Adéquation de la sémantique à base de réseaux de Petri à inconsistance pour BI . 36

inconsistance pour BI

Dans la section précédente, nous avons présenté une nouvelle méthode d’extraction de

contre-modèles à base de réseaux de Petri à inconsistance pour BI. Dans cette section, nous nous

inté-ressons à étudier l’équivalence entre notre nouvelle sémantique à base deβ-PN et la sémantique

à base de monoïdes de ressources de BI.

2.4.1 Transformation des β-PN en monoïde de ressources

Dans cette sous-section, nous montrons que si une formule est valide dans la sémantique à

base de monoïdes de ressources deBI [66, 38], alors elle est valide dans notre sémantique à base

deβ-PN. Pour cela, nous allons transformer les contre-modèles à base deβ-PN en contre-modèles

à base de monoïdes de ressources.

Définition 2.4.1(FonctionT

_β-PN→MR

). SoitP= (P, i,P), oùP = (P, T, pre, post,_M

^c

(P), β),

un β-modèle. La fonction T

β-PN→MR

associe à P le triplet T

β-PN→MR

(P) = (R,_J·_K,

K

), où

R= (R,•, e,v), tel que :

- R={M ∈_M

c

(P)|M 6β}

- e={{}}

- ∀r

1

, r

2

∈R, r

1

•r

2

=

↑ si r

₁

+r

₂

β

r

1

+r

2

sinon

- Pour tout r

1

, r

2

∈R,r

1

vr

2

ssir

2

r

1

- Pour tout p∈P ropetr ∈R,r ∈_Jp_Kssi r∈i(p)

Lemme 2.4.2. Soit P = (P, i,P), où P = (P, T, pre, post, _M

^c

(P), β), un β-modèle tel que

{{}} 6β. Soit T

β-PN→MR

(P) = (R,_J·_K,

K

), où R= (R,•, e,v). T

β-PN→MR

(P) est un modèle à

base de monoïdes de ressources.

Preuve. Nous devons montrer queRest un monoïde de ressources au sens de la Définition 2.3.1

et que_J·_Kest une interprétation au sens de la Définition 2.3.2.

2.4. Adéquation de la sémantique à base de réseaux de Petri à inconsistance pour BI

- (R,•, e)est un monoïde partiel. En effet :

- e∈R :

Par hypothèse, {{}} 6β. De plus, par la propriété (ZM) desβ-PN, {{}} ∈_M

c

(P). Par

définition de T

β-PN→MR

, nous avons e={{}} et R ={M ∈ _M

c

(P) |M 6 β}. Alors,

nous pouvons conclure quee∈R.

- Nous montrons que• est associative, commutative eteest son élément neutre :

- Élément neutre :

Soitr ∈R. Par définition deT

_β-PN→MR

,rest un marquage consistant tel quer 6

β. Nous pouvons alors remarquer que comme r+{{}}=r, nous avonsr+{{}} 6β.

Toujours par définition de T

β-PN→MR

, nous avons alorse={{}}, et donc r•e↓et

r•e=r+{{}}=r.

- Commutativité :

Soit r

1

, r

2

∈R. Par définition deT

β-PN→MR

,r

1

etr

2

sont deux marquages

consis-tants tels que r

1

6β etr

2

6β. Supposons que r

1

•r

2

↓. Donc, par définition de

T

_β-PN→MR

, nous avonsr

₁

+r

₂

6β. Donc,r

₂

+r

₁

6β. Nous pouvons aussi

remar-quer quer

1

+r

2

=r

2

+r

1

. En conclusion,r

2

•r

1

↓etr

1

•r

2

=r

1

+r

2

=r

2

+r

1

=r

2

•r

1

.

- Associativité :

La preuve d’associativité est identique. L’argument est quer

₁

+ (r

₂

+r

₃

) = (r

₁

+

r

2

) +r

3

(ceci étant vrai grâce à la propriété (ML) desβ-PN) et sir

1

+ (r

2

+r

3

)6β

alors(r

1

+r

2

) +r

3

6β.

- La relationvest un préordre puisque est réflexive et transitive.

- Compatibilité :

Soitr

1

, r

2

, r

3

∈R. Supposons quer

1

vr

2

etr

2

•r

3

↓. Par définition deT

_β-PN→MR

,r

2

r

1

etr

₂

+r

₃

6β. Par le Corollaire 2.1.4,r

₂

+r

₃

r

₁

+r

₃

. Supposons quer

₁

+r

₃

β, alors

comme r

2

+r

3

r

1

+r

3

, nous aurions par transitivité r

2

+r

3

β, ce qui est absurde.

Donc r

1

+r

3

6β. En conclusionr

1

•r

3

↓ etr

1

•r

3

vr

2

•r

3

.

