Sections monoïdales

13.1. Foncteurs monoïdaux.

Soient (B^{,!) et (}A^, l) deux catégories monoïdales. Rappelons qu’un foncteur monoïdalest la donnée (s, (sA_AB) ) d’un foncteurs:B_KA^et d’i-somorphismes fonctorielssA_AB: s(A)_ls(B)Ks(A!B) vérifiant une com-patibilité aux contraintes d’associativité et d’unité (on écrit souvent par abus s au lieu de (s, (sA_AB) ) pour abréger). Les foncteurs monoïdaux se composent, avec la règle sA8s

AB4s8(sA_AB)isA8s(A)s(B).

Un morphisme de foncteurs monoïdaux est une transformation na-turelle des foncteurs sous-jacents, compatible aux données sA_AB, sA8^AB, et aux unités,cf. [53, I.4.1.1]. En d’autres termes, un tel morphisme est la donnée pour toutABd’un morphismeu_A:s(A)Ks8(A), naturel enA, tel que les diagrammes

s(A)ls(B) K

sA_A,B

s(A!B)

(13.1) ^uAluB

I

^uA!B

I

s8(A)ls8(B) K

sA 8A,B

s8(A!B) soient tous commutatifs, et tel que le morphisme

s(1)41K

u₁

s8(1)41 (13.2)

soit l’identité dans l’anneau commutatif End(1).

Un foncteur monoïdalp:A_KBétant donné, unesectiondepest un foncteur monoïdals:B_KA^{tel que} pis4id_B(égalité de foncteurs mo-noïdaux). Deux sectionss,s8sont ditesisomorphess’il existe un isomor-phisme de foncteurs monoïdaux s¨s8 tel que pis¨pis8 soit le fonc-teur identique.

Dans une K-catégorie monoïdale, le bifoncteur l est K-bilinéaire.

Nous supposerons toujours nos catégories monoïdales non nulles (i.e.

End(1)c0).

13.2. Existence et «unicité» de sections monoïdales.

Après ces préliminaires, nous pouvons énoncer la version monoïdale du théorème de Wedderburn à plusieurs objets. On suppose de nouveau que K est un corps.

13.2.1. THÉORÈME. Soit (A^, l) une petite K-catégorie de Wedder-burn monoïdale. Supposons que les End(1)-bimodules A^{(A,B) soient} commutatifs, i.e. l’action à gauche coïncide avec l’action à droi-te(¹⁹).

Supposons que rad (A⁾soit monoïdal, d’où une structure monoïdale sur A₄A^{/ rad (}A^{). Notons} p_A:A_KA la projection canonique, vue comme foncteur monoïdal. Alors:

a) Il existe une section monoïdale s de pA.

b) Toute autre section monoïdale de p_A est isomorphe à s.

13.3. Sorites.

Nous allons démontrer le théorème 13.2.1 par réduction au cas strict.

Pour cela, quelques sorites sont nécessaires.

13.3.1. SORITE. Soit(s,sA) :(B^,!)_K⁽A^, l)un foncteur monoïdal, et soit u:s¨t un isomorphisme naturel de s sur un autre foncteur t.

Alors il existe une unique structure monoïdale tA sur t faisant de u un morphisme de foncteurs monoïdaux.

DÉMONSTRATION. Définissons tA

A,B4u_A!BsA_A,B(u_Alu_B)²¹

(cf.(13.1)). Il faut voir quetAest compatible avec les contraintes d’associa-tivité et d’unité. Cela résulte de calculs triviaux (d’où le terme «sorite»), ce que nous laissons au lecteur sceptique le soin de vérifier. r

13.3.2. SORITE. Soient(A^, l),A^,pAcomme dans le théorème13.2.1.

Alors le théorème 13.2.1 résulte de l’énoncé plus faible obtenu en rem-plaçant dans a)et b)le mot «section» par «quasi-section», où une qua-(¹⁹) Une catégorie monoïdale vérifiant cette hypothèse est appeléecatégorie de Penrosedans [9]. C’est par exemple le cas siEnd(1)4K, ou en présence d’un tressage.

si-section monoïdale de p_A est par définition un foncteur monoïdal s₀:A_KA ^{tel que} p_Ais₀ soit naturellement isomorphe à Id_A.

DÉMONSTRATION. Supposons donnée une telle quasi-section monoï-dale (s₀,sA₀). Soit u: Id_AK^Ap_As₀ un isomorphisme naturel. Pour tout A A, choisissons un élément u_AA^(A,s0(A) ) se projetant sur u_A, avec u141₁. Définissons un foncteur s:A_KA par les formules:

s(A)4A

s(f)4uB21s0(f)uA

pourfA^{(A,B). Alorss}est une section dep_Anaturellement isomorphe às₀viau4(u_A), et le sorite montre qu’il lui est associé une unique struc-ture monoïdale faisant deuun morphisme de foncteurs monoïdaux. Ceci fournit la partie a) du théorème , et le point concernant la partie b) est trivial. r

13.3.3. SORITE. Soient (A^, l),A^,pA et (B^,!),B^,pB comme dans le théorème13.2.1.Soit(f,fA) : (B^,!)_K⁽A^, l)un K-foncteur monoïdal tel que f soit une équivalence de catégories. Alors f est radiciel, et les parties a) et b) du théorème sont vraies pour Asi et seulement si elles sont vraies pour B^.

