvons remarquer quer•r

⁰

= [c

₁

]ssi (r =eetr

⁰

= [c

₁

]) ou (r= [c

₁

]etr

⁰

=e) ou

(r = [c

₂

]etr

⁰

= [c

₃

]) ou (r = [c

₃

]etr

⁰

= [c

₂

]).

3. Par (1) et (2), nous avons[c

₁

], l

₁

6

K

P ∗P.

4. Comme ([c

₄

], l

₂

)∈_JP_Ket([c

₅

], l

₃

)∈_JP_Kalors[c

₄

], l

₂

K

P et[c

₅

], l

₃

K

P.

5. Comme µ(a,[c

₂

]) = [c

₄

]etl

₁

||aiil

₂

alors[c

₂

], l

₁

−→

^a

[c

₄

], l

₂

.

6. Comme µ(b,[c

3

]) = [c

5

]etl

1

||biil

3

alors[c

3

], l

1

−→

^b

[c

5

], l

3

.

7. Par (4) et (5) nous avons [c

2

], l

1

K

haiP et par (4) et (6) nous avons [c

3

], l

1

K

hbiP.

8. Comme [c

2

]•[c

3

] = [c

1

]et par (7), alors [c

1

], l

1

K

haiP ∗ hbiP.

9. Nous avons [c

1

], l

1

r, sssi r= [c

1

]ets=l

1

.

10. Par (3) et (9) nous pouvons déduire que [c

1

], l

1

6

K

♦(P ∗P)

Dans le document Logiques de Ressources Dynamiques : Modèles, Propriétés et Preuves (Page 109-117)