La méthode d’extraction de contre-modèles

Nous rappelons que les contre-modèles deBIsont des monoïdes de ressources ayant certaines

propriétés [66] que nous énumérons ci-dessous. Mais avant, concernant les modèles à base de

monoïdes de ressources, nous redonnons au lecteur la définition de monoïde de ressources et

d’interprétation afin de faciliter la lecture.

Définition 2.3.1 (Monoïde de ressources). Un monoïde de ressources est une structure R =

(R,•, e,v) telle que :

- (R,•, e)est un monoïde partiel

- v ⊆R×R est un préordre (une relation réflexive et transitive)

- Compatibilité :∀r

1

, r

2

, r

3

∈R, sir

1

vr

2

etr

2

•r

3

↓alorsr

1

•r

3

↓ etr

1

•r

3

vr

2

•r

3

Nous rappelons que r

1

•r

2

↓ signifie ”r

1

•r

2

est défini” et que r

1

•r

2

↑ signifie ”r

1

•r

2

n’est

pas défini”.

Définition 2.3.2 (Interprétation). Une interprétation est une fonction _J·_K : Prop → _P(R),

satisfaisant la propriété de monotonie suivante :∀p∈Prop,∀r, r

⁰

∈R, si r vr

⁰

et r∈_Jp_Kalors

r

⁰

∈_Jp_K.

La méthode des tableaux de BI construit, à partir d’une formule dont nous souhaitons

connaître si elle est valide ou non, un tableau, qui est un arbre dont les nœuds sont des

for-mules possédant unsigne (_Tou_F) et unlabel. De plus, à chaque branche du tableau est associé

un graphe, dont les nœuds sont aussi des labels. Lorsqu’une formule n’est pas valide, il est

pos-sible, sous certaines conditions, d’extraire un contre-modèle à base de monoïdes de ressources

de cette formule. Tous les contre-modèles extraits par cette méthode des tableaux possèdent

certaines propriétés sur lesquelles nous nous appuyons pour transformer ces contre-modèles en

contre-modèles à base deβ-PN.

Parmi ces propriétés, la première est que les ressources du contre-modèle à base de monoïdes

de ressources extrait (les éléments deR) sont en réalité des labels, c’est-à-dire des mots construits

sur un alphabet γ

_r

= {c

₁

, c

₂

, ...} dont l’ordre des lettres n’a pas d’importance. Autrement dit,

la ressourcec

1

c

4

c

5

et la ressourcec

5

c

1

c

4

sont la même ressource. De plus, pour toute ressource,

tout sous-mot est aussi une ressource. Par exemple, si c

₅

c

₁

c

₄

c

₃

∈ R alors c

₅

c

₃

∈ R. Une autre

propriété est que la composition de deux ressources est définie comme étant la concaténation

de ces deux mots, à condition que le mot obtenu appartienne à R. Dans le cas contraire, la

composition n’est pas définie. Par exemple, si c

₁

c

₂

c

₃

∈R alorsc

₁

c

₂

•c

₃

↓ etc

₁

c

₂

•c

₃

=c

₁

c

₂

c

₃

.

Mais aussi, si c

₁

c

₂

•c

₃

↓ alors c

₁

c

₂

c

₃

∈R et c

₁

c

₂

•c

₃

=c

₁

c

₂

c

₃

. Par contre, sic

₁

c

₂

c

₃

6∈ R, alors

c

1

c

2

•c

3

↑. Par ailleurs, la ressource unitaireeest alors vue comme le mot vide. Pour finir, pour

toute branche finie à partir de laquelle un contre-modèle à base de monoïdes de ressources a été

extrait, l’ensemble R et la relationv sont finis.

Afin de ne pas insérer de transitions inutiles dans leβ-modèle que nous allons extraire, nous

introduisant une notion de BI-clôture : en considérant une relation v obtenue par la méthode

d’extraction de contre-modèles à base de monoïdes de ressources deBIet choisissons une relation

@, nous dirons alors que laBI-clôture de @est égale à v si et seulement si la clôture de@ par

les règles de la Figure 3 est égale àv.

x@y y@z

htri

x@z

xy@xy

hdri

x@x

ky@ky x@y

hcri

kx@ky

x@y

hlri

x@x

x@y

hrri

y@y

Figure^{3 – Règles de} BI-clôture

Nous définissons les deux fonctions ext

P

etext

M

, permettant à partir d’une ressource

d’ex-traire respectivement un ensemble de places et un marquage, ainsi :

ext

_P

(c

_i1

...c

_in

) ={c

_i1

, ..., c

_i1

}

ext

M

(c

i1

...c

in

) ={{c

i1

, ..., c

i1

}}

et nous donnons à présent une fonction Ω permettant de transformer un contre-modèle extrait

par la méthode des tableaux de BI, en unβ-PN.

