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Expressivité de la logique DMBI

r, s −−−−−→

JaKΣAct

r

0

, s

0

, donc seulement si µ(JaK

ΣAct

, r) ↓, donc seulement si JaK

ΣAct

∈ Act et donc

seulement siJaK

ΣAct

est défini. En d’autres termes, avec abus de notation, r, s

K

haiφsignifie :

”a est une action (JaK

ΣAct

est défini) et si le système considéré est à l’état s et dispose des

ressourcesr alors celui-ci peut exécuter l’actionalui permettant d’accéder à un états

0

et à une

ressourcer

0

satisfaisantφ”.

Définition 4.1.5(Validité). Une formuleφestvalide, notéφ, si et seulement sir, s

K

φpour

toute ressourcer et tout état sde tout modèleK.

Nous terminons cette section en donnant deux propositions.

Proposition 4.1.6. Pour tousr

1

, r

2

, r

3

∈R, tousa, a

0

∈Act et touss

1

, s

2

, s

3

∈S, la propriété

suivante est vérifiée : sir

1

, s

1

−→

a

r

2

, s

2

etr

2

, s

2 a

0

−→r

3

, s

3

alorsr

1

, s

1 aa

0

−−−→r

3

, s

3

.

Preuve. Par définition,µ(a, r

1

)↓,µ(a, r

1

) =r

2

ets

1

||aiis

2

. De plus, nous avons aussiµ(a

0

, r

2

)↓,

µ(a

0

, r

2

) = r

3

et s

2

||a

0

iis

3

. Donc µ(a

0

, µ(a, r

1

)) ↓ et µ(a

0

, µ(a, r

1

)) = r

3

. Par la µ-composition,

µ(aa

0

, r

1

) ↓ etµ(aa

0

, r

1

) = µ(a

0

, µ(a, r

1

)) = r

3

. Par la ||·ii-composition, s

1

||aa

0

iis

3

. En

conclusionr

1

, s

1

aa0

−−−→r

3

, s

3

.

Proposition 4.1.7. Pour tous r, r

0

∈R ets, s

0

∈S, nous avonsr, s r

0

, s

0

ssi il existe a∈Act

tel quer, s−→

a

r

0

, s

0

.

Preuve. Supposons qu’il existe a∈Act tel que r, s−→

a

r

0

, s

0

. Alors, par définition, r, s r

0

, s

0

.

Maintenant supposons quer, s r

0

, s

0

. Par définition, il existea

0

, ..., a

n

∈Act,r

1

, ..., r

n

∈R et

s

1

, ..., s

n

∈S tels quer, s −→

a0

r

1

, s

1 a1

−→ ... −−−→

an−1

r

n

, s

n

−→

an

r

0

, s

0

. Par induction sur n et par la

Proposition 4.1.6, nous pouvons alors montrer quer, s−−−−−−−−−−−−−→

a0a1...an−1an

r

0

, s

0

.

4.2 Expressivité de la logique DMBI

Dans cette section nous revisitons l’exemple que nous avons présenté dans le Chapitre 3 en

montrant que DMBI est capable de modéliser des achats et reventes de produits dont les prix

évoluent.

2002 2006 2010 2014

Année Prix

10

5

0

Obj3 Obj2 Obj1

Obj

3

Obj

2

Obj

1

2002

1e

5e

10e

2006

1e

2e

4e

2010

5e

1e

7e

2014

4e

8e

9e

Figure 8 – Exemple d’évolution de prix d’objets

Nous considérons toujours trois objets (Obj

1

,Obj

2

etObj

3

) et nous redonnons l’évolution de

leur prix à la Figure 8. L’objectif de cet exemple est de montrer queDMBIest capable de capturer

grâce à ses modèles et aussi d’exprimer qu’il nous est possible en 2002 avec uniquement1 euro

de réussir à nous procurer un exemplaire de l’objet Obj

3

, alors que sur la période 2002-2014, le

prix de cet objet n’est jamais inférieur à4 euros.

