Sections monoïdales et foncteurs fibres

Dans ce paragraphe, nous appliquons le théorème de scindage mo-noïdal symétrique au cas des catégories tannakiennes.

18.1. Un contexte général.

18.1.1. THÉORÈME. Soient K un corps de caractéristique nulle et L une extension de K. Soit A une (petite) catégorie K-linéaire, pseudo-abélienne, monoïdale symétrique rigide avec K4End(1). On suppose qu’il existe un K-foncteur fidèle monoïdal symétrique v:A_KVecL.

AlorsR4rad (A⁾ est monoïdal, et A4A^/R est tannakienne semi-simple sur K. En particulier, siAest une catégorie tannakienne sur K, de radicalR^,alorsA^/Rest encore tannakienne sur K; elle est neutre si A est neutre.

DÉMONSTRATION. On sait par le théorème 8.2.1 que A est de Wed-derburn. Comme A ^est K-linéaire pseudo-abélienne, elle est même abé-lienne (semi-simple); elle est par ailleurs rigide (cf. 6.1.4). D’autre part, la tensorialité du radical a été démontrée dans le théorème 8.2.2.

Les hypothèses des théorèmes 13.2.1 et 15.3.5 sont satisfaites. On peut donc trouver une sectionK-linéaire monoïdalesdep_A, qui est auto-matiquement symétrique. Une telle section est clairement fidèle, donc le K-foncteur monoïdal symétrique vs4vis:A_KVecL l’est aussi. Com-me c’est un foncteur monoïdal fidèle entre catégories monoïdales abé-liennes semi-simples, il est exact (les suites exactes se scindent); c’est donc un foncteur fibre.

La seconde assertion découle de là. r 18.1.2. REMARQUES.

a) On pourrait aussi prouver queAest tannakienne siAl’est en uti-lisant la caractérisation interne de Deligne [14]. En effet, commeR₄^8, la dimension d’un objet deAne change pas si on la calcule dansA; c’est donc un entier naturel. Mais cet argument ne montre pas queA^est neu-tre quand A ^l’est.

b) L’exemple de catégorie monoïdale K-linéaire non strictement se-mi-primaire vu plus haut (contre-exemple 3.1.4) fournit, en caractéristi-que nulle, un exemple d’application du théorème ci-dessus (le foncteurv étant induit par xOK pour tout xE).

Dans cet exemple, la catégorie tannakienneAn’est autre que la caté-gorie des représentations du groupe diagonalisable de groupe de carac-tères E.

c) L’exemple montre que le théorème de scindage monoïdal symétri-que ne s’étend pas, en remplaçantR^par8, au cas où le radicalR^{n’est pas} monoïdal. Dans cet exemple,A^/8est équivalente à la catégorie des super-espaces vectoriels de dimension finie, qui n’est pas tannakienne (on a un objet de carré tensoriel isomorphe à 1, mais de dimension c1).

d) Dans [1] nous déduisons de ce théorème, indépendamment de tou-te conjecture, ungroupe de Galois motivique pro-réductifattaché à tou-te cohomologie de Weil «classique» définie sur les variétés projectives lisses sur un corps quelconque.

18.2. Le cas tannakien neutralisé.

Ce sous-paragraphe est préparatoire au paragraphe 19.

On suppose encore Kde caractéristique 0. Soient Gun K-schéma en

groupes affine (en bref: unK-groupe affine) etA₄^RepK(G) la catégorie des K-représentations de dimension finie de G. On note pG au lieu de p_A,RGle radical deA, etvGle foncteur fibre canonique deA(à valeurs dans Vec_K).

Le lemme suivant est fort utile:

18.2.1. LEMME. SoientB une (petite) catégorie K-linéaire monoïda-le symétrique et f :B_K^RepK(G)un foncteur monoïdal. Pour toute K-algèbre commutative R, notons f^R (resp. v^R) le foncteur monoïdal f (resp. v) composé avec

Vec_KKR-Modf (resp. Rep_K(G)KRep_R(G) ).