Définition 2.3.3 (Fonction Ω). Soit K = (R,_J·_K,

K

), avec R= (R,•, e,v), un contre-modèle

d’une formuleφextrait par la méthode des tableaux deBI. Soit@⊆R×Rune relation quelconque

telle que saBI-clôture soit égale àv. La fonctionΩassocie àKle tripletΩ(K) = (P, i,P), avec

P = (P, T, pre, post,_M

^c

(P), β), tel que :

- P =S

r∈R

ext

_P

(r)

- T ={t

r1→r2

|r

2

@r

1

}

- pre(t

r1→r2

) =ext

M

(r

1

)

- post(t

_r1→r2

) =ext

_M

(r

₂

)

- _M

^c

(P) =S

r∈R

ext

M

(r)

- β est un nouvel élément tel que β6∈_M

c

(P)

- Pour tout p∈Prop,i(p) ={β} ∪S

r∈_Jp_K

ext

_M

(r)

Nous noterons que le choix d’une relation@ peut nous permettre de supprimer par exemple

la réflexivité et la transitivité de la relation v, permettant alors de ne pas avoir de transitions

réflexives et transitives inutiles dans les β-PN extraits. Nous illustrerons cela en détail à la fin

de cette section sur un exemple d’extraction de contre-modèle.

2.3. Une méthode d’extraction de contre-modèles à base de réseaux de Petri à inconsistance pourBI

Proposition 2.3.4. SoitK= (R,_J·_K,

K

), avecR= (R,•, e,v), un contre-modèle d’une formule

φextrait par la méthode des tableaux de BI. Soit @⊆R×R une relation quelconque telle que

saBI-clôture soit égale àv. SoitΩ(K) = (P, i,P), oùP = (P, T, pre, post,_M

c

(P), β).P est un

β-PN.

Preuve. Tout d’abord, il est évident que l’ensemble des marquages consistants sont des

multi-ensembles construits surP (_M

^c

(P) ⊆M(P)). Nous montrons que les propriétés (ML) et (ZM)

sont vérifiées :

- Propriété (ML) :

Soit M ∈ _M

c

(P) et soit N ∈ M(P) tel que N ≤ M. Par définition de Ω et par les

propriétés des contre-modèles à base de monoïdes de ressources extraits par la méthode

des tableaux de BI,M est de la forme M ={{c

i1

, ..., c

i1

}} etc

i1

...c

in

∈R. Considérons le

motr tel queext

_M

(r) =N. CommeN est un sous-marquage deM (N ≤M), alorsr est

un sous-mot de c

i1

...c

in

. Par les propriétés des contre-modèles, r ∈ R. En conséquence,

par définition deΩ,N ∈_M

c

(P).

- Propriété (ZM) :

Comme e∈Ret commeeest vu comme le mot vide, nous avons ext

M

(e) ={{}}, et donc

{{}} ∈_M

c

(P), par définition de Ω.

Nous pouvons aussi remarquer quepreetpostsont bien deux fonctions T →_M

c

(P).

Proposition 2.3.5. SoitK= (R,_J·_K,

K

), avecR= (R,•, e,v), un contre-modèle d’une formule

φextrait par la méthode des tableaux de BI. Soit @⊆R×R une relation quelconque telle que

sa BI-clôture soit égale à v. Soit Ω(K) = (P, i,P), où P = (P, T, pre, post,M

^c

(P), β). Si

M ∈_M

c

(P) etM →N alorsN ∈_M

c

(P).