Contrairement aux exemples des chapitres précédents, nous considérons comme ressources

tout se que nous possédons en termes de monnaie et d’objets, c’est-à-dire un couple (m, O) où

m est la quantité de monnaie et O est le multi-ensemble des objets en notre possession. Nous

rappelons que nous ne considérons uniquement des valeurs entières de monnaie. De plus, nous ne

tenons plus compte de la quantité totale de monnaie en circulation, par soucis de simplicité. Nous

rappelons aussi que nous notonsM(E)l’ensemble des multi-ensembles construits sur l’ensemble

E et {{}} est le multi-ensemble vide. Nous proposons de considérer la structure suivante : R =

(R,•, e) telle que :

- R={(m, O)|m∈NetO∈M({Obj

1

, Obj

2

, Obj

3

})}

- (m

1

, O

1

)•(m

2

, O

2

) = (m

1

+m

2

, O

1

+O

2

)

- e= (0,{{}})

Ainsi, (15,{{Obj

1

, Obj

1

, Obj

3

}}) est la ressource représentant la possession de 15 euros, de deux

objets Obj

1

et d’un objet Obj

3

. La ressource unitaire (0,{{}}) représente la possession de zéro

euro et d’aucun objet. Pour finir, nous pouvons illustrer la composition de ressources par :

(15,{{Obj

1

, Obj

1

, Obj

3

}})•(3,{{Obj

2

, Obj

3

}}) = (18,{{Obj

1

, Obj

1

, Obj

2

, Obj

3

, Obj

3

}}). On remarque

que notre structure est bien un monoïde de ressources au sens de la Définition 4.1.1.

Intéressons-nous maintenant aux actions que nous pouvons réaliser. Dans cet exemple, nous

considérons uniquement trois actions atomiques (ou actions de base) : l’achat et la vente d’objets,

ainsi que laisser écouler le temps. Nous noterons L(E) l’ensemble des listes dont les éléments

appartiennent à l’ensemble E, [ ] la liste vide et ⊕ est la concaténation de listes. Considérons

alors la structure A = (Act,⊕,[ ]) telle que Act = L({ac

ji

| 1 6 i 6 3 etj ∈ N} ∪ {ve

ji

| 1 6

i63etj ∈N} ∪ {w}). Ainsi, ac

ji

est l’action atomique représentant l’achat de l’objet Obj

i

au

prix de j euros, ve

ji

est l’action atomique encodant la vente de Obj

i

au prix de j euros et w

est l’action atomique encodant le fait de laisser s’écouler 4 années. De ce fait, nous considérons

comme action toute liste (ou succession) d’actions atomiques. Par exemple, [ac

51

, w, ve

32

, ve

32

]est

l’action consistant à acheter un objet Obj

1

au prix de 5 euros, puis à laisser écouler 4 années

et enfin à vendre successivement deux objets Obj

2

à 3 euros, tandis que l’action [ ] est l’action

consistant à effectuer aucune action atomique. Nous pouvons remarquer que notre structure est

bien un monoïde d’actions au sens de la Définition 4.1.2.

La dernière étape de la construction de notre modèle consiste à considérer la structureM=

(R,A, S,||·ii, µ), telle que :

- S={2002,2006,2010,2014}

- ||·ii ⊆S×Act×S est la plus petite relation telle que :

- s||[ ]iis

- s||[ac

ji

]iisets||[ve

ji

]iissiObj

i

a un prix de j euros à la dates

- s||[w]iis

0

sis

0

=s+ 4ets∈ {2002,2006,2010}

- s||[A

1

;...;A

n

]iis

0

si∃s

1

, ..., s

n−1

∈S·s||[A

1

]iis

1

ets

1

||[A

2

]iis

2

et ... ets

n−2

||[A

n−1

]iis

n−1

ets

n−1

||[A

n

]iis

0

4.2. Expressivité de la logique DMBI

µ(l,(m, O)) =

(m, O) sil= [ ]

↑ sil= [ac

ji

]etm < j

(m−j, O+{{Obj

i

}}) sil= [ac

ji

]etm>j

↑ sil= [ve

ji

]etO(Obj

i

) = 0

(m+j, O− {{Obj

i

}}) sil= [ve

ji

]etO(Obj

i

)>0

(m, O) sil= [w]

