Correction de la méthode des tableaux pour DMBI

Dans cette section, nous prouvons la correction de la méthode des tableaux deDMBI. Bien que

le sketch de preuve soit identique à celui de DBI, la preuve de correction deDMBI se distingue

par l’apparition de certaines difficultés, notamment à cause du fait que de la composition de

ressources est partielle dansDMBI, contrairement à celle deDBI.

La preuve de correction repose toujours sur le principe de réalisation d’un CSS hF,Ci dans

un modèle K. Pour cela, nous définissons trois fonctions permettant de plonger les labels de

ressources dans un ensemble de ressources (b.c

), les labels d’actions dans un ensemble d’actions

(b.c

) et les labels d’états dans un ensemble d’états (b.c

), telles que si _Tφ : (x, u) ∈ F alors

bxc

,buc

φ et si _Fφ : (x, u) ∈ F alors bxc

,buc

6 φ. Nous définissons alors dans un

premier temps ces fonctions sur les alphabets de C : b.c

:A

(C) → R,b.c

: A

(C) → Act et

b.c

:A

(C)→S.

Par la Proposition 4.4.12, la fonction b.c

est définie surA

(C).

Par ailleurs, nous étendrons implicitement la fonction b.c

sur D

(C) → Act ainsi : pour tout

a

_i₁

. . .a

_in

∈ D

(C),ba

_i₁

. . .a

_in

c

=ba

_i₁

c

. . . ba

_in

c

etb1

c

= 1. Une telle extension est

toujours bien définie, puisque la composition d’actions est une fonction totale.

Finalement, les difficultés interviennent pour la fonction b.c

. En effet, la composition de

res-sources est une fonction partielle. Malgré cela, nous étendrons implicitementb.c

surD

(C)→R

ainsi : pour toutc

◦. . .◦c

∈ D

(C), bc

◦. . .◦c

c

=bc

c

•. . .• bc

c

etb1

c

=e. Pour

cela, nous devrons toujours vérifier qu’une telle extension est bien définie, c’est-à-dire que pour

toutc

_i₁

◦. . .◦c

_in

∈ D

(C),bc

_i₁

c

•. . .• bc

_in

c

↓.

Définition 4.5.1 (Réalisation). Soit hF,Ci un CSS. Une réalisation de hF,Ci est un 4-uplet

R = (K,b.c

,b.c

) où K = (M,_J·_K,

) est un modèle, où M = (R,A, S,||·ii, µ) est un

µ-MRD, R= (R,•, e) est un monoïde de ressources, A= (Act,,1) est un monoïde d’actions,

b.c

:D

(C)→R,b.c

:D

(C)→Act etb.c

:A

(C)→S, tel que :

- b1

c

=e

- b1

c

= 1

- b.c

est une fonction totale, c’est-à-dire ∀x∈ D

(C)· bxc

↓

- Si f ∈Σ

_Act

∩ A

(C)alorsbfc

=f

- Si _Tφ: (x, u)∈ F alorsbxc

,buc

φ

4.5. Correction de la méthode des tableaux pour DMBI

- Six∼y∈ C alorsbxc

=byc

- Six

y∈ C alorsµ(bfc

,bxc

)↓etµ(bfc

,bxc

) =byc

- Siu

v∈ C alorsbuc

||bfc

ii bvc

Nous dirons qu’un CSS estréalisable s’il existe une réalisation de celui-ci. Nous dirons qu’un

DMBI-tableau estréalisable si au moins une de ses branches (CSS) est réalisable.

Proposition 4.5.2. Soit hF,Ciun CSS etR= (K,b.c

,b.c

)une réalisation de ce CSS.R

est une réalisation dehF,Ci. Autrement dit :

1. Pour toutx∈ D

(C),bxc

est défini

2. Six∼y∈ C alorsbxc

=byc

3. Six

y∈ C alorsµ(bfc

,bxc

)↓etµ(bfc

,bxc

) =byc

4. Siu

v∈ C alorsbuc

||bfc

ii bvc

Preuve. Les fonctionsb.c

etb.c

sont implicitement étendues surD

(C)→R etD

(C)→Act.

Soitc∈ C une contrainte. Sic∈ C parce que c∈ C alors il y a trois cas :

- c est une contrainte de la forme x∼y. Dans ce cas, x ∈ D

(C),y ∈ D

(C) etx ∼y ∈ C.

