Représentabilité

Dans ce paragraphe, nous nous proposons d’interpréter les résultats des paragraphes 12 et 13 en termes plus catégoriques. Brièvement, on peut associer à une petite K-catégorie de Wedderburn (monoïdale) le groupoïde des sections (monoïdales) dep_A. Cette construction est 2-fon-ctorielle enApour les foncteurs pleinement fidèles et les isomorphismes naturels. Sous une hypothèse de finitude supplémentaire, elle peut mê-me s’enrichir en un 2-foncteur à valeurs dans les K-groupoïdes affines scindés unipotents (théorèmes 14.3.1 et 14.3.3).

Ces constructions ne dépendent pas des théorèmes 12.1.1 et 13.2.1.

Dans le cas représentable, elles permettent de les réinterpréter en des résultats très forts de rationalité pour les K-groupoïdes en jeu.

Nous nous plaçons d’abord le cadre discret, puis dans le cadre algébrique.

14.1. Le paysage discret.

14.1.1. L e c a s n o n m o n o ï d a l . SoitA^{une petite}K-catégorie de Wed-derburn. Considérons la catégorie G⁽A) dont les objets sont les sections

d e p_A, un mo r p h i s m e d e s v e r s s8 é t a n t u n e f a m i l l e (u_A)_AA c o m m e d a n s l e t h é o r è m e 1 2 . 1 . 1 b ) e t l e c o m p o s é d e d e u x m o r p h i s m e s (uA) , (vA) ét a n t (vAuA) . ( C o m m e n o u s l ’ a f a i t r e m a r q u e r A . B r u g u i è r e s , l e s m o r p h i s m e s d e G(A) s’ i n t e r p r è t e n t a u s s i c o m m e l e s t r a n s f o r m a -t i o n s n a -t u r e l l e s e n -t r e s e c -t i o n s d e p_A s e p r o j e t a n t s u r l ’ i d e n t i t é d a n s A. ) A l o r s G⁽A) es t u n p e t i t g r o u p o ï d e : l e g r o u p o ï d e d e s s e c t i o n s d e p_A. Le co n t e n u d u t h é o r è m e 1 2 . 1 . 1 a ) (r e s p . b ) ) e s t q u e c e g r o u p o ï d e e s t n o n v i d e (r e s p . c o n n e x e) .

L’interprétation de la proposition 12.2.1 dans ce langage est le peu satisfaisant principe de fonctorialité suivant: si s_AG⁽A^{) et s}BG⁽B^), définissons letransporteur de s_Avers s_Bcomme l’ensembleT(s_A,s_B) des (u_X) vérifiant les conditions de ladite proposition: ce sont aussi les tran-sformations naturelles des_ATversTs_Bse projetant sur l’identité. Alors, pour tout couple (s_A,s_B), l’ensemble T(s_A,s_B) est non vide.

Toutefois, si AKB ^estpleinement fidèle, alors on a un foncteur ca-nonique G⁽B⁾_KG⁽A) dans l’autre sens. Cette correspondance s’étend en un 2-foncteur: notons

Wed]K(

la sous-2-catégorie non pleine de ]K( (voir § 1.2) dont – les objets sont les petites K-catégories de Wedderburn – les 1-morphismes sont les K-foncteurs pleinement fidèles – les 2-morphismes sont les isomorphismes naturels.

D’autre part, notonsGrla 2-catégorie des petits groupoïdes (tous les foncteurs et toutes les transformations naturelles sont autorisés). Alors on vérifie au prix d’un petit calcul:

14.1.1. SORITE. La construction AOG⁽A^{) définit un 2-foncteur} 1-contravariant et 2-covariant

G^:Wed_]^K_{( K}^Gr.