DÉMONSTRATION. Le fait quefest radiciel est clair (et ne dépend pas des structures monoïdales). Le reste de l’énoncé résulte du sorite 13.3.2, en remarquant que les conditions dudit sorite sont manifestement inva-riantes par équivalence monoïdale de catégories monoïdales. r 13.4. Catégories monoïdales strictes.

Une petite catégorie monoïdale (B^,!) est dite stricte si l’ensemble des objets muni de la loi ! est un monoïde (i.e. si ! est strictement associative).

Un foncteur monoïdal (s, (sA_AB) ) : (A, l)K(B,!) est dit strict si s(A)ls(B)4s(A!B) et sisA_ABest l’identité pour tout couple (A,B). C’e-st par exemple le cas du foncteur identique.

Dans le cas strict, la situation se simplifie pour les morphismes de foncteurs monoïdaux: si u:s¨s8 est un tel morphisme, alors

il vérifie l’identité

u_AlB4u_A!u_B pour tout couple d’objets (A,B).

13.4.1. REMARQUE. Soit A^A la catégorie des endofoncteurs additifs de A. Munie de la composition, c’est une catégorie monoïdale stricte.

Pour toute catégorie monoïdale, le foncteurAOAl? deA^versA^Aadmet une structure monoïdale définie par les contraintes d’associativité et d’u-nité. Ce foncteur est strict si et seulement si (A^, l) est monoïdale stricte.

Si B est monoïdale stricte, il en est alors de même deB⁵: en effet, rappelons que les objets de B⁵ sont des suites finies A 4(A₁,A₂,R,A_r) d’objets deB^{, notéesA}15A₂5R5A_r(cf.§ 1.2); les composantes deA!A8sont par définition lesA_i!A^j8, numérotées selon l’ordre lexicographique. Il est clair qu’on obtient ainsi une catégorie mo-noïdale stricte. Si B ^est K-linéaire, les foncteurs évidentsB⁵˜

v⁵ v⁵

B (for-mation du mot à une lettre,resp. parenthésage canonique) sont sous-ja-cents à des foncteurs monoïdaux stricts (vis-à-vis de l).

Tout foncteur monoïdal s:BKA, il induit, composante par compo-sante, un foncteur monoïdal s⁵:B⁵_KA⁵, strict si s l’est.

Une petite catégorie K-linéaireC ^{sera dite} strictement K-linéaire si son biproduit5(et l’objet nul) fait deCune catégorie monoïdale stricte.

C’est le cas deB⁵, pour toute petiteK-catégorie B. Dans une catégorie strictementK-linéaire, les sommes directes finiesA15R5Ansont défi-nies sans ambigüité.

13.4.1. La co n s t r u c t i o n d e M a c L a n e [36, XI 3]. À toute petite caté-gorie monoïdale (A^, l), on associe une petite catégorie monoïdale stricte (A^str,!), et deux foncteurs monoïdaux B˜_v^u A^{, avecu}strict, tels que le composéuvsoit le foncteur monoïdal identique deA(les foncteurs sous-jacents à u et v sont donc quasi-inverses).

Rappelons cette construction: on prend pour objets de A^{str les mots} (finis) dont les lettres sont les objets de A. Les morphismes entre mots sont les morphismes entre les objets deA correspondants obtenus par parenthésage canonique (toutes les parenthèses commencent au début du mot). Le produit!, souvent omis de la notation, est donné au niveau des objets par la concaténation des mots;v est donné par la «formation de mots d’une lettre», tandis queuest donné par le «parenthésage

cano-nique» (e.g. u(ABC)4(AlB)lC)). L’unité est le mot vide: u(¯)41.

C’est une K-catégorie si A l’était, et u,v sont alors des K-fon-cteurs.

Noter que lorsqueAestK-linéaire, la constructionA⁵est un cas par-ticulier de cette construction, en prenant l45.

Si s:B_KA est un foncteur, on lui associe canoniquement comme suit un foncteur monoïdal strict s^str:B^str_KA^str: on associe au mot w 4B1RBn de B^{str le mot} s^str(w)4s(B₁)Rs(B_n) de A^{str (sstr(¯)}₄^¯).

On associe à fB^str(w,w8)4B^(u(w),u(w8) ) le morphisme s^str(f) 4s(f)A^{(u(sstr(w) ), u(sstr(w}₈^{) ) )}₄A^{str(sstr(w),sstr(w}₈^{) ).}

Si s est sous-jacent à un foncteur monoïdal strict, on a us^str4su (donc s4u_Ais^striv_B).

Vu la construction de Mac Lane et le sorite 13.3.3, pour démontrer le théorème 13.2.1, on peut supposerAstricte. Le théorème 13.2.1 résulte alors de la proposition plus précise suivante:

13.4.2. PROPOSITION. Soient (A^, l),A^,p_A comme dans le théorème 13.2.1. Si en outre A est monoïdale stricte,

a) Il existe une section monoïdale stricte s de p_A.

b) Toute autre section monoïdale stricte de p_A est isomorphe à s.

c) Toute section monoïdale de p_A est naturellement isomorphe à une section monoïdale stricte de p_A.

