Un «théorème de Wedderburn à plusieurs objets»

1 m

(21 )ⁱf(f₁,R,f_if_i11,R,f_m11)1(21 )^m11f(f₁,R,f_m) f_m11. Puisque C

*(A) est une résolution projective du A^e-module A^{, on a} Hⁱ(A^,M)»₄^{Hi(C* (}A^{,M) )}₄^ExtiA^e(A^,M).

SiAest séparable, A^eest semi-simple, donc ces groupes de cohomo-logie sont donc nuls pour toutMet toutiD0 (cf.lemme 11.1.2 et proposi-tion 2.1.2).

La formation deC

*(A) est naturelle en A. Plus précisément, tout K-foncteur F:AKB donne lieu à des applications K-linéaires C_n(A^)(A,B)_K^Cn(B^)(FA,FB), et, pour toutB^{e-module N}, à un homo-morphisme de complexes de K-modules dans l’autre sens

C* (B^,N)KC* (A^,F*N).

11.2.1. REMARQUE. (Homologie de Hochschild) SiM etN sont deux A-bimodules, on peut voirMcommeA^e-module à droite, etNcommeA^e -module à gauche, ce qui permet de former leK-moduleM7A^eN (cf.[38, pp. 29, 71]). Cette construction étant fonctorielle enN, on peut bâtir un complexe M7A^eC

*(A^{), et on a}

H_i(A^,M)»₄^Hi(M7A^eC* (A^{) )}₄^ToriA^e(M,A^).

En particulier, pour i40 , on retrouve la notion du § 10.2.

12. Un «théorème de Wedderburn à plusieurs objets».

Dans ce paragraphe, on se donne un corpsK. On renvoie à la défini-tion 2.4.1 pour la nodéfini-tion de K-catégorie de Wedderburn.

12.1. Existence et «unicité» de sections.

Le théorème de structure fondamental pour les K-algèbres de Wedderburn (théorème de Wedderburn) dit que toute extension d’une K-algèbre séparable de dimension finie par un idéal nilpotent se scinde. En suivant la preuve cohomologique classique de Hochschild

et Whitehead, nous généralisons ce résultat aux algèbres «à plusieurs objets».

12.1.1. THÉORÈME. SoitAune petite K-catégorie de Wedderburn, de radical R^{. Posons} A₄A^/R^{. Alors:}

a) Le K-foncteur de projection p_A:A_KA admet une section s.

b) Si s8est une autre section, il existe une famille (u_A)_AA,u_A1_A 1R^(A,A), telle que pour tous A,BA ^{et tout f}A^{(A,B), on ait} s8(f)4u_Bs(f)(u_A)²¹.

DÉMONSTRATION. 1 ) Supposons d’abordR²₄^{0. Alors}Rhérite d’une structure de A^e-module par passage au quotient de l’action de A^.

Pour tout A,BA, choisissons une section K-linéaire sA,B:A^(A,B)_KA^(A,B)

de la projection naturelle. Si C est un troisième objet de A et si (f,g) A^(A,B)3A^{(B,C), notons}

g(g,f)4s_A,C(gf)2s_B,C(g)s_A,B(f).

C’est un élément de R^{(A,C), et, si} D est un quatrième objet et h A^(C,D), on a la relation

g(h,gf)1hg(g,f)4g(hg,f)1g(h,g) f.

Ain si g définit un 2-cocycle de Hochschildde A à valeurs dans R^. D’après le § 11, ce 2-cocycle est un 2-cobord; autrement dit, il existe une fonction r telle que, pour tous f,g composables, on ait

g(g,f)4r(gf)2gr(f)2r(g) f.

La nouvelle sections(f)4s(f)2r(f) vérifie alorss(gf)4s(g) s(f) pour tout couple (f,g) composable.