Le théorème12.1.1 énonce que son image est contenue dans la 2-sous-catégorie pleine des groupoïdes non vides connexes. r

En particulier, toute K-équivalence de catégories A_K^AB définit une équivalence de catégoriesG⁽B⁾_K^AG⁽A), qui n’est pas en général un iso-morphisme de catégories. Toutefois:

14.1.2. SORITE. Pour toute K-catégorie de Wedderburn A^{, les} foncteurs

G⁽A⁵⁾

6 7

G⁽A^5ll––) G⁽A⁾

7 6

G⁽A^ll––) sont des isomorphismes de groupoïdes. r

(On peut s’en convaincre en remarquant que ces foncteurs définis-sent des inverses partiels des foncteurs du sorite 1.2.1.)

14.1.2. L e c a s m o n o ï d a l . Supposons maintenant queAsoit monoïda-le, et que son radical soit un idéal monoïdal. De même que dans 14.1.1, on peut introduire le groupoïdeG⁷⁽A^{) des} sections monoïdales depA (les morphismes étant les morphismes de foncteurs monoïdaux se projetant sur l’identité dansA). C’est un sous-groupoïde deG(A), lui aussi connexe non vide (²⁰). La proposition 13.7.1 admet la même interprétation que la proposition 12.2.1 du paragraphe 12. SiA_KBest pleinement fidèle, on a un foncteur canonique G⁷⁽B⁾_KG⁷⁽A) dans l’autre sens.

Notons

Wed⁷]K( la 2-catégorie dont

– les objets sont les petites K-catégories de Wedderburn monoïda-les, à radical monoïdal

– les 1-morphismes sont les K-foncteurs monoïdaux pleinement fidèles

– les 2-morphismes sont les isomorphismes naturels monoïdaux.

On a un 2-foncteur évident

V:Wed⁷]K( KWed]K( (14.1)

(oubli des structures monoïdales). Comme au § 14.1.1, on obtient en fait:

(²⁰) Tout foncteur d’un groupoïde connexe non vide vers un autre est essen-tiellement surjectifR

14.1.3. SORITE. La construction AOG⁷⁽A^{) définit un2-foncteur} 1-contravariant et 2-covariant

G^{7: Wed7}]K( KGr.

Le théorème13.2.1 énonce que son image est contenue dans la 2-sous-catégorie pleine des groupoïdes non vides connexes.

Il existe une 2-transformation naturelle canonique G^7¨ GiV

où G est comme dans le sorite 14.1.1 et V est comme en (14.1). r 14.1.4. SORITE. Pour toute K-catégorie de Wedderburn A^{, les} foncteurs

G⁷⁽A⁵⁾

6 7

G⁷⁽A^5ll––) G⁷⁽A⁾

7 6

G⁷⁽A^ll––) sont des isomorphismes de groupoïdes. r

14.1.3. O b j e t s c o m p a c t s , d u a u x e t l i m i t e s i n d u c t i v e s . Suppo-sonsAstable par limites inductives quelconques, et soitA^compsa sous-ca-tégorie pleine formée des objets compacts. Alors on a un foncteur de re-strictionG⁽A⁾_KG⁽A^comp). Si tout objet deA est isomorphe à une limite inductive d’objets compacts, on a un foncteur en sens inverse: ces deux foncteurs sont des équivalences de catégories, quasi-inverses l’une de l’autre.

Même sorite dans le cas monoïdal symétrique, en supposant 1 com-pact et en remplaçant «comcom-pact» par «ayant un dual».

14.1.4. E x t e n s i o n d e s s c a l a i r e s . SiL/Kest une extension, on a des foncteurs «extension des scalaires» (naïve et à la Saavedra) G⁽A⁾ KG(AL) etG(A)KG(A(L)), et de même dans le cas monoïdal. SiL/Kest (finie) séparable, ces foncteurs sont isomorphes en vertu du théorème 5.3.2. Dans le cas général et en supposantAstable par limites inductives quelconques, on a un foncteur de restriction G⁽A(L))KG⁽AL) commu-tant naturellement aux deux foncteurs ci-dessus. Même sorite dans le cas monoïdal.