13.5. Réductions.

Commençons par une réduction du problème en deux lemmes.

13.5.1. LEMME. La proposition 13.4.2découle de l’énoncé correspon-dant pour la catégorie monoïdale stricte K-linéaire A^5.

DÉMONSTRATION. Soit S une section monoïdale stricte de p_A5. Le foncteur monoïdal strict (pleinement) fidèle AK^v

5

A⁵ induit un diagram-me commutatif

A _K^v

A

A⁵

s

I

^S

I

A _K^v A^5.

Réciproquement, si s est donnée, on peut prendre S4s⁵. r

En identifiant (A^{str)5et (}A^str)5, ce lemme nous ramène à prouver la proposition 13.4.2 dans le cas strictement K-linéaire, strictement monoï-dal.

13.5.2. LEMME. Supposons queAsoit strictement K-linéaire, et mo-noïdale stricte. Soit s une section fonctorielle K-linéaire de p_A (vue comme simple K-foncteur).

Supposons que s(flg)4s(f)ls(g) pour tout couple d’endomorphi-smes (fA^5(A,A),gA^5(B,B) ), et que s( 1₁)41₁. Alors s⁵ définit une unique section monoïdale stricte de p_A5.

DÉMONSTRATION. Il s’agit de vérifier l’identité s⁵(flg) 4s⁵(f)ls⁵(g) pour tout couple (fA^5(w1,w¹8),gA^5(w2,w²8) ), et s⁵(¯)41¯ (ce second point est immédiat).

Nous utilisons transitoirement la notation wdes mots de ml, dans le cas où la structure monoïdale est donnée par5; au lieu deu(w), la som-me directe (dans la catégorie strictesom-mentK-linéaireA) des lettres dew sera notée w⁵ (¯

5

41). Via les identifications canoniques A^5(w,w₈⁾₄A^(w5,w5₈^),

on peut écrire s⁵(f)4s(f),s⁵(g)4s(g),s⁵(flg)4s(flg).

Les identifications ci-dessus sont compatibles à l(w×₁lw

5 2

4w⁵_lw⁵8).

On peut donc écrire s⁵(f)_ls⁵(g)4s(f)_ls(g) (en revanche, on prendra garde ques n’est pas supposée stricte vis-à-vis de5,i.e.on ne suppose pas que le morphisme canonique s×⁵⁵(w)

Ks(w⁵) soit l’égalité).

L’hypothèse du lemme se traduit donc par l’identité s⁵(flg) 4s⁵(f)ls⁵(g) dans

A^5(w1lw₂,w₁lw₂)4A^(w51lw⁵₂,w⁵₁lw⁵₂)

pour tout couple d’endomorphismes (fA^5(w1,w₁),gA^5(w2,w₂) ).

Ors⁵est strict vis-à-vis de5par construction (par contraste avecs).

Cela permet de ramener l’identité ci-dessus pour tout couple de morphi-smes (fA^5(w1,w¹8), gA^5(w2,w²8) ) au cas d’un couple d’endomor-phismes en remplaçant w₁ et w¹8 par w₁5w¹8, et w₂ et w²8 par w₂5w²8. r

Ce lemme nous ramène à traiter d’endomorphismes, plutôt que d’homomorphismes.

NOTATION ABRÉGÉE. Nous écrirons A^{(A) (resp.} R(A)) au lieu de A^{(A,A) (resp.}R^(A,A)) dans ce paragraphe. Pour un objetAA^eta,b A(A), nous noterons comme d’habitude [a,b]4ab2ba le commuta-teur de a et b, et ad(a) l’application bO[a,b].

13.6. Au coeur du problème: démonstration de la proposition 13.4.2.

Compte tenu des lemmes précédents, on suppose désormais que A est une petite catégorie, strictement K-linéaire, monoïdale stricte (no-tons queAa la même propriété). On procède par étapes. Nous commen-cerons par démontrer c), cette démonstration étant la plus simple des trois et servant de prototype à celles de a) et b).

13.6.1. Dé b u t d e l a p r e u v e d e c ) . Soit s une section K-fonctorielle monoïdale de pA. On a donc des isomorphismes

AlB4s(A)ls(B)K

sA_A,B

s(AlB)4AlB.

LessA_A,Bappartiennent à 11R^(AlB) et vérifient la relation de cohé-rence (dans 11R^(AlB_lC))

sA_A

lB,Ci(sA_A,Bl1_C)4sA_A,B

lCi( 1_AlsA_B,C).

(13.3)

Nous allons montrer:

13.6.1. LEMME. Il existe une famille double(u_A^(r))_AA,rF1, avec u_A^(r) 11R(A), ayant les propriétés suivantes:

(i) On a uA(r11)fuA(r) (mod R^(A)r) pour tout AA et tout rF1.

(ii) En posant

s_r(f)4u_B^(r)is(f)i(u_A^(r))²¹ pour A,BA ^{et f}A^{(A,B), on a}

(sA_r)_A,B4u_A^(r)_lBisA_A,Bi(u_A^(r)lu_B^(r))²¹11R^(AlB)^r pour tout couple d’objets (A,B).