Preuve. Soit M ∈ _M

c

(P) et N ∈ _M(P). Supposons que M → N. Comme M → N et

M ∈ _M

c

(P) alors il existe t ∈ T et M

⁰

∈ _M

c

(P) tels que M = pre(t) + M

⁰

et N =

post(t) +M

⁰

. M

⁰

étant un marquage consistant, il est de la forme M

⁰

= {{c

_i0

1

, ..., c

_i0

n⁰

}}. De

plus, la transition t est de la forme t = t

cj₁...c_jm→c_k1...c_kl

, par définition de Ω. Donc, toujours

par définition de Ω, nous avons alors c

_k1

...c

_kl

@ c

_j1

...c

_jm

, et donc c

_k1

...c

_kl

v c

_j1

...c

_jm

par

BI-clôture. Par ailleurs, comme M ∈ _M

c

(P) et comme M = pre(t) +M

⁰

= {{c

j1

, ..., c

jm

}}+

{{c

_i0 1

, ..., c

_i0 n⁰

}} = {{c

j1

, ..., c

jm

, c

_i0 1

, ..., c

_i0 n⁰

}}, alors {{c

j1

, ..., c

jm

, c

_i0 1

, ..., c

_i0 n⁰

}} ∈ _M

c

(P). Donc nous

avonsc

j1

...c

jm

c

_i0 1

...c

_i0 n⁰

∈R et donc c

j1

...c

jm

•c

_i0 1

...c

_i0 n⁰

↓ etc

j1

...c

jm

•c

_i0 1

...c

_i0 n⁰

=c

j1

...c

jm

c

_i0 1

...c

_i0 n⁰

par les propriétés des contre-modèles à base de monoïdes de ressources extraits par la méthode

des tableaux de BI. Ainsi, par compatibilité, comme c

_k1

...c

_kl

vc

_j1

...c

_jm

etc

_j1

...c

_jm

•c

_i0

1

...c

_i0

n⁰

↓,

nous avons alorsc

_k1

...c

_kl

•c

_i0

1

...c

_i0

n⁰

↓. Par conséquent,c

_k1

...c

_kl

c

_i0

1

...c

_i0

n⁰

∈R. Donc, par définition

de Ω, {{c

k1

, ..., c

kl

, c

_i0

1

, ..., c

_i0

n⁰

}} ∈ _M

c

(P). Nous pouvons remarquer que N = post(t) +M

⁰

=

{{c

_k1

, ..., c

_kl

}}+{{c

_i0 1

, ..., c

_i0 n⁰

}}={{c

_k1

, ..., c

_kl

, c

_i0 1

, ..., c

_i0 n⁰

}}. En conclusion, N ∈_M

c

(P).

Corollaire 2.3.6. SoitK = (R,_J·_K,

K

), avec R= (R,•, e,v), un contre-modèle d’une formule

φ extrait par la méthode des tableaux de BI. Soit @ ⊆ R ×R une relation quelconque telle

que saBI-clôture soit égale à v. Soit Ω(K) = (P, i,P), où P = (P, T, pre, post,_M

^c

(P), β). Si

M ∈_M

c

(P) etM N alorsN ∈_M

c

(P).

Preuve. Soit M ∈_M

c

(P) etN ∈_M(P). Nous supposons queM N. Il y a alors deux cas :

- CasM =N :

Dans ce cas, nous avonsN ∈_M

c

(P).

- Cas où il existe une succession de transitionsM →M

1

→...→M

n

→N :

Proposition 2.3.7. SoitK= (R,_J·_K,

K

), avecR= (R,•, e,v), un contre-modèle d’une formule

φ extrait par la méthode des tableaux de BI. Soit @ ⊆ R×R une relation quelconque telle

que sa BI-clôture soit égale à v. Soit Ω(K) = (P, i,P), où P = (P, T, pre, post,_M

^c

(P), β).

{{c

_i1

, ..., c

_in

}}{{c

_j1

, ..., c

_jm

}} si et seulement sic

_j1

...c

_jm

vc

_i1

...c

_in

.

Preuve. Nous montrons l’implication dans les deux sens.

Nous supposons que{{c

_i1

, ..., c

_in

}}{{c

_j1

, ..., c

_jm

}}. Il y a alors deux cas :

- Cas où{{c

_i1

, ..., c

_in

}}={{c

_j1

, ..., c

_jm

}}:

Dans ce cas, les ressourcesc

i1

...c

in

etc

j1

...c

jm

sont égales (nous rappelons qu’une ressource

d’un contre-modèle extrait par la méthode des tableaux deBIest un mot dont l’ordre des

lettres n’a pas d’importance). Donc c

_i1

...c

_in

=c

_j1

...c

_jm

. Et alors, c

_j1

...c

_jm

vc

_i1

...c

_in

, par

réflexivité de la relation.

- Cas où il existe une succession de transitions {{c

i1

, ..., c

in

}} → M

1

→ ... → M

n

→

{{c

_j1

, ..., c

_jm

}}:

Nous prouvons par induction surn.