Notons Aut⁷f (resp. Aut⁷(v_if) ) le faisceau fpqc associé au foncteur ROAut⁷f^R (resp. ROAut⁷(v^Rif) ). Alors

1) Aut⁷(vif) est représentable par un K-schéma en groupes affine,

2) Aut⁷(f) est représentable par le centralisateur de l’image de GK^AAut⁷(v) dans Aut⁷(vif),

3) l’homomorphisme

Aut⁷(f)KAut⁷(v_if) (u^R)O(v^R(u) )

(vu comme homomorphisme de groupes affines) est un monomorphis-me, i.e. une immersion fermée.

DÉMONSTRATION. 1) Aut⁷(vif) est représentable par le sous-sché-ma en groupes fermé deG»4

»

BB

GL(vif(B) ) qui fixe ceux des morphis-mes deRep_KG qui sont de la forme vif(u), oùuest un morphisme de B.

2) Il est clair que l’image de Aut⁷(f) dans Aut⁷(vif) centralise Aut⁷(v). Inversement, soit vAut⁷(vif)(R) centralisant l’image de Aut⁷(v)(R8) pour toute extension R8/R. Pour tout BB ^{et tout g} G(R8), l’élément v_BEnd_R8(v^R8(f(B) ) ) commute à g_B. Il lui corre-spond donc un unique élément uBA⁽f^R(B),f^R(B) ) tel que v^R(u_B) 4vB. La fidélité dev^Rimplique de plus queuBest inversible et monoï-dal. Cela montre que Aut⁷(vif) est le centralisateur de l’image de Aut⁷(v) dans Aut⁷(vif), donc représentable.

3) découle de ce que les v^R sont fidèles. r

Choisissons une section monoïdale s de p_A, et posons comme ci-des-susvs4vGis. SoitG_s4Aut⁷(v_s): c’est un K-groupe pro-réductif. On a un homomorphisme évident:

s^l--l:GK^AAut⁷(v_G)KAut⁷(v_s)4G_s d’où un foncteur monoïdal

(s^l--l)* :RepK(G_s)KRepK(G).

18.2.2. LEMME. L’homomorphisme s^l--l est un monomorphisme (i.e.

une immersion fermée).

DÉMONSTRATION. Soit N4Kers^l--l. On a un diagramme commutatif de catégories et foncteurs:

Rep_K(G/N) K

g* Rep_K(G) 5 ^(sl--l)*6

Rep_K(G_s)

Le foncteur g* est pleinement fidèle. Comme (s^l--l)* est évidemment essentiellement surjectif, il en est de même deg* , qui est donc une équi-valence de catégories, d’où N41. r

18.2.3. REMARQUE. Le foncteur us:A_K^RepK(G_s)

XO(G_sKGL(v_s(X) ) )

est une équivalence de catégories monoïdales, mais pas en général un isomorphisme de catégories. Il possède néanmoins un quasi-inverse ca-nonique. On a un diagramme strictement commutatif de catégories et foncteurs:

Rep_K(G) K

vG

Vec_K

s

H

^{vs6 vGs}

H

A _K

u_s

Rep_K(G_s)

On a évidemment (s^l--l)*iu_s4s. En particulier,s_s»4p_Gi(s^l--l)* est un inverse à gauche deu_s; c’en est donc aussi un quasi-inverse à droite, par un isomorphisme naturel monoïdal.

Sit est une autre section monoïdale depG, elle définit un autre

fon-cteur fibre, donc un autre groupeG_t. D’après la théorie générale des ca-tégories tannakiennes, G_s et G_t sont des formes intérieures l’un de l’au-tre. On a mieux, puisque t est monoïdalement conjuguée à s. En effet, choisissons une telle conjugaisonu, de sorte que t4usu²¹. On a alors un diagramme commutatif

G_s

s^l--l6

(18.1) G ^u×

I

^&

t^l--l7 G_t

oùu×:Aut⁷(vs)(R)KAut⁷(vt)(R) est donné par gOugu²¹pour toute K-algèbre R. Cette construction donne:

18.2.4. PROPOSITION. On a un foncteur canonique T_G du groupoïde connexeGu7(G)des sections monoïdales depGvers la catégorie des mo-nomorphismes de G vers un groupe pro-réductif, qui associe à la sec-tion s le monomorphisme G^%KG_s. En particulier, pour deux sections monoïdales s,t, les groupes G_s et G_t sont K-isomorphes. r