Donc bxc

etbyc

sont définis et nous avons bxc

=byc

, par définition.

- c est une contrainte de la forme x

y. Dans ce cas, x ∈ D

(C), y ∈ D

(C) et x

y ∈

C. Donc bxc

et byc

sont définis et nous µ(bfc

,bxc

) ↓ et µ(bfc

,bxc

) = byc

, par

définition.

- c est une contrainte de la formeu

v. Dans ce cas, buc

||bfc

ii bvc

, par définition.

Sinon, cette contrainte est obtenue par applications de règles de la Figure 9. Nous prouvons la

proprosition par induction mutuelle sur la taillende l’arbre de dérivation de la contrainte.

- Cas de base (n= 0) :

- Cas h1

i : l’arbre de dérivation est de la forme :

h1ri

1 ∼1

Dans ce cas, c est la contrainte 1

∼ 1

. Nous pouvons alors remarquer que b1

c

=

b1

c

.

- Cas inductifs :

Nous supposons que la proposition est vérifiée pour les contraintes ayant un arbre de

dérivation de hauteur au plusn(HI). Nous prouvons pour les contraintes ayant un arbre

de dérivation de hauteur n+ 1.

- Case hc

i : l’arbre de dérivation est de la forme :

..

.

x∼y

..

.

yk ∼yk

hcri

xk∼yk

Par (HI), bxc

, byc

et bykc

sont définis. De plus, toujours par (HI), bxc

= byc

.

Nous avons aussi, par définition de la réalisation,byc

• bkc

↓ etbyc

• bkc

=bykc

.

Doncbxc

• bkc

↓ etbxc

• bkc

=byc

• bkc

. Par conséquentbxkc

=bxc

• bkc

=

byc

• bkc

=bykc

.

- Cas hk

i : l’arbre de dérivation est de la forme :

..

.

x

y

..

.

x

z

hkri

y∼z

Par (HI),bxc

,byc

etbzc

sont définis. Par (HI),µ(bfc

,bxc

)↓,µ(bfc

,bxc

) =byc

etµ(bfc

,bxc

) =bzc

. Doncbyc

=bzc

.

- Cash1

_µ

i : l’arbre de dérivation est de la forme :

..

.

x∼x

_h₁ µi

x

¹^a

x

Par définition, bxc

est défini. De plus, par µ-unité et comme b1

c

= 1, nous avons

µ(b1

c

,bxc

)↓ etµ(b1

c

,bxc

) =bxc

.

- Casht

_µ

i : l’arbre de dérivation est de la forme :

..

.

x

y

..

.

y

z

htµi

x

^{f g}

z

Par (HI),bxc

,byc

etbzc

sont définis. Toujours par (HI), nous avonsµ(bfc

,bxc

)↓,

µ(bfc

,bxc

) = byc

,µ(bgc

,byc

) ↓ etµ(bgc

,byc

) =bzc

. Donc µ(bfc

,bxc

) ↓ et

µ(bgc

, µ(bfc

,bxc

))↓. En conséquence, parµ-composition, µ(bfc

bgc

,bxc

)↓et

µ(bfc

bgc

,bxc

) =µ(bgc

, µ(bfc

,bxc

)) =bzc

. Par définition de b.c

,bfgc

=

bfc

bgc

. En conclusionµ(bf gc

,bxc

)↓ etµ(bf gc

,bxc

) =bzc

.

- Les autres cas se démontrent de la même manière.

Corollaire 4.5.3. Soit hF,Ci un CSS et R = (K,b.c

,b.c

) une réalisation de hF,Ci. Si

x

y∈ C etu

v∈ C alorsbxc

,buc

−

−−

^f^c

→ b

yc

,bvc

.

Preuve. Par la Proposition 4.5.2, µ(bfc

,bxc

) ↓, µ(bfc

,bxc

) = byc

et buc

||bfc

ii bvc

.

Donc, par définition, bxc

,buc

−

−−

^f^c

→ b

yc

,bvc

.

Lemme 4.5.4. Les règles de la méthode des tableaux deDMBIpréservent la réalisabilité.

Preuve. Soit T un DMBI-tableau réalisable. Par définition, T contient un CSS réalisable

B = hF,Ci. Soit R = (K,b.c

,b.c

) une réalisation de B, où K = (M,_J·_K,

), M =

(R,A, S,||·ii, µ), R= (R,•, e) et A= (Act,,1). Si nous appliquons une règle sur une formule

signée d’un CSS autre queBalors ce CSS n’est pas modifié, doncT reste réalisable. Sinon, nous

montrons queT est réalisable par cas sur la formule signée sur laquelle est appliquée la règle.