- Cas de base (n= 0) :

Dans ce cas, la transition est de la forme {{c

_i1

, ..., c

_in

}} → {{c

_j1

, ..., c

_jm

}}. Donc il existe

une transition t

x→y

∈T, ainsi qu’un marquageM

⁰

={{c

m1

, ..., c

ml

}} ∈_M

c

(P) tels que

{{c

i1

, ..., c

in

}}=pre(t

x→y

) +M

⁰

et{{c

j1

, ..., c

jm

}}=post(t

x→y

) +M

⁰

. Par définition de

Ω et par les propriétés des contre-modèles à base de monoïdes de ressources extraits,

nous avons y@x (d’oùyvxparBI-clôture),x•c

m1

...c

ml

↓,x•c

m1

...c

ml

=c

i1

...c

in

,

y•c

m1

...c

m_l

↓ety•c

m1

...c

m_l

=c

j1

...c

jm

. Par compatibilité,y•c

m1

...c

m_l

vx•c

m1

...c

m_l

,

d’où c

_j1

...c

_jm

vc

_i1

...c

_in

.

- Cas inductif :

Nous supposons que la propriété est vérifiée pour tout n 6 t (HI). Nous

démon-trons que la Proposition est vérifiée pour une succession de transitions de la forme

{{c

_i1

, ..., c

_in

}} →M

₁

→...→M

_t+1

→ {{c

_j1

, ..., c

_jm

}}.

Par le Corollaire 2.3.6, M

1

∈_M

c

(P). Nous notonsM

1

={{c

_k1

, ..., c

_kl

}}. Par (HI), nous

avons alors c

_k1

...c

_kl

v c

_i1

...c

_in

et c

_j1

...c

_jm

v c

_k1

...c

_kl

. Donc c

_j1

...c

_jm

v c

_i1

...c

_in

, par

transitivité de la relation v.

Nous supposons à présent quec

j1

...c

jm

vc

i1

...c

in

. Nous rappelons que laBI-clôture de la relation

@ est égale à v. Nous démontrons alors que {{c

_i1

, ..., c

_in

}} {{c

_j1

, ..., c

_jm

}} par induction sur la

hauteur de l’arbre de dérivation de c

_j1

...c

_jm

vc

_i1

...c

_in

obtenu par les règles de BI-clôture de la

Figure 3.

- Cas de base (i= 0) :

Dans ce cas, nous avons c

_j1

...c

_jm

@ c

_i1

...c

_in

. Par définition de Ω, t

_ci

1...c_in→cj₁...c_jm

∈ T.

Nous rappelons, par la Proposition 2.3.4 que P est unβ-PN et donc {{}} ∈_M

c

(P) par la

propriété (ZM). De plus, comme @ est définie sur R×R, alors c

_j1

...c

_jm

, c

_i1

...c

_in

∈R et

donc, par définition de Ω, {{c

_i1

, ..., c

_in

}},{{c

_j1

, ..., c

_jm

}} ∈ _M

c

(P). Comme {{c

_i1

, ..., c

_in

}} =

pre(t

ci₁◦...◦c_in→cj₁◦...◦c_jm

) +{{}} et {{c

j1

, ..., c

jm

}} = post(t

ci₁◦...◦c_in→cj₁◦...◦c_jm

) +{{}} alors

{{c

_i1

, ..., c

_in

}} → {{c

_j1

, ..., c

_jm

}}. Par conséquent,{{c

_i1

, ..., c

_in

}}{{c

_j1

, ..., c

_jm

}}.

- Cas inductifs

Nous supposons que la propriété est vérifiée pour toute paire c

j1

...c

jm

vc

i1

...c

in

pouvant

être obtenue par un arbre de dérivation de hauteurn(HI). Nous montrons pour les paires

pouvant être obtenues par un arbre de dérivation de hauteurn+ 1.

- Casht

r

i :

2.3. Une méthode d’extraction de contre-modèles à base de réseaux de Petri à inconsistance pourBI

...

c

j1

...c

jm

@y

...

y@c

i1

...c

in htri

c

j1

...c

jm

@c

i1

...c

in

Ici, y étant une ressource, alors par la définition de Ω, ext

M

(y) ∈ _M

c

(P). Par (HI),

nous avons alors ext

_M

(y) {{c

j1

, ..., c

jm

}} et {{c

i1

, ..., c

in

}} ext

_M

(y). Par clôture

transitive, nous avons alors {{c

_i1

, ..., c

_in

}}{{c

_j1

, ..., c

_jm

}}.