14.2. Objets en catégories, en groupoïdes et en actions de groupe.

14.2.1. O b j e t s e n c a t é g o r i e s e t e n g r o u p o ï d e s . Soit X ^une caté-gorie avec limites projectives finies. Rappelons qu’unobjet en catégories dans X est la donnée G de deux objets E,SX, d’un morphisme

(b,s) :EKS3S

«but» et «source» et d’un morphisme «loi de composition»

i :E3^bSsEKE

telles que, pour tout objetXX, le couple (X^(X,E),X^(X,S) ) et les mor-phismes correspondants définissent une petite catégorie G(X) (objets:

S(X); morphismes:E(X)). Par le lemme de Yoneda, cela revient à exiger queb,s, i vérifient les identités habituelles. Un objet en catégoriesG est un objet en groupoïdes si, pour tout XX^, G(X) est un groupoïde (même remarque).

Si G4(E,S,b,s,i) et G8 4(E8,S8,b8,s8, i8) sont deux objets en catégories deX^{, unmorphismede}GversG8est un coupleT4(f,g), avec fX(E,E8), gX(S,S8), tels que les diagrammes

E K

(b,s)

S3S E3^bSsE Kⁱ E

f

I

^g3g

I

^f3f

I

^f

I

E8 K

(b8,s8)

S3S E8 3b8S8^s8E8 Kⁱ⁸ E8

soient commutatifs (ou, de manière équivalente, queT(X) :G(X)KG8(X) soit un foncteur pour tout XX^).

SiT4(f,g) etT8 4(f8,g8) sont deux tels morphismes, une homoto-pie de T vers T8 est un morphisme uX^(S,E₈) tel que les diagram-mes

S K^u E8 E K

(f,ub)

E8 3^b8S8^s8E8

(g8,g)7 ^(b8,s8)

I

^(us,f8)

I

ⁱ⁸

I

S83S8 E8 3b8S8^s8E8 Kⁱ⁸ E8

soient commutatifs (ou, ce qui revient au même, que u(X) soit une trans-formation naturelle quel que soit XX^).

Les objets en catégories, morphismes et homotopies définissent une 2-catégorieCat(X). Sa sous-catégorie 1-pleine et 2-pleine formée desob-jets en groupoïdes est notée Gr(X^).

14.2.2. O b j e t s e n a c t i o n s d e g r o u p e . Un objet en groupesdans X

Il y a une notion évidente de composition de tels morphismes.

Enfin, étant donné deux tels morphismes T4(f,g), T8 4(f8,g8),

Les objets en actions de groupe, morphismes et homotopies forment une autre 2-catégorie notée Acg(X).

14.2.3. A c t i o n s d e g r o u p e e t g r o u p o ï d e s . Pour obtenir un grou-poïde G, il suffit de se donner un objet en actions de groupe D 4(G,S,mG,mS). On définitE4G3S,b4mS,s4seconde projection.

On vérifie (par exemple à l’aide du lemme de Yoneda) que le morphi-sme

G3G3S ^{(p23, 1G3mS}K⁾ E3^bSsE,

oùp₂₃est la projection oubliant le premier facteur, est un isomorphisme.

On définit alors i comme le morphisme

E3^bS^sE(J^A)²¹G3G3S^mG31K^S G3S4E. Un tel groupoïde est dit scindé.

La règle ci-dessus s’étend en un 2-foncteur Acg(X⁾KGr(X^).

14.2.1. EXEMPLE. X₄^Sch/K est la catégorie des K-schémas (dans notre univers). Un K-groupoïde est un objet en groupoïdes G4(S,E) dansX. Il est dittransitif sur Ss’il existeT8fidèlement plat quasi-com-pact sur S3KS tel que Hom_S3KS(T8,E)c¯ (le champ associé à TO(S(T),E(T),b,s, i) est alors une gerbe,cf.[14, 3.3]). Il est dit uni-potent (resp. réductifR) si la restriction de E à la diagonale de S3^KS est un S-groupe affine pro-unipotent (resp. pro-réductifR).

UnK-espace homogèneest un objet en actions de groupe (G,S) dans X ^{telle que G} opère transitivement sur S. On note

Hmg(Sch/K)%Acg(Sch/K) la sous-catégorie 2-pleine et 1-pleine des K-espaces homogènes.