- _TI : (x, u)∈ F :

Dans ce cas bxc

,buc

I. Donc bxc

= e, par définition. Comme b1

c

= e alors

b1

c

= bxc

et nous pouvons remarquer que R est une réalisation du nouveau CSS

hF,C ∪ {1

∼x}i.

- _Tφ→ψ: (x, u)∈ F :

Dans ce cas bxc

,buc

φ→ ψ. Donc si bxc

,buc

φ alors bxc

,buc

ψ. Il y a

deux cas :

- Casbxc

,buc

φ:

Dans ce cas, bxc

,buc

ψet nous pouvons remarquer queRest une réalisation du

nouveau CSS hF ∪ {_Tψ: (x, u)},Ci.

- Casbxc

,buc

6 φ:

4.5. Correction de la méthode des tableaux pour DMBI

- _Fφ→ψ: (x, u)∈ F :

Dans ce cas bxc

,buc

φ→ ψ. Donc bxc

,buc

φ etbxc

,buc

6 ψ. Alors R est

une réalisation du nouveau CSS hF ∪ {_Tφ: (x, u),_Fψ: (x, u)},Ci.

- _Tφ∗ψ: (x, u)∈ F :

Dans ce casbxc

,buc

φ∗ψ. Par définition, il exister

₁

, r

₂

∈Rtels quer

₁

•r

₂

↓,bxc

=

r

₁

•r

₂

,r

₁

,buc

φetr

₂

,buc

ψ. Commec

etc

sont des nouvelles constantes,bc

c

et bc

c

ne sont pas définis. De plus, commec

6=c

, nous pouvons étendre R en posant

bc

c

= r

₁

et bc

c

= r

₂

. En remarquant que bc

c

• bc

c

↓ et, par extension implicite,

bc

c

= bc

c

• bc

c

= bxc

, nous obtenons une réalisation de hF,C ∪ {c

c

∼ x}i.

De plus, nous pouvons observer que cette réalisation est une réalisation du nouveau CSS

hF ∪ {_Tφ: (c

, u),_Tψ: (c

, u)},C ∪ {c

c

∼x}i.

- _Fφ∗ψ: (x, u)∈ F :

Dans ce cas bxc

,buc

6 φ∗ψ. Par définition, pour tout r

, r

∈ R tels que r

•r

↓

et bxc

= r

•r

, nous avonsr

,buc

6 φ ou r

,buc

6 ψ. Lors de l’application de la

règle, ce CSS est étendu en deux CSS hF ∪ {_Fφ: (y, u)},Ci ethF ∪ {_Fψ : (z, u)},Ci. De

plus, par la condition de la règle,yz∼x∈ C. Par la Proposition 4.5.2,bxc

=byc

• bzc

.

Donc byc

,buc

6 φ ou bzc

,buc

6 ψ. AlorsR est une réalisation d’au moins un des

deux nouveaux CSS hF ∪ {_Fφ: (y, u)},Ciou hF ∪ {_Fψ: (z, u)},Ci.

- _Tφ−∗ψ: (x, u)∈ F :

Dans ce cas bxc

,buc

φ−∗ψ. Par définition, pour tout r ∈ R tel que bxc

•r ↓ et

r,buc

φ, nous avons bxc

•r,buc

ψ. Lors de l’application de la règle, ce CSS

est étendu en deux CSS hF ∪ {_Fφ : (y, u)},Ci et hF ∪ {_Tψ : (xy, u)},Ci. De plus, par

la condition de la règle, xy ∼ xy ∈ C. Par la Proposition 4.5.2 et par définition de la

réalisation, bxc

• byc

↓ etbxc

• byc

=bxyc

. Il y a deux cas :

- Cas byc

,buc

6 φ:

Nous pouvons remarquer que R est une réalisation du premier CSS hF ∪ {_Fφ :

(y, u)},Ci

- Cas byc

,buc

φ:

Alors bxc

• byc

,buc

ψ. Donc bxyc

,buc

ψ. Nous pouvons alors remarquer

queRest une réalisation du second CSShF ∪ {_Tψ: (xy, u)},Ci.