- Cas hd

r

i :

L’arbre de dérivation est de la forme :

...

c

i1

...c

in

y@c

i1

...c

in

y

hdri

c

i1

...c

in

@c

i1

...c

in

Nous pouvons remarquer quec

i1

...c

in

est un sous-mot dec

i1

...c

in

y. Donc, par la

pro-priété des contre-modèles à base de monoïdes de ressources extraits par la méthode

des tableaux de BI, c

_i1

...c

_in

∈ R. Ainsi, {{c

_i1

, ..., c

_in

}} ∈ _M

c

(P), par définition de Ω.

Nous pouvons alors conclure que {{c

i1

, ..., c

in

}}{{c

i1

, ..., c

in

}}par la clôture réflexive

de la relation.

- Cas hc

_r

i :

L’arbre de dérivation est de la forme :

...

ky@ky

...

x@y

hcri

kx@ky

Dans ce cas, x,y et k sont de la forme x=c

_x1

...c

_xa

,y =c

_y1

...c

_yb

etk=c

_k1

...c

_kc

, et

nous avons alorskx=c

k1

...c

kc

c

x1

...c

xa

=c

k1

...c

kc

•c

x1

...c

xa

etky=c

k1

...c

kc

c

y1

...c

yb

=

c

_k1

...c

_kc

• c

_y1

...c

_yb

, par la propriété des contre-modèles à base de monoïdes de

res-sources extraits par la méthode des tableaux de BI. De plus, par Ω, {{c

_x1

, ..., c

_xa

}},

{{c

y1

, ..., c

yb

}}, {{c

k1

, ..., c

kc

}}, {{c

k1

, ..., c

kc

, c

x1

, ..., c

xa

}} et {{c

k1

, ..., c

kc

, c

y1

, ..., c

yb

}} sont

tous des marquages consistants. Par (HI), nous avons {{c

_y1

, ..., c

_yb

}} {{c

_x1

, ..., c

_xa

}}.

Par le Corollaire 2.1.4, {{c

_k1

, ..., c

_kc

}}+{{c

_y1

, ..., c

_yb

}} {{c

_k1

, ..., c

_kc

}}+{{c

_x1

, ..., c

_xa

}}.

En conclusion, nous avons {{c

k1

, ..., c

kc

, c

y1

, ..., c

yb

}}{{c

k1

, ..., c

kc

, c

x1

, ..., c

xa

}}.

- Les deux derniers cas sont similaires au cas hd

_r

i

Proposition 2.3.8. SoitK= (R,_J·_K,

K

), avecR= (R,•, e,v), un contre-modèle d’une formule

φextrait par la méthode des tableaux de BI. Soit @⊆R×R une relation quelconque telle que

saBI-clôture soit égale àv. SoitΩ(K) = (P, i,P), oùP = (P, T, pre, post,_M

^c

(P), β).iest une

β-interprétation.

Preuve. Nous vérifions que iest uneβ-interprétation au sens de la Définition 2.2.1. Nous

pou-vons remarquer dans un premier temps que la propriété d’inconsistance est vérifiée, par définition

de Ω : pour toute proposition p ∈ Prop, β ∈ i(p). Concernant la monotonie, considérons deux

marquagesM, N ∈_M(P) tels queM ∈i(p) etN M. Il y a alors deux cas :

- CasN =β :

Dans ce cas,N ∈i(p), par définition de Ω.

- Cas oùN est un marquage consistant :

Par le Corollaire 2.3.6, M est aussi un marquage consistant. Nous pouvons alors les

noter N ={{c

i1

, ..., c

in

}}et M ={{c

j1

, ..., c

jm

}}. Par définition de Ω et par la Proposition

2.3.7, c

_j1

...c

_jm

∈ _Jp_K et c

_j1

...c

_jm

v c

_i1

...c

_in

. Par la monotonie de _J·_K, nous avons alors

c

_i1

...c

_in

∈_Jp_K. Finalement, par définition deΩ,{{c

_i1

, ..., c

_in

}} ∈i(p), d’oùN ∈i(p).

En conclusion,iest une β-interprétation.

Lemme 2.3.9. Soit K = (R,_J·_K,

K

), avec R= (R,•, e,v), un contre-modèle d’une formule φ

extrait par la méthode des tableaux deBI. Soit @⊆R×R une relation quelconque telle que sa

BI-clôture soit égale à v. Soit Ω(K) = (P, i,P), où P = (P, T, pre, post,_M

c

(P), β).(P, i,P)

est un β-modèle.

Preuve. Par la Proposition 2.3.4 et la Proposition 2.3.8.