2 ) Posons d(f)4s8(f)2s(f)R^(A,B). On a, pour tout couple (f,g) composable,

d(gf)4d(g) f1d(f)g

doncdest un 1-cocycle de Hochschild. C’est donc un cobordfOnBf2fnA

pour un choix convenable d’éléments nAR^(A,A). En posant uA41A

1n_A, on a bien s8(f)4u_Bs(f)(u_A)²¹.

3 ) Supposons maintenant R nilpotent d’échelon r11. On raisonne par récurrence surr, le casr41 étant traité ci-dessus. SoitA^(r)₄A^/R^r:

le radicalR^(r)₄R^/R^rdeA^(r)est nilpotent d’échelonr, donc il existe une section s:A_KA^(r) comme dans l’énoncé, et toute autre section s’en dé-duit par «conjugaison» par une famille de uA1A1R^(r)(A,A).

Soits(A) l’image d’une telle sectionsdans A^(r). Pour tout morphisme f dans A^{, notons f(r)} son image dans A^{(r). Posons}

A^A(A,B)_{4 ]}fA^(A,B)_Nf^(r)s(A^)(A,B)₍ RA(A,B)4R^(A,B)OA^A(A,B).

Alors A^A est une sous-catégorie (non pleine) de A^,R^A est son radical, RA2

40 , etA^A/R^A₄A. Il existe donc une sectionsA:s(A⁾_KA^A; la composée s4iisA_is:A_K^s(A⁾_KA^A_KA^{, où}iest l’inclusion canonique, est la sec-tion cherchée.

Sis8est une autre section, notonss8la compositionAK^s8 AKA^{(r), et} soit (u_A) une famille d’éléments de 1_A1A^(r)(A,A) tels que s8(f) 4u_Bs(f)(u_A)²¹pour tout fA^(r)(A,B). Choisissons des relevésu_A des u_A dans A^(A,A). Quitte à changer s8 en la section conjuguée par les (u_A)²¹, on se ramène au cas où s8 4s. On conclut par l’étape 2 ).

4 ) Établissons maintenant l’assertiona) du théorème dans le cas gé-néral. Si l’on supposait A strictement de Wedderburn, il suffirait de la voir comme limite projective desA^(r) du numéro précédent, cette limite étant alors localement stationnaire sur lesHoms, et d’appliquer directe-ment ce numéro. Mais nous supposons Aseulement de Wedderburn, ce qui complique la démonstration.

Considérons l’ensemble des couples (B^,s) formés d’une sous-catégo-rie pleineB ^de A et d’une section fonctorielles de la projectionBKB (B peut être vue comme sous-catégorie pleine de A). Cet ensemble est non vide: d’après les pas précédents, il contient par exemple des couples (B^{,s) dès que Ob(}B) est fini.

On ordonne cet ensemble en décrétant que (B₈,s8)T(B,s) siB₈^%B et sis8est la restriction desàB8. Il est clair que cet ensemble ordonné est inductif, donc admet un élément maximal (B^,s) d’après Zorn. Dé-montrons par l’absurde queB₄A. Sinon, soitXun objet de A^{qui n’est} pas dans B. On peut remplacer A par sa sous-catégorie pleine dont les objets sontXet ceux deB, et il s’agit de construire une extension desà A. Pour cela, on peut derechef remplacerApar toute sous-catégorie non pleine A₈ ayant mêmes objets, et telle que A₈^/(A₈OR⁾₄A^.

Il y a un choix minimal d’une telleA₈: celle dont les morphismes sont des sommes finies de compositions de flèches des(B) et de flèches de A

de source ou de butX. Le radical de cetteK-catégorieA₈n’est autre que A₈OR: en effet, tous les (A₈OR^)(A,A) sont des nil-idéaux, ce qui en-traîne que (A₈OR)%rad (A₈); réciproquement,A₈/(A8OR)4Aest se-mi-simple, donc rad (A8)%A8OR^.