- _Fφ−∗ψ: (x, u)∈ F :

Dans ce cas bxc

,buc

6 φ−∗ψ. Donc, il existe r ∈R tel quebxc

•r ↓ etr,buc

φ

et bxc

•r,buc

6 ψ. Comme c

est une nouvelle constante, alorsbc

c

n’est pas défini.

Donc nous pouvons étendre R en posant bc

c

= r. En remarquant que bxc

• bc

c

↓,

nous obtenons alors une réalisation de hF,C ∪ {xc

∼xc

}i. De plus, cette extension est

une réalisation du nouveau CSS hF ∪ {_Tφ: (c

, u),_Fψ: (xc

, u)},C ∪ {xc

∼xc

}i.

- _Thfiφ: (x, u)∈ F :

Dans ce casbxc

,buc

hfiφ. Par définition, il exister ∈Rets∈Stel quebxc

,buc

−→

r, s etr, s

φ. Donc, µ(f,bxc

)↓,µ(f,bxc

) =r etbuc

||fiis. Comme c

etl

sont des

nouvelles constantes, alorsbc

c

etbl

c

ne sont pas définis. Donc nous pouvons étendreR

en posant bc

c

=r etbl

c

=s. Nous pouvons aussi remarquer que cette règle introduit

le label d’état kfk. Il y a trois cas :

- Si f = 1 alorskfk= 1

et donc bkfkc

=b1

c

= 1 =f.

- Si f 6= 1 etf ∈ A

(C) alorskfk=f et donc bkfkc

=bfc

=f.

- Sif 6= 1 etf 6∈ A

(C)alors nous pouvons étendre la réalisation en posantbkfkc

=f.

En conséquence, dans tous les cas, nous pouvons obtenir une extension de R telle que

c

} ∪ {u

^f^k

l

}i. En conclusion, nous pouvons remarquer que nous avons obtenu une

réalisation dehF ∪ {_Tφ: (c

, l

)},C ∪ {x

^f^k

c

, u

^f^k

l

}i.

- _Fhfiφ: (x, u)∈ F :

Dans ce casbxc

,buc

6 hfiφ. Donc, pour tout r∈R ets∈S tel quebxc

,buc

−→

r, s,

nous avons r, s 6

φ. Par la condition de la règle, x

^f^k

y ∈ C et u

^f^k

v ∈ C. Par le

Corollaire 4.5.3,bxc

,buc

−−→ b

^k^f^k

yc

,bvc

. Il y a deux cas

- Sif = 1 alorskfk= 1

et doncbkfkc

=b1

c

= 1 =f.

- Sif 6= 1 alorskfk=f et donc bkfkc

=bfc

=f.

Doncbkfkc

=f et alorsbxc

,buc

−→ b

yc

,bvc

. En conséquencebyc

,bvc

6 φet nous

pouvons conclure queRest une réalisation du nouveau CSS hF ∪ {_Fφ: (y, v)},Ci.

- _T♦φ: (x, u)∈ F :

Dans ce casbxc

,buc

♦φ. Donc il exister ∈R ets∈S tels quebxc

,buc

r, s et

r, s

φ. Par la Proposition 4.1.7, il existe a∈ Act tel que bxc

,buc

−→

r, s. Donc, par

définition,µ(a,bxc

)↓,µ(a,bxc

) =r, etbuc

||aiis. Commec

,d

etl

sont des nouvelles

contantes, nous pouvons étendre R en posant bc

c

= r, bd

c

= a et bl

c

= s. Alors,

nous obtenons une réalisation dehF,C ∪ {x

^di

c

} ∪ {u

^di

l

}i. En conclusion, nous avons

obtenu une réalisation dehF ∪ {_Tφ: (c

, l

)},C ∪ {x

^di

c

, u

^di

l

}i.

- _F♦φ: (x, u)∈ F :

Dans ce casbxc

,buc

6 ♦φ. Donc pour tout r ∈R et s∈S tels que bxc

,buc

r, s,

nous avons r, s 6

φ. Par la condition de la règle, x

y ∈ C et u

v ∈ C. Donc,

par le Corollaire 4.5.3,bxc

,buc

−

−−

^f^c

→ b

yc

,bvc

. Par définition, bxc

,buc

byc

,bvc

.

En conséquence byc

,bvc

6 φ, et nous pouvons conclure que R est une réalisation du

nouveau CSShF ∪ {_Fφ: (y, v)},Ci.

Lemme 4.5.5. Les CSS clos ne sont pas réalisables.