Supposons le lemme 13.6.1 démontré. Pour toutA, choisissons un

en-tier r(A) tel que R^(A)r(A)₄^{0. Posons} uA4uA(r(A) )

4uA(r(A)11 )

4R11R(A) et

s8(f)4u_Bis(f)i(u_A)²¹ pour AA ^et fA^{(A). Pour A,}BA, on a donc

sA8^A,B4(sA_r)A,B

dès que rFsup (r(A),r(B),r(A_lB) ). De plus, le membre de droite de cette égalité est égal à 1AlB. Ainsi, la section s8vérifie les conclusions de c).

Nous allons démontrer le lemme 13.6.1 par récurrence sur r, partant du cas trivial r41 où l’on prend u_A^{( 1 )}41_A pour tout A.

13.6.2. Un e r e l a t i o n d e c o c y c l e , I . Supposons rF1 et trouvée une familleu_A^(r) vérifiant la condition (ii) du lemme 13.6.1. Quitte à remplacer spars_r, on peut supposers_r4s,u^(r)41. On a doncsA_A,B11R^(AlB)^r pour tout couple d’objets (A,B). Posons n_A,B41_AlB2sA_A,BR^(AlB)^r. La relation (13.3) se réécrit alors

( 1_AlBlC2n_AlB,C)i( ( 1_AlB2n_A,B)l1_C)4

4( 1_AlBlC2n_A,BlC)i( 1_Al( 1_BlC2n_B,C) ) d’où

(13.4) n_AlB,C1n_A,Bl1_Cfn_A,BlC11_Aln_B,C ( modR^(AlB_lC)^r11).

Nous cherchons une famille (u_A^{(r11 )})_AA vérifiant:

(i) uA(r11 )f1 (mod R^(A)r) pour tout AA^. (ii) uA(r11 )lB

isA_A,Bi(uA(r11 )

luB(r11 ))²¹11R^(AlB)^r11 pour tout couple d’objets (A,B).

Supposons le problème résolu et posonsm_A41_A2u_A^{(r11 )}R^{(A)r. On} a alors l’identité

( 1_AlB2m_AlB)i( 1_AlB2nA,B)i( ( 1_A2m_A)l( 1_B2m_B) )²¹f

f1 (mod R^(AlB)^r11)

soit encore

n_A,Bfm_Al1_B11_Alm_B2m_AlB ( mod R^(AlB)^r11) . (13.5)

Réciproquement, l’existence d’une famille (mA) vérifiant la con-gruence (13.5) est clairement équivalenteà l’existence d’une famille (u_A^{(r11 )}) comme ci-dessus.

13.6.3. Un e r e l a t i o n d e c o c y c l e , I I . La congruence (13.4) fait pen-ser à une relation de 2-cocycle, et la congruence (13.5) à une relation de 2-cobord. Pour donner corps à ces impressions, introduisons encore quelques notations.

Si w4A₁A₂RA_m est un mot formé d’objets de A^{, notons wl l’objet} A1lA2lR_lAm deA^ou A(notation plus commode que celle u(w) utili-sée plus haut); notons les formules

(w×^l1^lw^l

2)4w×1^lw

2

¯^l41.

Pour toutAA^{, posons}R^(A)[r]₄R^(A)r/R^(A)r11. On peut faire opé-rer les mots à gauche et à droite sur le K-espace vectoriel

R^[r]₄

»

_w ^R(wl)[r]

de la manière suivante:

(w₀Qm)(w)4 ./

´

1_w^l₀lm(w8) 0

si w est dela forme w₀w8 sinon

(mQw₁)(w)4 ./

´

m(w8)l1_w^l₁ 0

si w est de la forme w8w₁ sinon .

(L’expression m(w) désigne la w-composante de m).

Il n’est pas difficile de voir que cette opération est bien définie, et qu’étendue parK-linéarité, elle munit R^[r]d’une structure deKaOb(A⁾b -bimodule (oùKaOb(A⁾bdésigne laK-algèbre libre de base les objets deA^).

13.6.4. U n e r e l a t i o n d e c o c y c l e , I I I – fi n d e l a p r e u v e d e c ) . Nous sommes maintenant en mesure d’interpréter (13.4) comme rela-tion de 2-cocycle de Hochschild pour l’algèbre KaOb(A)b.

En effet, reprenons la famille (nA,B) ci-dessus. Avec les notations précédentes, on a une famille induite

n_ABR^(AB)[r].

On définit alors une 2-cochaîne de Hochschildnpour KaOb(A⁾bà va-leurs dans leKaOb(A⁾b-bimoduleR^[r], en associant à tout couple de mots non vides (w0,w1) l’élément nw₀,w₁R^{[r] défini par}

n_w0,w1(w)4. /´

nw^l₀,w^l₁

0

si w0w14w, sinon . Calculons le bord de Hochschild de n:

(d²(n) )_w0,w1,w24w₀Qn_w1,w22n_w0w1,w21n_w0,w1w22n_w0,w1Qw₂. Sa w-composante est nulle, par définition, siw0w1w2cw. Siw0w1w2

4w, elle est égale à

1_w^l₀ln_w^l₁,w^l22n_w^l_0lw^l₁,w^l21n_w^l₀,w^l1lw^l22n_w^l₀,w^l1l1_w^l₂40 d’ après (13.4).