µ([A

2

;...;A

k

], µ([A

1

],(m, O))) sil= [A

1

;...;A

k

]

Nous pouvons remarquer, dans la définition de la fonction µ, une soustraction de

multi-ensemble : O− {{Obj

i

}}. Celle-ci est définie simplement par : O

1

−O

2

= O

3

tel que O

3

(o) =

O

1

(o) − O

2

(o) pour tout o ∈ {Obj

1

, Obj

2

, Obj

3

} et est bien entendu définie uniquement si

O

1

(o) >O

2

(o) pour touto ∈ {Obj

1

, Obj

2

, Obj

3

}. Nous illustrons tout d’abord la structure que

nous venons de définir. Les états de notre système sont les quatre dates de l’ensembleS.

Concer-nant la fonction de transition||·ii, nous avons par exemple 2006||[ ]ii2006, puisque[ ]est l’action

consistant à n’effectuer aucune action atomique, donc en particulier à ne pas laisser passer de

temps (w), ainsi si nous sommes en 2006 et que nous ne faisons rien (pas même laisser passer

du temps) alors nous restons en 2006. Nous avons aussi 2006||[ac

2

2

]ii2006 et 2006||[ve

4

3

]ii2006

puisqu’en 2006,Obj

2

valait2euros etObj

3

valait4euros. Mais nous n’avons pas2006||[ac

51

]ii2006

puisque le prix deObj

1

n’est pas de5euros en 2006 et nous n’avons pas non plus2006||[ac

22

]ii2010

puisque que l’achat et la vente d’objet ne permettent pas de changer la date courante. Seule

l’ac-tion atomique w permet de laisser passer du temps (4 années). Ainsi, nous avons par exemple

2006||[w]ii2010. Finalement, comme nous avons2006||[ac

22

]ii2006,2006||[ve

43

]ii2006,2006||[w]ii2010

et 2010||[ac

51

]ii 2010 alors nous avons 2006||[ac

22

;ve

43

;w;ac

51

]ii2010 qui capture qu’en 2006, il

est possible d’acheter Obj

2

pour 2 euros, puis vendre Obj

3

pour 4 euros, puis laisser passer

4 années et enfin acheter Obj

1

pour 5 euros et finalement être à l’année 2010. Concernant la

fonction µ, nous avons par exemple µ([ ],(10,{{Obj

1

}})) = (10,{{Obj

1

}}) puisque si nous avons

10 euros et un objet Obj

1

et si nous ne faisons rien ([ ]), alors nous aurons toujours les mêmes

ressources. Nous avons aussiµ([ac

41

],(2,{{}}))↑parce qu’avec2 euros nous n’avons pas

suffisam-ment de ressources pour acheter Obj

1

à 4 euros. Nous avons aussi µ([ve

41

,(2,{{Obj

2

, Obj

2

}})) ↑

puisque si nous avons uniquement deux objetsObj

2

alors il ne nous est pas possible de vendre

un exemplaire de l’objetObj

1

. De plus, nous avonsµ([ac

43

],(6,{{Obj

2

}})) = (2,{{Obj

2

, Obj

3

}})et

µ([ve

43

],(6,{{Obj

2

, Obj

3

, Obj

3

}})) = (10,{{Obj

2

, Obj

3

}}), qui capturent respectivement l’achat et

la vente d’un objet ayant pour conséquence le gain ou la perte de monnaie et le gain ou la perte

de l’objet en question. Nous pouvons remarquer que l’action atomique w ne consomme et ne

produit pas de ressource :µ([w],(7,{{Obj

1

}})) = (7,{{Obj

1

}}). Finalement, nous pouvons donner

l’exemple plus complexe suivant (liste d’actions atomiques de plus d’un élément) :

µ([ac

23

, ac

23

, w, ve

52

],(6,{{Obj

2

}})) = µ([ac

23

, w, ve

52

],(4,{{Obj

2

, Obj

3

}}))

= µ([w, ve

52

],(2,{{Obj

2

, Obj

3

, Obj

3

}}))

= µ([ve

52

],(2,{{Obj

2

, Obj

3

, Obj

3

}}))

= (7,{{Obj

3

, Obj

3

}})

Pour finir, en observant que notre structure vérifie les propriétés de||·ii-unité, de||·ii-composition,

de µ-unité et de µ-composition, nous pouvons alors remarquer que notre structure est bien un

µ-MRD au sens de la Définition 4.1.3.