Étant donné un objet en actions de groupe (G,S) dansX, pour que le morphisme (b,g) duK-groupoïdeG associé par 14.2.3 soit fpqc, il suffit que (G,S) soit un espace homogène. Cela implique que G est transitif sur S (prendre T8 4E ci-dessus). Si G est pro-unipotent (resp. pro-réductifR),G est unipotent (resp. réductifR): en effet, la restriction de E à la diagonale est un sous-S-groupe fermé du S-groupe constant G3^KS.

14.3. Représentabilité algébrique.

Soient A ^une K-catégorie de Wedderburn et L une extension de K.

Par le corollaire 4.1.4, AL est encore de Wedderburn, de radical RL

4R7L, ce qui suggère la présence d’un K-groupoïde (au sens des schémas) dont le groupoïde G⁽A) du § 14.1.1 serait le groupoïde des K-points. De même, siAest monoïdale à radical monoïdal, on peut espérer que le groupoïde G⁷⁽A) du § 1 est représentable.

Nous allons montrer que c’est bien le cas, sous une hypothèse de fini-tude convenable. En fait, nous allons obtenir encore mieux.

14.3.1. L e c a s n o n m o n o ï d a l .

14.3.1. THÉORÈME. Soit Wedf]K( la sous-2-catégorie 1-pleine et 2-pleine de Wed]K(formée des catégories A^{telles quedim}KA^(A,B)_{E Q} pour tout (A,B)A₃A^.

a) Soit AWedf]K(. Alors il existe un K-groupoïde affine scindé unipotentG(A⁾4(E,S),transitif sur S,tel que pour toute extension L de K,on ait S(L)4Ob(G⁽AL) )et E(s₁,s₂)(L)4G⁽AL)(s₁,s₂) pour tout couple de sections (s₁,s₂) de p_AL.

b) Cette construction provient d’un 2-foncteur 1-contravariant et 2-covariant

D:Wedf]K( KHmg(Sch/K)

à valeurs dans les K-espaces homogènes unipotents, via le 2-foncteur Hmg(Sch/K)KGr(Sch/K) de 14.2.3.

c) Les 2-foncteurs D et G commutent à l’extension des scalaires.

DÉMONSTRATION. Compte tenu de l’hypothèse de finitude, pour tout objet A le foncteur des K-algèbres commutatives vers les groupes

RO( 1_A1R^(A,A)7KR, i)

est représentable par unK-schéma en groupes affine unipotent U^A. Soit U_A4

»

A

U^Aleur produit; c’est un K-groupe pro-unipotent,i.e. une limite projective filtrante lim

J U_adeK-groupes unipotents; en tant que schéma, c’est juste un produit d’espaces affines.

Pour tout couple (A,B) d’objets deA^{, soit Sec(A,}B) l’ensemble des sectionsK-linéaires de la projectionA^(A,B)KA^(A,B): il est représen-table par un K-espace affine Sec(A,B). Posons Sec_A4

»

A,B

Sec(A,B):

c’est aussi un produit d’espaces affines.

Considérons le sous-schéma fermé de Sec

S_A4 ](sA,B)N(A,B,CA, ((f,g)A(A,B)3A(B,C),

s_A,C(gif)4s_B,C(g)is_A,B(f)(. On a une action évidente de U_A sur S_A

m:U_A3^KS_AKS_A (u,s)Ousu²¹

qui esttransitive grâce au théorème 12.1.1 b). NotonsD(A^{) ceK-espace} homogène unipotent: le groupoïdeG(A) cherché est l’image deD(A^{) par} le foncteur de 14.2.3.

Il reste à voir queDdéfinit un 2-foncteur. SoitT:BKAun foncteur pleinement fidèle: il induit un épimorphismeU_AˆU_Bde K-schémas affi-nes grâce au diagramme

A

»

A

U^A

» I

BB

U^BK^A

»

BB

U^T(B)

et de même un épimorphismeSec_AˆSec_B, ce dernier envoyant S_Adans S_B. Ces morphismes définissent clairement un morphisme de K-espaces homogènes D(T) :D(A⁾_K^D(B^).