Nous montrons maintenant que_J·_Kest une interprétation. Supposons quer vr

⁰

etr ∈_Jp_K. Par

définition de T

_β-PN→MR

,r

⁰

r etr ∈i(p). Par la monotonie des β-interprétation, nous avons

alorsr

⁰

∈i(p). Ainsi, par définition de T

_β-PN→MR

,r

⁰

∈_Jp_K.

En conclusion,T

_β-PN→MR

(P) est un modèle à base de monoïdes de ressources.

Lemme 2.4.3. Soit P = (P, i,P), où P = (P, T, pre, post, _M

^c

(P), β), un β-modèle tel que

{{}} 6 β. Soit T

_β-PN→MR

(P) = (R,_J·_K,

K

), où R= (R,•, e,v). Pour toute formule φ et toute

ressourcer ∈R,r

K

φssi rPφ.

Preuve. Comme r ∈ R alors r ∈ _M

c

(P) et r 6 β. Nous prouvons le lemme par induction

structurelle sur la formuleφ.

- Cas de base :

- Cas rPp (p∈P rop) :

Par définition,r ∈i(p). Alors, par définition deT

_β-PN→MR

,r ∈_Jp_K. D’où r

K

p.

- Cas r

K

p (p∈P rop) :

Par définition,r ∈_Jp_K. Alors, par définition de T

_β-PN→MR

,r∈i(p). D’où rPp.

- Cas rP>:

r

K

>, par définition de

K

.

- Cas r

K

>:

rP>, par définition de P.

- Cas rP⊥:

- Casr

K

⊥ :

Ce cas est absurde, par définition de

K

.

- CasrPI :

Par définition,r {{}}. Par le Lemme 2.4.2,e∈R. Donc par définition deT

β-PN→MR

,

evr. D’oùr

K

I.

- Casr

K

I :

Par définition, evr. Donc par définition deT

β-PN→MR

,r {{}}. D’où rP{{}}.

- Cas inductif : Nous supposons que le lemme est vérifié par toutes formules AetB (HI).

- CasrPA∧B :

Par définition, rPA etrPB. Par (HI), r

K

A etr

K

B. D’où r

K

A∧B.

- Casr

K

A∧B :

Ce cas est similaire au précédent.

- CasrPA∨B :

Ce cas est similaire au précédent.

- Casr

K

A∨B :

Ce cas est similaire au précédent.

- CasrPA→B :

Par définition, pour tout marquage M ∈ _M(P) tel que M r et M P A, nous

avons M PB. Soit r

⁰

∈R tel quervr

⁰

etr

⁰

K

A. Par définition deT

β-PN→MR

et

par (HI), r

⁰

r et r

⁰

P A. Donc r

⁰

P B. Par (HI), nous avons alors r

⁰

K

B. En

conclusion, r

K

A→B.

- Casr

K

A→B :

Par définition, pour tout r

⁰

∈ R tel que r vr

⁰

et r

⁰

K

A, nous avons r

⁰

K

B. Soit

M ∈_M(P)un marquage tel que M r etM PA. Il y a alors deux cas :

- Cas M β :

Dans ce cas, par le Corollaire 2.2.6,M P B.

- Cas M 6β :

Dans ce cas, nous avons alors M ∈ R. Par définition de T

_β-PN→MR

et par (HI),

nous avonsrvM etM

K

A. DoncM

K

B. Par conséquent, par (HI),M P B.

En conclusion, r P A→B.

- CasrPA∗B :

Par définition, il existe deux marquages M

1

, M

2

∈ _M(P) tels que r M

1

+M

2

et

M

₁

P A et M

₂

P B. Si M

₁

β ou M

₂

β alors par la Proposition 2.1.3,

M

₁

+M

₂

β, d’où r β ce qui serait absurde. Donc M

₁

6β etM

₂

6β (et aussi

M

1

+M

2

6β). Alors, par définition deT

β-PN→MR

,M

1

, M

2

∈R,M

1

•M

2

=M

1

+M

2

(et est défini) et M

₁

•M

₂

v r. Par ailleurs, par (HI), M

₁

K

A et M

₂

K

B. En

conclusion, r

K

A∗B.

- Casr

K

A∗B :

Par définition, il exister

⁰

, r

⁰⁰

∈R tels quer

⁰

•r

⁰⁰

↓etr

⁰

•r

⁰⁰

vr etr

⁰

K

Aetr

⁰⁰

K

B.

Par définition deT

_β-PN→MR

,r

⁰

etr

⁰

sont deux marquages consistants,r

⁰

•r

⁰⁰

=r

⁰

+r

⁰⁰

(puisque r

⁰

•r

⁰⁰

↓) et r r

⁰

+r

⁰⁰

. Par (HI), r

⁰

P A et r

⁰⁰

P B. En conclusion,

r PA∗B.