Le point est que A₈OR est (globalement) nilpotent, ce qui permet, par le pas 3), d’étendrescomme souhaité. En fait, nous allons voir que si n est l’échelon de nilpotence de l’idéal R^{(X,X) de} A^{(X,X), alors} rad (A₈^{)( 2n11 )}₄0. En effet, comme le radical des(B) est nul, on observe que pour tout couple d’objets (A,B) de A, tout élément de rad (A₈^)(A,B) s’écrit comme combinaison linéaire finie

!

^fXBⁱ ig_AXⁱ , avec f_XBⁱ A^(X,B),gAXⁱ A^(A,X). Tout élément de rad (A₈^{)( 2n11 )(A,B)} s’é-crit comme somme finie de termes de la forme

i1,i3,R

!

,i2n11

f_XBⁱ²ⁿ¹¹g_Aⁱ²ⁿ_2n¹_X¹

g ^!

i2n

f_XAⁱ²ⁿ_2ng_Aⁱ²ⁿ_2n21X

h

^{fXAi2n2n2211R}

g ^!

i2

f_XAⁱ²₂g_Aⁱ²_1X

h

^{fXAi11gAXi1 .}

Or chaque fragment g_A^i2k_2k¹_X¹(

!

i_2k

f_XA^i2k_2kg_A^i2k_2k21X) f_XA^i2k_2k21²¹ est dans A^(A2k,X)irad (A₈^)(A2k21,A_2k)iA^(X,A2k21)%R^(X,X).

Comme ces fragments apparaissent n fois consécutives, on trouve bien que rad (A₈^)(2n11)(A,B)₄0. Ceci achève la preuve de l’assertiona).

5 ) Un argument analogue s’applique pour l’assertionb). Soientsets8 deux sections fixées. Par Zorn, il existe une sous-catégorie pleine maxi-maleB^deAtelle que les restrictions desets8àBsoient conjuguées au sens de l’assertion b). Raisonnant par l’absurde comme ci-dessus, on peut encore supposer que Ob(A⁾₄^Ob(B⁾N]X(. Quitte à conjuguer s au-dessus deB, on peut supposer que les restrictions desets8àB coïn-cident. On observe alors ques ets8prennent alors leurs valeurs dans la sous-catégorie A₈ non pleine de A définie comme ci-dessus. Comme on l’a vu, son radical est globalement nilpotent, ce qui permet d’appliquer le pas 3) et de conclure que s et s8 sont conjuguées via une famille d’élé-ments u_A1_A1R^(A,A). _r

Le lemme suivant, souvent utile, résulte immédiatement de la propo-sition 2.3.4 b) et du fait que A est semi-simple:

12.1.2. LEMME. Supposons A pseudo-abélienne. Soit s une section dep_A. Les foncteurs p_Aet s induisent des bijections inverses l’une de

l’autre entre les objets indécomposables de A et les objets irréductibles de A^. _r

12.1.3. REMARQUE. Supposons K algébriquement clos. SoitA un ob-jet indécomposable. Alors par Schur,A^(A,A)₄^K, donc il y a un unique relevé dans laK-algèbre localeA^{(A,A). SiB}est un indécomposable non isomorphe àA, alorsp_A(A) et p_A(B) sont des irréductibles non isomor-phes dansA^{, donc}A^(A,B)₄0. Il en découle quesexiste et est unique si les objets de A sont tous indécomposables et deux à deux non isomorphes.

Voici comment tirer de là une preuve élémentaire (non cohomologi-que) de l’existence d’une section fonctorielle dep_Bpour une petite caté-gorie semi-primaire B sur un corps algébriquement closK, dont les K-algèbres d’endomorphismes sont de dimension finie. Supposons d’abord AK-linéaire et pseudo-abélienne. Il suit de cette hypothèse que tout ob-jet deBest somme directe finie d’indécomposables. Il résulte du § 14.1.1 ci-dessous que l’énoncé du théorème 12.1.1 est invariant par équivalence K-linéaire de catégories et par passage aux complétions K-linéaires et pseudo-abéliennes. Il suffit alors d’appliquer le raisonnement précédent à une sous-catégorie pleine A ^de B dont les objets forment un système de représentants des classes d’isomorphie d’objets indécomposables deA^. 12.2. Variantes relatives.