Lemme 2.3.10. Soit K = (R,_J·_K,

K

), avec R = (R,•, e,v), un contre-modèle d’une formule

φ extrait par la méthode des tableaux de BI. Soit @ ⊆ R×R une relation quelconque telle

que sa BI-clôture soit égale à v. Soit Ω(K) = (P, i,P), où P = (P, T, pre, post,_M

^c

(P), β). Les

propriétés suivantes sont vérifiées pour toute formuleϕet toute ressourcec

_i1

...c

_in

∈R :

(a) β Pϕ

(b) Si c

_i1

...c

_in

6

K

ϕalors{{c

_i1

, ..., c

_in

}} 6P ϕ

(c) Si c

_i1

...c

_in

K

ϕalors{{c

_i1

, ..., c

_in

}}Pϕ

Preuve. Par le Lemme 2.3.9,(P, i,P)est unβ-modèle. Par le Lemme 2.2.5, la propriété (a) est

vérifiée. Nous rappelons que comme c

i1

...c

in

∈R alors{{c

i1

, ..., c

in

}} ∈ _M

c

(P) (par définition de

Ω) et donc{{c

i1

, ..., c

in

}} 6=β. Nous prouvons les deux autres propriétés par induction structurelle

simultanée surϕ.

- Cas de base :

- Casc

i1

...c

in

6

K

p, avecp∈P rop:

Par définition, c

_i1

...c

_in

6∈_Jp_K. De plus, comme {{c

_i1

, ..., c

_in

}} 6=β, alors par définition

de Ω,{{c

i1

, ..., c

in

}} 6∈i(p). Nous pouvons alors conclure que{{c

i1

, ..., c

in

}} 6Pp.

- Casc

i1

...c

in

K

p, avecp∈P rop:

Par définition, c

_i1

...c

_in

∈ _Jp_K. Donc, par définition de Ω, {{c

_i1

, ..., c

_in

}} ∈ i(p). Nous

pouvons alors conclure que {{c

i1

, ..., c

in

}}Pp.

- Casc

i1

...c

in

6

K

> :

Ce cas ne peut pas se produire.

- Casc

_i1

...c

_in

K

> :

Par la définition de la relation de forcing dans notre sémantique à base de β-PN, nous

avons {{c

_i1

, ..., c

_in

}}P>.

- Casc

_i1

...c

_in

6

K

⊥ :

Supposons que{{c

i1

, ..., c

in

}}P⊥. Donc, par définition,{{c

i1

, ..., c

in

}}β. Or, par le

Corollaire 2.3.6, ceci est absurde puisque {{c

_i1

, ..., c

_in

}} ∈_M

c

(P) etβ est inconsistant.

Donc {{c

_i1

, ..., c

_in

}} 6P⊥.

- Casc

i1

...c

in

K

⊥ :

Ce cas ne peut pas se produire.

- Casc

_i1

...c

_in

6

K

I :

Par définition, e6vc

i1

...c

in

. Par la Proposition 2.3.7,{{c

i1

, ..., c

in

}} 6{{}}. Donc, nous

avons {{c

_i1

, ..., c

_in

}} 6PI.

- Casc

_i1

...c

_in

K

I :

Par définition, e v c

i1

...c

in

. Par la Proposition 2.3.7, {{c

i1

, ..., c

in

}} {{}} et donc

{{c

_i1

, ..., c

_in

}}PI.

- Cas inductifs : nous supposons que les propriétés (b) et (c) sont vérifiées par les formules

A etB (HI).

- Casc

i1

...c

in

6

K

A∧B :

Par définition, nous avonsc

_i1

...c

_in

6

K

A ouc

_i1

...c

_in

6

K

B. Donc, par (HI), nous avons

alors {{c

i1

, ..., c

in

}} 6P A ou {{c

i1

, ..., c

in

}} 6P B. En conséquence, {{c

i1

, ..., c

in

}} 6P

A∧B.

2.3. Une méthode d’extraction de contre-modèles à base de réseaux de Petri à inconsistance pourBI

- Cas c

i1

...c

in

K

A∧B :

Par définition, nous avonsc

_i1

...c

_in

K

A etc

_i1

...c

_in

K

B. Donc, par (HI), nous avons

alors {{c

_i1

, ..., c

_in

}} P A et {{c

_i1

, ..., c

_in

}} P B. En conséquence, {{c

_i1

, ..., c

_in

}} P

A∧B.

- Cas c

_i1

...c

_in

6

K

A∨B :

Ce cas est similaire au précédent.

- Cas c

i1

...c

in

K

A∨B :

Ce cas est similaire au précédent.