- CasrPA−∗B :

Par définition, pour tout marquageM ∈_M(P)tel queM PA, nous avonsr+M P

B. Soitr

⁰

∈Rtel quer

⁰

K

Aetr•r

⁰

↓. Par (HI),r

⁰

PA. Doncr+r

⁰

PB. Comme

r•r

⁰

↓ alorsr•r

⁰

=r+r

⁰

. Donc, par (HI),r•r

⁰

K

B. En conclusion, r

K

A−∗B.

- Casr

K

A−∗B :

2.4. Adéquation de la sémantique à base de réseaux de Petri à inconsistance pour BI

(nous notons cette propriété(P)). Soit M ∈_M(P) tel queM P A. Il y a deux cas :

- CasM β :

Dans ce cas, par la Proposition 2.1.3, r+M β. Alors, par le Corollaire 2.2.6,

r+M PB.

- CasM 6β :

Donc, M ∈R. Alors, par (HI),M

K

A. Il y a alors deux cas :

- Cas r+M β :

Dans ce cas, par le Corollaire 2.2.6,r+M PB.

- Cas r+M 6β :

Alors, par la définition deT

β-PN→MR

,r+M ∈Retr•M =r+M (et est donc

défini). Alors, par(P),r•M

K

B. D’où, par (HI), r+M PB.

Dans tous les cas, nous avons sir

⁰

P Aalorsr+r

⁰

PB. En conclusionrPA−∗B.

Lemme 2.4.4. Soit φ une formule. Si φ est valide dans la sémantique à base de monoïdes de

ressource, alorsφest valide dans la sémantique à base de β-PN.

Preuve. Supposons queφne soit pas valide dans la sémantique à base deβ-PN. Donc il existe un

contre-modèle P= (P, i,P) tel que {{}} 6P φ. Supposons que{{}} β, alors par le Corollaire

2.2.6, {{}} P φ, ce qui est absurde. Donc {{}} 6 β. Soit T

_β-PN→MR

(P) = (R,_J·_K,

K

). Par le

Lemme 2.4.2, T

_β-PN→MR

(P) est un modèle à base de monoïdes de ressources. Par le Lemme

2.4.3 e 6

K

φ dans ce modèle. En conséquence, nous avons obtenu un contre-modèle à base de

monoïdes de ressource de la formuleφ. Nous pouvons alors conclure queφn’est pas valide dans

la sémantique à base de monoïdes de ressource.

2.4.2 Adéquation de la nouvelle sémantique de BI

Nous étudions à présent l’adéquation de notre nouvelle sémantique à base de réseaux de Petri

à inconsistance.

Dans un premier temps, nous montrons que si une formule est valide dans notre sémantique

à base deβ-PN, alors elle est valide dans la sémantique à base de monoïdes de ressources de BI.

Lemme 2.4.5. Soit φune formule. Si φest valide dans la sémantique à base de β-PN, alors φ

est valide dans la sémantique à base de monoïdes de ressources deBI.

Preuve. Supposons queφne soit pas valide dans la sémantique à base de monoïdes de ressources.

La méthode des tableaux deBInous permet alors d’obtenir une branche à partir de laquelle il est

possible d’extraire un contre-modèle deφK= (R,_J·_K,

K

), oùR= (R,•, e,v) [38, 66]. En

choi-sissant@=v, alors par le Théorème 2.3.11,Ω(K) = (P, i,P), oùP = (P, T, pre, post,_M

c

(P), β)

est un contre-modèle à base deβ-PN deφ. En conclusion,φn’est pas valide dans la sémantique

à base deβ-PN.

Théorème 2.4.6. La sémantique à base de β-PN pourBI est adéquate.

Preuve. Soitφune formule. Par le Lemme 2.4.4 et le Lemme 2.4.5,φest valide dans la

séman-tique à base de monoïdes de ressources si et seulement siφest valide dans la sémantique à base

deβ-PN.

Théorème 2.4.7. Soitφune formule non valide. Si la méthode des tableaux deBI, appliquée à

Preuve. Soit φ une formule. Supposons que la méthode des tableaux de BI, appliquée à φ,

termine. Alors dans ce cas, le calcul étant correct et complet, nécessairement la tableau contient

une branche à partir de laquelle un contre-modèle à base de monoïdes de ressources peut être

extrait, noté K = (R,_J·_K,

K

), où R= (R,•, e,v). Par la propriété de la méthode des tableaux

de BI, R et v sont finis [38, 66]. Considérons alors @=v et Ω(K) = (P, i,P), avec P =

(P, T, pre, post,_M

^c

(P), β). Par définition de Ω, commeR et v sont finis, alors P, T et _M

^c

(P)

sont finis. En conséquence, et par la Proposition 2.3.4, P est un β-PN fini. Par le Théorème

2.3.11, nous pouvons alors conclure que Ω(K)est un contre-modèle à base deβ-PN deφqui est

fini.

Dans le document Logiques de Ressources Dynamiques : Modèles, Propriétés et Preuves (Page 46-50)