12.2.1. PROPOSITION. Soit T:BKA un K-foncteur radiciel entre deux petites K-catégories de Wedderburn. Notons A₄A^{/ rad (}A^), B 4B^{/ rad (}B^{)et T:}B_KAle foncteur induit. Soit s_A:A_KA^{(resp. s}B:B KB) une section de la projection canonique. Alors il existe un système (u_X) d’éléments de 1_T(X)1rad (A^{)(T(X),T(X) ) tel que s}AT(h) 4uX8Ts_B(h)(uX)²¹ pour tout hB(X,X8).

DÉMONSTRATION. 1) Posons R₄^{rad (}A). Commençons par le cas où R²₄^{0. On aTs}B(h)2s_AT(h)rad (A) pour tout hB. Ceci définit une dérivation de B à valeurs dans le B^e-module rad (A) (1-cocycle de Ho-chschild). Cette dérivation est intérieure (1-cobord de Hochschild): il existe une famille nX4uX21T(X)R^(T(X),T(X) ) vérifiant, pour tout hB^(X,X₈^),

Ts_B(h)2s_AT(h)4nX8Ts_B(h)2Ts_B(h)nX, d’où l’assertion.

2) Supposons maintenant seulement que R₄^{rad (}A) soit nilpotent d’échelonr11 , et raisonnons par récurrence surr(le casr41 étant ac-quis). Considérons la composition B_K^T A_KA^(r)₄A/R. En appliquant l’hypothèse de récurrence au foncteur composé, on trouve un système (u_X) d’éléments de 1_T(X)1R^(T(X),T(X) ) tel que

s_AT(h)fu_X8Ts_B(h)(u_X)²¹ ( modR^{r) .}

Quitte à remplacer s_A par la section conjuguée par les (u_A)²¹, on se ramène au cas oùs_AT(h)fTs_B(h) moduloR^r. On peut alors remplacer B ^par B ^et A par la catégorie A^A introduite au pas 3 ) de la preuve du théorème 12.1.1. Comme le radical de cette dernière est de carré nul, on conclut par le pas précédent.

3) Dans le cas général, on applique un raisonnement à la Zorn comme au dernier pas de la preuve du théorème 12.1.1: brièvement, il existe une sous-catégorie pleine maximale C de B telle que la proposition vaille pourC. On peut alors supposer queBcontient un seul objet hors deC^{, et} de même que A contient un seul objet hors de T(Ob(C) ). On constate comme ci-dessus que le radical de cette nouvelle catégorie A ^{est alors} (globalement) nilpotent. r

Dans le paragraphe suivant, nous appliquerons la proposition 12.2.1 dans le cas oùAest munie d’une structure monoïdale_l et oùTest le fon-cteur canonique AP^KAKA^{: X}4(A,B)OAlB, supposé radiciel (ce qui revient à supposer que le radical est un idéal monoïdal). Pour h 4f7g, s4s_A, on a alors

s_AT(h)4s(f_lg),Ts_B(h)4s(f)_ls(g).

Le complément de Malcev au théorème de Wedderburn dit qu’on peut choisir un scindage de Wedderburn dont l’image contient une sous-algèbre semi-simple donnée d’une K-algèbre de Wedderburn. En voici une variante à plusieurs objets.

12.2.2. COROLLAIRE. Sous les hypothèses du théorème12.1.1, suppo-sons donnée en outre une sous-catégorieB ^{séparable de}A (non néces-sairement pleine), avec Ob(B⁾₄^Ob(A). Alors il existe une section s de p_A vérifiant (sip_A)NB₄^idB.

DÉMONSTRATION. Partant d’une section de p_A (dont l’existence est assurée par le théorème 12.1.1), on la modifie en appliquant la proposi-tion précédente pour obtenir une secproposi-tion fixant B. r

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