Preuve. SoithF,Ciun CSS clos. Supposons que ce CSS soit réalisable. Considérons alors R=

(K,b.c

,b.c

) une réalisation. Il y a trois cas :

- _Tφ: (x, u)∈ F,_Fφ: (y, u)∈ F etx∼y∈ C :

Par définition de la réalisation et par la Proposition 4.5.2,bxc

,buc

φ,byc

,buc

6 φ

etbxc

=byc

, ce qui est absurde.

- _FI : (x, u)∈ F et1

∼x∈ C :

Par définition de la réalisation et par la Proposition 4.5.2, bxc

,buc

6 I et e = bxc

.

Comme bxc

=ealorsbxc

,buc

I, ce qui est absurde.

- _T⊥: (x, u)∈ F :

Par définition de la réalisation, bxc

,buc

⊥, ce qui est absurde.

Comme tous les cas sont absurdes, alorshF,Ci ne peut pas être réalisable.

Théorème 4.5.6 (Correction). S’il existe une preuve d’une formuleφalorsφest valide.

Preuve. Supposons qu’il existe une preuve d’une formule φ. Donc il existe un DMBI-tableau

clos T

_φ

pour le CSS C = h{_Fφ : (c

₁

, l

₁

)},{c

₁

∼ c

₁

, l

₁

¹^a

l

₁

}i. Par l’absurde, supposons que φ

ne soit pas valide. Donc il existe un contre-modèleK = (M,_J·_K,

), une ressource r ∈R et un

état s ∈S tels que r, s6

φ. Soit R= (K,b.c

,b.c

) tel que bc

c

=r et bl

c

=s. Nous

Dans le document Logiques de Ressources Dynamiques : Modèles, Propriétés et Preuves (Page 104-109)

Correction de la méthode des tableaux pour DMBI

Dans cette section, nous prouvons la correction de la méthode des tableaux deDMBI. Bien que

le sketch de preuve soit identique à celui de DBI, la preuve de correction deDMBI se distingue

par l’apparition de certaines difficultés, notamment à cause du fait que de la composition de

ressources est partielle dansDMBI, contrairement à celle deDBI.

La preuve de correction repose toujours sur le principe de réalisation d’un CSS hF,Ci dans

un modèle K. Pour cela, nous définissons trois fonctions permettant de plonger les labels de

ressources dans un ensemble de ressources (b.c

), les labels d’actions dans un ensemble d’actions

(b.c

) et les labels d’états dans un ensemble d’états (b.c

), telles que si Tφ : (x, u) ∈ F alors

bxc

,buc

φ et si Fφ : (x, u) ∈ F alors bxc

,buc

6

φ. Nous définissons alors dans un

premier temps ces fonctions sur les alphabets de C : b.c

:A

(C) → R,b.c

: A

(C) → Act et

b.c

:A

(C)→S.

Par la Proposition 4.4.12, la fonction b.c

est définie surA

(C).

Par ailleurs, nous étendrons implicitement la fonction b.c

sur D

(C) → Act ainsi : pour tout

a

. . .a

∈ D

(C),ba

. . .a

c

=ba

c

. . . ba

c

etb1

c

= 1. Une telle extension est

toujours bien définie, puisque la composition d’actions est une fonction totale.

Finalement, les difficultés interviennent pour la fonction b.c

. En effet, la composition de

res-sources est une fonction partielle. Malgré cela, nous étendrons implicitementb.c

surD

(C)→R

ainsi : pour toutc

◦. . .◦c

∈ D

(C), bc

◦. . .◦c

c

=bc

c

•. . .• bc

c

etb1

c

=e. Pour

cela, nous devrons toujours vérifier qu’une telle extension est bien définie, c’est-à-dire que pour

toutc

◦. . .◦c

∈ D

(C),bc

c

•. . .• bc

c

↓.

Définition 4.5.1 (Réalisation). Soit hF,Ci un CSS. Une réalisation de hF,Ci est un 4-uplet

R = (K,b.c

,b.c

,b.c

) où K = (M,J·K,

) est un modèle, où M = (R,A, S,||·ii, µ) est un

µ-MRD, R= (R,•, e) est un monoïde de ressources, A= (Act,,1) est un monoïde d’actions,

), telles que si _Tφ : (x, u) ∈ F alors

φ et si _Fφ : (x, u) ∈ F alors bxc

) où K = (M,_J·_K,

- Si _Tφ: (x, u)∈ F alorsbxc