Donc n est un 2-cocycle. Comme KaOb(A⁾b est une K-algèbre libre, c’est un 2-cobord,cf.[11, ch. IX, ex. 2 ou ch. X.5]. En d’autres termes, il existe une famille d’éléments m_wR^[r] telle que l’on ait l’identité

n_w0,w14w₀Qm_w11m_w0Qw₁2m m_w0w1.

SoientA,BA^{. Pour}w04A,w14B, la composante de cette identité dans R^(w0w1)^[r] n’est autre que

nAB41AlmB2mAlB1mAl1B.

En relevant les m_A en des m_AR^(A)r, on obtient la famille (u_A^{(r11 )} 41A2mA) cherchée.

13.6.5. D é b u t d e l a p r e u v e d e a ) . Soit s une sectionK-fonctorielle de p_A. L’existence en est garantie par le théorème 12.1.1.

Comme les End(1)-bimodules A^(A,B) sont commutatifs par hypo-thèse, il est loisible de remplacer chaques(f) par s( 1₁)²¹is(f), et donc de supposer s( 1₁)41₁.

En outre, d’après la proposition appliquée àB₄APKA, il existe une famille (u_A,B1_AlB1R^(AlB) ) vérifiant, pour tout (f,g)A^(A) 3A(B):

s(flg)4uA,B(s(f)ls(g) )uA,21B

. Nous allons montrer:

13.6.2. LEMME. Il existe une famille double (u_A^(r))_AA,rF1, avec u_A^(r) 11R^(A), ayant les propriétés suivantes:

(i) On a uA(r11)fuA(r)

(modR^(A)r pour tout AA et tout rF1.

(ii) En posant

sr(f)4uB(r)

is(f)i(uA(r))²¹ pour A,BA ^{et f}A^{(A,B), on a}

s_r(flg)fs_r(f)ls_r(g) (mod R^(AlB)^r) pour tout couple d’objets (A,B) et tout (f,g)A^(A)3A^(B).

Le lemme 13.6.2 implique a) de la même manière que le lemme 13.6.1 impliquait c). On procède de nouveau par récurrence sur r.

13.6.6. U n e r e l a t i o n d e c o c y c l e , I. SupposonsrF1 et trouvée une familleuA(r) vérifiant la condition (ii) du lemme 13.6.2. Quitte à remplacer s par s_r, on peut supposer s_r4s, u^(r)41. Posons

nA,B4uA,B21_AlB. On a alors

ad(n_A,B)(s(f)ls(g) )R^(AlB)^r pour tout (f,g)A^(A)₃A^(B).

SoithA(C). Nous allons calculer de deux façonss(flglh) modulo R^(AlBlC)^r11, compte-tenu de l’associativité stricte de l.

On a, modulo R^(AlBlC)^r11,

s( (flg)lh)4s(flg)ls(h)1[nAlB,C, (s(f)ls(g) )ls(h) ]4

4(s(f)_ls(g) )_ls(h)1[n_A,B,s(f)_ls(g) ) ]_ls(h)1 1[nAlB,C, (s(f)ls(g) )ls(h) ]4

4(s(f)_ls(g) )_ls(h)1[n_A,Bl1_C1nAlB,C, (s(f)_ls(g) )_ls(h) ]

et de même s_r(fl(glh) )4

4s(f)l(s(g)ls(h) )1[ 1_Aln_B,C1n_A,BlC,s(f)l(s(g)ls(h) ) ].

Puisque A est monoïdale stricte, on en déduit que

(13.6) ad( 1_Aln_B,C2n_AlB,C1n_A,BlC2n_A,Bl1_C)(s(flglh) )R^(AlBlC)^r11 pour tous endomorphismes f,g,h comme ci-dessus.

D’autre part, si (u_A^{(r11 )}411m_A)_AAest une famille d’éléments com-me dans la conclusion du lemcom-me 13.6.2 (doncmAR^{(A)rpour toutA), un} calcul analogue donne l’identité

(13.7) ad(nA,B2mAl1B21AlmB1mAlB)(s(f)ls(g) )R^(AlB)^r11 pour (f,g)A^(A)₃A(B); réciproquement, la donnée d’élémentsm_A vé-rifiant (13.7) implique l’existence d’une famille u^{(r11 )} comme dans l’é-noncé du lemme 13.6.2.

13.6.7. Un e r e l a t i o n d e c o c y c l e , I I . Pour interpréter (13.6) comme une relation de 2-cocycle et (13.7) comme une relation de cobord, on pro-cède comme ci-dessus en introduisant un KaOb(A⁾b-bimodule appro-prié.

Notons que l’action deA ^sur R^[r]4R^r/R^r11 se factorise en une ac-tion deA. En particulier, on peut se dispenser d’écrire la section sdans (13.6) et (13.7).

Pour tout mot w4A₁RA_m en les objets de A^{, notons} A^(w)4A^(A1)lQ Q QlA^(Am)%A^(wl).

On a A^(ww8)4A^(w)A^(w8).