- Cas c

_i1

...c

_in

6

K

A→B :

Par définition, il existe une ressource c

j1

...c

jm

∈ R telle que c

i1

...c

in

v c

j1

...c

jm

et

c

j1

...c

jm

K

A et c

j1

...c

jm

6

K

B. Par définition de Ω, {{c

j1

, ..., c

jm

}} ∈ _M

c

(P). Par

la Proposition 2.3.7, {{c

_j1

, ..., c

_jm

}} {{c

_i1

, ..., c

_in

}}. Par (HI), {{c

_j1

, ..., c

_jm

}} P A et

{{c

j1

, ..., c

jm

}} 6PB. En conclusion {{c

i1

, ..., c

in

}} 6PA→B.

- Cas c

i1

...c

in

K

A→B :

SoitM ∈_M(P)tel que M {{c

_i1

, ..., c

_in

}}etM PA. Il y a alors deux cas :

- CasM =β :

Dans ce cas, par la propriété (a), M PB.

- CasM ∈_M

c

(P):

Le marquageM est alors de la formeM ={{c

j1

, ..., c

jm

}}. Par la Proposition 2.3.7,

nous avons alors c

i1

...c

in

v c

j1

...c

jm

. Si c

j1

...c

jm

6

K

A, alors par (HI), M 6P A,

ce qui est absurde. Donc c

_j1

...c

_jm

K

A. Comme c

_i1

...c

_in

K

A → B, c

_i1

...c

_in

v

c

j1

...c

jm

etc

j1

...c

jm

K

A, alorsc

j1

...c

jm

K

B. Par (HI), nous avons alorsM PB.

Nous avons alors pour tout M ∈ _M(P), si M {{c

i1

, ..., c

in

}} et M P A alors

M PB. En conclusion, {{c

_i1

, ..., c

_in

}}PA→B.

- Cas c

i1

...c

in

6

K

A∗B :

Soit M

1

et M

2

deux marquages tels que{{c

i1

, ..., c

in

}} M

1

+M

2

. Par le Corollaire

2.3.6, M

₁

+M

₂

∈_M

c

(P). DoncM

₁

∈ _M

c

(P) et M

₂

∈_M

c

(P) (puisque β+M =β,

pour tout marquage M). Donc M

₁

et M

₂

sont deux marquages de la forme M

₁

=

{{c

j1

, ..., c

jm

}}etM

2

={{c

_k1

, ..., c

_kl

}}. AlorsM

1

+M

2

={{c

j1

, ..., c

jm

, c

_k1

, ..., c

_kl

}}. Par

dé-finition deΩet par les propriétés des contre-modèles à base de monoïdes de ressources

extraits par la méthode des tableaux de BI, nous avons c

_j1

...c

_jm

∈ R, c

_k1

...c

_kl

∈ R

et c

j1

...c

jm

c

k1

...c

k_l

∈ R, c

j1

...c

jm

•c

k1

...c

k_l

↓ etc

j1

...c

jm

•c

k1

...c

k_l

= c

j1

...c

jm

c

k1

...c

k_l

.

De plus, par la Proposition 2.3.7, c

_j1

...c

_jm

•c

_k1

...c

_kl

v c

_i1

...c

_in

. Comme c

_i1

...c

_in

6

K

A ∗ B, alors c

_j1

...c

_jm

6

K

A ou c

_k1

...c

_kl

6

K

B. Donc par (HI), {{c

_i1

, ..., c

_in

}} 6P

A ou {{c

i1

, ..., c

in

}} 6P B. En résumé, pour tous marquages M

1

et M

2

tels que

{{c

_i1

, ..., c

_in

}} M

₁

+M

₂

, nous avons {{c

_i1

, ..., c

_in

}} 6P A ou {{c

_i1

, ..., c

_in

}} 6P B.

Nous pouvons donc conclure que{{c

_i1

, ..., c

_in

}} 6PA∗B.

- Cas c

i1

...c

in

K

A∗B :

Par définition, il existe deux ressourcesc

_j1

...c

_jm

∈Retc

_k1

...c

_kl

∈Rtelles quec

_j1

...c

_jm

•

c

_k1

...c

_kl

↓ et c

_j1

...c

_jm

•c

_k1

...c

_kl

vc

_i1

...c

_in

et c

_j1

...c

_jm

K

A etc

_k1

...c

_kl

K

B. Par les

propriétés des contre-modèles à base de monoïdes de ressources extraits par la méthode

des tableaux deBI, nous avons c

_j1

...c

_jm

•c

_k1

...c

_kl

=c

_j1

...c

_jm

c

_k1

...c

_kl

. Par (HI) et par

le Corollaire 2.3.6, {{c

_i1

, ..., c

_in

}} {{c

_j1

, ..., c

_jm

, c

_k1

, ..., c

_kl

}} et {{c

_j1

, ..., c

_jm

}} P A et

{{c

k1

, ..., c

k_l

}}PB. Nous pouvons alors conclure que {{c

i1

, ..., c

in

}}PA∗B.