Ainsi, il nous est alors possible d’utiliser les notations que nous avons introduit dans la Section

4.1. Comme 2002||[ac

11

]ii2002 et comme µ([ac

11

],(1,{{}})) ↓ et µ([ac

11

],(1,{{}})) = (0,{{Obj

1

}}),

alors nous avons (1,{{}}),2002

[ac

1 1]

et aucun objet et en achetant Obj

1

à 1 euro (ac

11

), nous restons alors toujours en 2002, nous

obtenons Obj

1

et nous n’avons plus de monnaie. Nous illustrons aussi l’autre notation : comme

(1,{{}}),2002

[ac

1 1]

−−−→(0,{{Obj

1

}}),2002et(0,{{Obj

1

}}),2002−−→

[w]

(0,{{Obj

1

}}),2006alors nous avons

(1,{{}}),2002 (0,{{Obj

1

}}),2006 ce qui illustre qu’en 2002, avec 1 euro et aucun objet, il est

possible d’effectuer une succession d’actions nous permettant d’être en 2006 avec aucun euro et

avec l’objet Obj

1

.

Avant d’illustrer l’expressivité de la logique, nous montrons que les structures de DMBI

per-mettent d’exprimer que sur la période 2002-2014, avec 1 seul euro et sans objet, il nous est

possible d’obtenir plusieurs objets dont au moins un exemplaire deObj

3

, alors que le prix de cet

objet n’est jamais inférieur à4 euros. Nous avons :

(1,{{}}),2002

[ac 1 1]

−−−→(0,{{Obj

1

}}),2002

(0,{{Obj

1

}}),2002−

[

−

w

→

]

(0,{{Obj

1

}}),2006

(0,{{Obj

1

}}),2006−

[

−

w

→

]

(0,{{Obj

1

}}),2010

(0,{{Obj

1

}}),2010

[ve 5 1]

−−−→(5,{{}}),2010

(5,{{}}),2010

[ac 1 2]

−−−→(4,{{Obj

2

}}),2010

(4,{{Obj

2

}}),2010

[ac 1 2]

−−−→(3,{{Obj

2

, Obj

2

}}),2010

(3,{{Obj

2

, Obj

2

}}),2010−

[

−

w

→

]

(3,{{Obj

2

, Obj

2

}}),2014

(3,{{Obj

2

, Obj

2

}}),2014

[ve 8 2]

−−−→(11,{{Obj

2

}}),2014

(11,{{Obj

2

}}),2014

[ac 9 3]

−−−→(2,{{Obj

2

, Obj

3

}}),2014

En conclusion nous avons, par définition :

(1,{{}}),2002 (2,{{Obj

2

, Obj

3

}}),2014

qui montre qu’il est possible en 2002 avec uniquement1 euro de finalement posséder en 2014,2

euros ainsi que les objetsObj

2

etObj

3

. Nous avons aussi, par la Proposition 4.1.6 :

(1,{{}}),2002

[ac 1 1;w;w;ve5 1;ac1 2;ac1 2;w;ve8 2;ac9 3]

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→(2,{{Obj

2

, Obj

3

}}),2014

qui explicite la succession d’actions atomiques nous permettant d’y parvenir.

Nous illustrons maintenant l’expressivité des connecteurs de la logiqueDMBI. Nous

considé-rons simplement l’ensemble de symboles d’actions Σ

Act

=Act et l’ensemble de variables

propo-sitionnelles Prop = {O

1

, O

2

, O

3

} ∪ {M

i

| i ∈ N}, où O

i

exprime, contrairement aux chapitres

précédents : ”nous possèdons exactement un objet, qui est l’objetObj

i

” et M

i

qui exprime ”nous

possèdons ieuros”. Pour cela, nous définissons l’interprétation suivante :

JO

i

K={((0, O), s)|O(Obj

i

) = 1etO(Obj

j

) = 0 pour toutj ∈ {1,2,3} \ {i}}

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