Notons ensuite C(w)^[r] le centralisateur de A^{(w) dans} R^(wl)[r]: C(w)^[r]4 ]xR^(wl)[r]_N^ad(a)(x)₄⁰ (aA^(w)₍^. On note encore

M(w)^[r]4R(w^l)^[r]/C(w)^[r]

et

ad^w:R^(wl)[r]_K^M(w)[r]

la projection canonique.

Remarquons queC(w)^[r] etM(w)^[r] dépendent effectivement dew, et pas seulement dew^l. Les inclusions du typeA^(w1Rw_n)%A^(wl1Rw^l_n) en-traîne des inclusions du type

C(w^l1Rw^ln)^[r]%C(w1Rwn)^[r]

et des projections correspondantes

M(w^l1Rw^ln)^[r]ˆM(w1Rwn)^[r]

(13.8)

factorisant les ad^w.

Les relations (13.6) et (13.7) se réécrivent maintenant ad^ABC(r_A,B,C)40

(13.9) avec

r_A,B,C41_Aln_B,C2n_AlB,C1n_A,BlC2n_A,Bl1_C (13.10)

ainsi que

ad^AB(n_A,B2m_Al1_B21_Alm_B1m_AlB)40 . (13.11)

L’action à gauche et à droite deKaOb(A⁾bsur R^[r] en induit une sur son quotient

M^[r]4

»

w M(w)^[r].

13.6.8. U n e r e l a t i o n d e c o c y c l e , I I I - fi n d e l a p r e u v e d e a ) . De même que pour le lemme 13.6.1, (13.6) et (13.7) s’interprètent main-tenant comme relations de 2-cocycle et de 2-cobord de Hochschild à va-leurs dans leKaOb(A⁾b-bimoduleC^[r]. La seule remarque à faire est qu’é-tant donné trois mots w₀,w₁,w₂, et w4w₀w₁w₂, la nullité de ad^wl0wl1wl2(r_w^l_0,w^l_1,w^l₂), donnée par (13.9), entraîne celle dead^w(r_w^l_0,w^l_1,w^l₂) via la projection (13.8). On conclut comme auparavant.

13.6.9. P r e u v e d e b ) . Soient s,s8 deux sections monoïdales strictes de p_A. Il s’agit de montrer qu’il existe une famille (uA)AA,uA1A

1R^(A,A), telle que pour tous A,BA ^{on ait s}8(f)4u_As(f)(u_A)²¹ pour tout fA^{(A) et}

u_AlB4u_Alu_B. Nous allons montrer:

13.6.3. LEMME. Il existe une famille double(u_A^(r))_AA,rF1, avec u_A^(r) 11R^(A), ayant les propriétés suivantes:

(i) u_A^{(r11 )}fu_A^(r) (modR^(A)r pour tout AA ^{et tout r}_F^1.

(ii) s8(f)4u_A^(r)s(f)(u_A^(r))²¹pour tout AA^{,tout f}A^{(A)et tout} rF1.

(iii) uA^(r)lBfuA^(r)luB^(r)(modR^(AlB)^r)pour tous objets A,B et tout rF1.

Le lemme 13.6.3 implique b) de la même manière que les lemmes 13.6.1 et 13.6.2 impliquaient c) et a). On procède toujours par récurrence surr. Nous aurons besoin des nouvelles notations suivantes, pour un mot w en les objets de A (voir aussi § 13.6.7):

C_s(w)4 ]xA^(wl)_N^xs(f)₄^{s(f)x pour tout f}A^(w)₍ C_s^r(w)4R^(wl)rOC_s(w)

C^[r](w)4 C_s^r(w)1R^(wl)r11 R^(wl)r11

CC_s^r(w) /C_s^r11(w).

Le groupeC^[r](w) ne dépend pas du choix des, puisque deux sections sont conjuguées par des éléments de 11R(théorème 12.1.1 b)) et que 1 1Ropère trivalement surR^[n]par conjugaison. On prendra garde de ne pas le confondre avec le groupe C(w)^[r] du § 13.6.70: l’inclusion

C^[r](w)%C(w)^[r]

est en général stricte.

En utilisant le théorème 12.1.1 b), choisissons une famille (u_A^{( 1 )})_AA, avecu_A^{( 1 )}1_A1R(A), vérifient la propriété (ii) du lemme 13.6.3. La con-dition (iii) est automatique; le lemme est donc vrai pour r41.

Supposons maintenant rF1 et le lemme connu pour r. Posons n_A,B»41_AlB2(u_A^(r)_lu_B^(r))²¹u_A^(r)_lBR^(AlB)^r.

Comme s et s8 sont monoïdales strictes, on a l’identité (u_A^(r)_lu_B^(r))²¹u_A^(r)_lB(s(f)_ls(g) )(u_A^(r)_lB)²¹u_A^(r)_lu_B^(r)4s(f)_ls(g) pour (f,g)A^(A)₃A(B), ce qui équivaut à

nA,BC^r(AB).

Par ailleurs, la définition de n_A,B donne immédiatement la relation 1_Aln_B,C2n_AlB,C1n_A,BlC2n_A,Bl1_C40

où n_A,B désigne l’image de n_A,B dans C^[r](AB).