- Cas c

i1

...c

in

6

K

A−∗B :

Par définition, il existe une ressource c

_j1

...c

_jm

∈ R telle que c

_i1

...c

_in

•c

_j1

...c

_jm

↓,

c

j1

...c

jm

K

A et c

i1

...c

in

•c

j1

...c

jm

6

K

B. Par les propriétés des contre-modèles à

base de monoïdes de ressources extraits par la méthode des tableaux de BI, nous

avons c

i1

...c

in

•c

j1

...c

jm

=c

i1

...c

in

c

j1

...c

jm

. De plus, par (HI), {{c

j1

, ..., c

jm

}} P A et

{{c

_i1

, ..., c

_in

, c

_j1

, ..., c

_jm

}} 6PB. Ainsi, nous avons{{c

_j1

, ..., c

_jm

}}PAet{{c

_i1

, ..., c

_in

}}+

{{c

_j1

, ..., c

_jm

}} 6P B. Nous pouvons alors conclure que{{c

_i1

, ..., c

_in

}} 6PA−∗B.

- Casc

i1

...c

in

K

A−∗B :

Soit M ∈_M(P) tel que M PA. Il y a deux cas :

- Cas M =β :

Dans ce cas, {{c

i1

, ..., c

in

}}+M =β et alors, par la propriété (a), {{c

i1

, ..., c

in

}}+

M PB.

- Cas M ∈_M

c

(P) :

Donc M est un marquage de la forme M = {{c

j1

, ..., c

jm

}}. Par définition de Ω,

c

j1

...c

jm

∈R. Il y a alors deux cas :

- Casc

_i1

...c

_in

•c

_j1

...c

_jm

où est non défini :

Par définition deΩ,{{c

i1

, ..., c

in

, c

j1

, ..., c

jm

}} 6∈_M

c

(P). Donc{{c

i1

, ..., c

in

}}+M =

β. Alors, par la propriété (a), {{c

i1

, ..., c

in

}}+M P B.

- Casc

_i1

...c

_in

•c

_j1

...c

_jm

est défini :

Dans ce cas, par les propriétés des contre-modèles à base de monoïdes de

ressources extraits par la méthode des tableaux de BI, nous avons c

i1

...c

in

•

c

_j1

...c

_jm

= c

_i1

...c

_in

c

_j1

...c

_jm

et c

_i1

...c

_in

c

_j1

...c

_jm

∈ R. Si c

_j1

...c

_jm

6

K

A, alors

par (HI), M 6P A, ce qui est absurde. Donc c

j1

...c

jm

K

A. Ainsi, comme

c

i1

...c

in

K

A−∗B, alorsc

i1

...c

in

•c

j1

...c

jm

K

B. D’où c

i1

...c

in

c

j1

...c

jm

K

B.

Donc, par (HI), {{c

_i1

, ..., c

_in

, c

_j1

, ..., c

_jm

}}

K

B. Par conséquent {{c

_i1

, ..., c

_in

}}+

M

K

B.

En résumé, si M P A alors {{c

i1

, ..., c

in

}}+M

K

B. Nous pouvons alors conclure

que {{c

_i1

, ..., c

_in

}}PA−∗B.

Théorème 2.3.11. SoitK= (R,_J·_K,

K

), avecR= (R,•, e,v), un contre-modèle d’une formule

φextrait par la méthode des tableaux deBI. Soit@⊆R×Rune relation quelconque telle que sa

BI-clôture soit égale à v. Soit Ω(K) = (P, i,P), où P = (P, T, pre, post,_M

^c

(P), β).(P, i,P)

est un contre-modèle de φ.

Preuve. Comme K est un contre-modèle de φ, alors e 6

K

φ. Par le Lemma 2.3.9, (P, i,P)

est un β-modèle. De plus, par le Lemme 2.3.10, {{}} 6P φ. En conclusion, (P, i,P) est un

contre-modèle de la formuleφ.

2.3.2 Un exemple d’extraction de contre-modèles à base de réseaux de Petri

Dans le document Logiques de Ressources Dynamiques : Modèles, Propriétés et Preuves (Page 37-44)