SoitT8un autre tel foncteur, etu:T¨T8un isomorphisme naturel, d’où un autre u:T¨T8, où T,T8: BKA sont les foncteurs induits.

Pour toutBBet toute sectionsdep_A, l’éléments(u_B)²¹u_Bappartient à 11R^(T(B),T(B) ): on en déduit un élément T²¹(s(u_B)²¹u_B)1 1R^(B,B). Cette règle définit un morphisme

D(u) :S_AKU_B

dont on vérifie facilement qu’il satisfait les conditions d’une homotopie D(T)¨D(T8). r

14.3.2. EXEMPLE. Le théorème 14.3.1 montre que, pour deux K-caté-gories de Wedderburn A ^et B K-équivalentes, les groupoïdes G(A⁾ etG(B) ont en général même type d’homotopie (au sens ci-dessus), mais ne sont pas nécessairement isomorphes. La même remarque vaut pour les invariants plus fins D(A^{) et D(}B). La remarque va nous permettre de décrire un représentant explicite du type d’homotopie deD(A^{) etG(}A⁾ lorsque K est algébriquement clos (ou plus généralement parfait, si tout Hindécomposable de A le reste dans A^ll–– après toute extension finie L/K).

Il suffit de supposer que tout objet de A est indécomposable et que deux objets différents sont non isomorphes. On a alors S4SpecK et G est le produit des 11R^{(A,A), où}A décrit l’ensemble des objets de A^. En particulier, le schéma des objets de G(A) est ici réduit à un point.

14.3.2. L e c a s m o n o ï d a l .

14.3.3. THÉORÈME. Soit Wedf⁷]K( la sous-2-catégorie 1-pleine et2-pleine de Wed⁷]K(formée des catégoriesA^{telles quedim}KA^(A,B) E Q pour tout (A,B)A₃A^.

a) Soit A^Wedf7_]^K₍. Alors il existe un K-groupoïde affine scindé unipotent G⁷(A⁾₄^(E7,S⁷), transitif sur S⁷, tel que pour toute extension L de K, on ait S⁷(L)4Ob(G⁷⁽AL) ) et E⁷(s1,s2)(L) 4G⁷⁽AL)(s₁,s₂) pour tout couple de sections monoïdales (s₁,s₂) de p_AL.

b) Cette construction provient d’un 2-foncteur 1-contravariant et 2-covariant

D⁷: Wedf⁷]K( KHmg(Sch/K)

à valeurs dans les K-espaces homogènes unipotents, via le 2-foncteur Hmg(Sch/K)KGr(Sch/K) de 14.2.3.

c) On a une 2-transformation naturelle D⁷¨ DiV comme dans le sorite 14.1.3.

d) Les 2-foncteurs D⁷ et G⁷ commutent à l’extension des scalai-res.

DÉMONSTRATION. On reprend les notations de la preuve du theorè-me 14.3.1. Considérons le nouvel espace de paramètres

Sec⁷4S3

»

A,B

( 11R^(AlB,AlB) ).

Les équations que doivent vérifier la contrainte monoïdale sA d’une section monoïdalesdéfinissent un sous-schéma ferméS⁷%Sec⁷. SoitU1

le sous-groupe fermé deU formé des (u_A) tels queu₁41. Le groupeU₁ opère cette fois-ci sur S⁷ par la formule

m⁷: U₁3^KS⁷KS⁷

(u, (s,sA) )O(usu²¹,sA8)

où sA8 est défini par le diagramme (13.1). Le théorème 13.2.1 b) montre que cette action est transitive. D’où D⁷(A^).

On a un morphisme évidentD⁷(A⁾_K^D(A), donné par le plongement de U₁ dans U et par l’oubli des structures monoïdales. Ceci définit

la 2-transformation naturelle de c) au niveau des objets (catégories).

Le reste se vérifie facilement. r

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