Soit maintenant (u_A^{(r11 )}) une famille vérifiant les conclusions du lem-me 13.6.3. Posons

u_A^{(r11 )}4u_A^(r)( 11m_A).

On a donc m_AR^(A)r. La condition (ii) du lemme se traduit en ( 11mA)s(f)( 11mA)²¹4s(f)

pour tout fA(A), c’est-à-dire

m_AC^r(A).

La condition (iii), d’autre part, se traduit en nA,B4mAlB21AlmB2mAl1B

où m_A est la projection de m_A dans C^[r](A) (calcul immédiat). Inverse-ment, la donnée demAR(A)^rvérifiant ces deux conditions fournit une famille (u_A^{(r11 )}) vérifiant les conclusions du lemme 13.6.3.

On termine comme précédemment, en utilisant le KaOb(A⁾b-bimodule C^[r]4

»

_w^C[r](w),

et en posant

nw₀,w₁(w)4 ./

´ n_w^l_0,w^l₁ 0

si w₀w₁4w, sinon .

Ceci conclut la preuve de b), donc celle de la proposition 13.4.2, et finale-ment celle du théorème 13.2.1. r

13.6.4. REMARQUES.

a) Supposons Aabélienne et engendrée par un nombre fini d’objets A_i, au sens où tout objet est sous-quotient d’une somme finie de copies de

l-monômes en ces objets. On prendra garde queAn’est pas nécessaire-ment engendrée par lesp(A_i)4A_i. Le point est que l’image dansA^d’un monomorphisme deAn’est pas nécessairement un monomorphisme. En fait, on verra plus loin des exemples oùAn’est engendrée par aucun en-semble fini d’objets.

b) Dans [1], nous appliquons le théorème de scindage monoïdal ci-dessus pour construire, inconditionnellement, des réalisations de motifs numériques, et les groupes de Galois motiviques associés.

c) Dans la quatrième partie de ce travail, nous appliquons le même théorème pour définir des «enveloppes» pro-semi-simples ou pro-réductives.

13.7. Variantes.

Voici un avatar monoïdal de la proposition 12.2.1.

13.7.1. PROPOSITION. Soit (B^, l) une autre catégorie monoïdale vé-rifiant les hypothèses du théorème13.2.1.Soit T:B_KAun K-foncteur monoïdal radiciel. Notons T:B_KA le foncteur induit.

Soit s_A:A_KA ^{(resp. s}B:B_KB⁾ une section monoïdale de la pro-jection canonique.

Alors s_AiT et Tis_B sont isomorphes (via un isomorphisme monoï-dal qui couvre l’isomorphisme monoïmonoï-dal identique modulo les radi-caux).

En particulier, si T et les sections s_Aet s_Bsont strictes, il existe un système (u_X) d’éléments de 1_T(X)1rad (A^{)(T(X),T(X) )} tel que s_AT(h) 4u_X8Ts_B(h)(u_X)²¹ pour tout hB^(X,X8), et u_XlY4u_Xlu_Y.

DÉMONSTRATION. On prouve d’abord la seconde assertion, sous l’hypothèse queA^et Bsont monoïdales strictes. La preuve est entière-ment parallèle à celle du pointb) de la proposition 13.4.2. La proposition 12.2.1 montre l’existence d’un système (u_X) d’éléments de 1_T(X) 1rad (A^)(T(X),T(X) ) tel que s_AT(h)4u_X8Ts_B(h)(u_X)²¹ pour tout h B^(X,X₈). Pour le modifier en un système vérifiant de plus u_XlY 4u_Xlu_Y, on construit une suite d’approximations u_X^r. Le point est de remplacer le KaOb(A⁾b-bimodule C^[r] par le KaOb(B⁾b-bimodule C8^[r]

4

»

_w ^C8(w)^[r], où C8(w)^[r] est défini de la manière suivante:

C_Ts(w)4 ]xA^{(T(wl) )}Nx(Ts_B(h) )4(Ts_B(h) )x pour tout hB^(w)( CTsr (w)4RA(T(w^l) )^rOCTs(w)

C8^[r](w)4

C_Ts^r (w)1RA(T(w^l) )^r11

RA(T(w^l) )^r11 CC_Ts^r (w) /C_Ts^r11(w).

Passons maintenant au cas général. D’après le théorème de conjugaison des sections monoïdales, il est loisible de changer de sectionss_A,s_B.

Plu-tôt que s_A,s_B, c’est de sA84u_Ai(s_A)^striv_A, sB84u_Bi(s_B)^striv_B dont nous nous servirons (avec les notations de la construction de MacLane 13.4.1). On est alors ramené à voir que (s_A)^striT^stretT^stri(s_B)^strsont iso-morphes (via un isomorphisme monoïdal qui couvre l’isomorphisme mo-noïdal identique modulo les radicaux); mais on est alors dans le cas strict déjà traité. r

13.7.2. COROLLAIRE. Dans la situation de la proposition12.2.1, sup-posons A^, B strictement K-linéaires, i.e. telles que 5 soit strictement associative (cf. 13.4). Supposons aussi que T soit strict vis-à-vis de 5. Alors on peut choisir les(uX) (conjuguant s_AT et Ts_B)de telle sorte que u_X5Y4u_X5u_Y. r

Voici une variante monoïdale du complément de Malcev au théorème de Wedderburn.

13.7.3. PROPOSITION. Sous les hypothèses du théorème13.2.1, suppo-sons donnée en outre une sous-catégorie monoïdale B ^{séparable de} A (non nécessairement pleine), telle que tout objet deAsoit facteur direct d’un objet deB. Alors il existe une section monoïdale s dep_Aqui vérifie (sip_A)NB₄^idB.

DÉMONSTRATION. Quitte à remplacerA^etB^parA^ll–– etB^ll–– respective-ment, on peut supposer que Ob(B⁾₄^Ob(A). Dans ce cas, le corollaire montre l’existence d’une section fonctorielle de p_A telle que (s_ip_A)_NB 4id_B. Pour la modifier en une section monoïdale vérifiant la même dition, on reprend la méthode de preuve du théorème 13.2.1 a), en con-struisant une suite d’approximationss_r(cf.le lemme 13.6.2 et sa preuve).

Le point est de remplacer le KaOb(A⁾b-bimodule M^[r] par le sous-bimo-duleM8^[r]4

»

_w ^M8(w)^[r], oùM8(w)^[r]est le sous-K-espace deM(w)^[r]des éléments dont un relevé dansR^{(wl)[r]commute à}B(w). On observe qu’on a bienad^ABn_ABM8(AB)^[r]puisque la restriction des_r àB₄B^est mo-noïdale (c’est l’identité); on obtient ainsi des nA commutant à B^{(A), de} sorte que sr11 est encore l’identité sur B₄B. r

13.8. Complément.

Ce complément servira au § 15.

13.8.1. PROPOSITION. Sous les hypothèses du théorème 13.2.1, soit v une structure monoïdale sur le foncteur identique de Atelle que p_A(v)

41. Alors(Id_A,v)est monoïdalement isomorphe à (Id_A, 1 ) via un iso-morphisme de foncteurs monoïdaux se projetant sur 1 dans A^. DÉMONSTRATION. On peut supposer A strictement monoïdale. Il s’a-git de résoudre l’équation

v_A,B4(u_A²¹lu_B²¹)u_AlB

pourA,BA^{, où}u4(u_A) est un automorphisme (non monoïdal) deId_A se projetant sur 1. On procède comme d’habitude, en supposant de plus AstrictementK-linéaire et en ne traitant que d’endomorphismes. Il suf-fit de montrer:

13.8.2. LEMME. Il existe une famille double (u^(r))rF1 d’automorphi-smes de Id_A, avec u_A^(r)11R^(A), ayant les propriétés suivantes:

(i) u_A^{(r11 )}fu_A^(r) (modR^(A)r) pour tout AA ^{et tout r}_F^1.

(ii) v_A,Bf(u_A^(r)21lu_B^(r)21)u_A^(r)_lB (modR^(AlB)^r) pour tous objets A,B et tout rF1.

DÉMONSTRATION. Récurrence sur r, en partant de r41 avec u^{( 1 )} 41. SupposonsrF1 et trouvée un automorphismeu^(r). Quitte à rempla-cervA,Bpar (uA^(r)luB^(r))uA^(r)l21B vA,B, on peut supposer que u^(r)41 et que vR^r.

Pour tout mot w en les objets de A^{, posons}

C(w)4 ]xA^(wl)_Nx centralise A^(w)₍ C^arb(w)4C(w)OR^{(wl)r (r}_F^{0 )}

G^[r](w)4C^arb(w) /C^ar11b(w) G^[r]4

»

_w ^G[r](w).

L’algèbreKaOb(A⁾bopère à gauche et à droite surG^[r]de la manière habituelle.

Posons vA,B412nA,B: alors nA,BC^arb(AB) et on a la congruence identique

n_AlB,C1n_A,Bl1_Cfn_A,BlC11_Aln_B,C ( mod R^(AlBlC)^r11).

Soit u^{(r11 )} un automorphisme de Id_A solution de (i) et (ii). Posons

u_A^{(r11 )}412mA: on a donc mAC^arb(A). Soit mA l’image de mA dans G^[r](A). On a la congruence identique

nA,Bfm_AlB21_Alm_B2m_Al1_B ( mod R^{( A}lB )^r11).

Réciproquement, si (m_A) est une famille d’éléments de C^arb(A) véri-fiant ces congruences, alors la famille (u_A^{(r11 )}412mA) définit un auto-morphisme deId_Asolution de (i) et (ii). Il reste à appliquer comme précé-demment la nullité de H²(KaOb(A⁾b,G^arb). r

13.8.3. REMARQUE. Si A,Badmettent des duaux à droite (cf. 6), les isomorphismes canoniques

A^(1,AqlB)`A^(A,B)

de (6.2) passent àAet sont compatibles à toute section monoïdales com-me dans le théorècom-me. Si tous les objets deAadmettent des duaux à droi-te (par exemple siAest symétrique et rigide), on en déduit quesest

de (6.2) passent àAet sont compatibles à toute section monoïdales com-me dans le théorècom-me. Si tous les objets deAadmettent des duaux à droi-te (par exemple siAest symétrique et rigide), on en déduit quesest

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