18.2.5. Éclairons et complétons cette construction à l’aide des résul-tats du paragraphe 14. Notons Gu(G)4(E_u,S_u) le groupoïde affine scindé unipotent transitif surS⁷associé àA₄^RepK(G) par le théorème 14.3.3: on aGu(G)(K)4G⁷(G). Par ailleurs, la catégorie tannakienneA étant neutre, sa gerbe est représentée par un K-groupoïde affine que nous noterons G_red(G): la catégorie G_red(G)(K) est le groupoïde des K-foncteurs fibres surA. ConsidéronsGcomme groupoïde à un objet. On a alors un (bi)morphisme de K-groupoïdes affines

Gu(G)3^KGKGred(G)

qui au niveau des R-points est décrit de la manière suivante:

Hom⁷(s,t)(R)3Aut⁷(v)(R)KHom⁷(v_s,vt)(R) (s,* )Ovs4vis.

Si l’on fixe une section (K-rationnelle) s, on obtient en particulier un monomorphisme de K-schémas en groupes affines

Us4Us(G)»4Eu(s,s)^%KGs

avecU_spro-unipotent, oùU_s centralise G. Le diagramme (18.1) se com-plète en un diagramme commutatif:

U_s3KG K G_s

u×31

I

^{& u×}

I

^&

U_t3KG K G_t.

18.2.6. PROPOSITION. Pour tout épimorphisme f:G_sˆH,le centra-lisateur de fis^l--l(G) dans H est égal au produit f(U_s)3Z(H).

[Noter que ce produit est direct, puisque l’intersection def(U_s) et de Z(H) est un groupe unipotent de type multiplicatif.]

DÉMONSTRATION. Par souci de clarté, notons plus précisément v 4v_G. Considérons le foncteur f4(s^l--l)*if* : Rep_K(H)KRep_K(G): on remarque que vGif4vH. Appliquons le lemme 18.2.1: on obtient que l’homomorphisme Aut⁷(f)KAut⁷(v_H)4H est injectif, d’image le centralisateur de l’image de Aut⁷(v_G)4G dans H. Il reste à calculer Aut⁷(f), que nous identifions ci-dessous à un sous-groupe de H.

Soit hAut⁷(f)(R), où R est une K-algèbre commutative (on peut d’ailleurs se limiter qu cas d’un corps, et même d’une extension algébri-que de K, puisque K est de caractéristique nulle). Alors pG(h) Aut⁷(p_Gi(s^l--l)*if* )(R). Comme les foncteurs pGi(s^l--l)* et f* sont pleinement fidèles, leur composé l’est aussi et Aut⁷(p_Gi(s^l--l)*_if* )(R) s’identifie canoniquement à Aut⁷(IdRep_K(H))(R)4Z(H)(R) ). Autrement dit, il existe un uniquezZ(H)(R) tel que p_G(h)4p_G(z). Alors u4h Qz²¹ vérifie pG(u)41; autrement dit, uf(U_s(R) ). D’où l’asser-tion. r

18.2.7. PROPOSITION. a) Pour toute section s comme ci-dessus, tout homomorphisme f de G vers un groupe pro-réductif H se prolonge en un homomorphisme c: G_sKH.

DÉMONSTRATION. On a un diagramme commutatif Rep_K(G) K

vG

Vec_K

W*6 ^pG

I

Rep_K(H) K

W*

Rep_K(G) /RG

où par souci de clarté on note vG le foncteur fibre canonique de Rep_K(G). On a vH4vGif*.

Remarquons que f* est exact, puisque la catégorie RepK(H) est se-mi-simple. Il est aussi fidèle: siARep_K(H), le noyau de l’homomorphi-sme induit parf* de l’anneauRdes endomorphismes deAvers l’anneau des endomorphismes def* (A) est l’image réciproque dansR du radical de l’anneau des endomorphismes de f* (A); cette image réciproque est nulle, comme idéal nilpotent d’une algèbre semi-simple. DoncvGisif*

est un foncteur fibre sur RepK(H).

Le foncteur f* induit un homomorphisme (f* )^l--l: G_sKH8 avec H8»4Aut⁷(vGisif* ).

Appliquons la proposition 13.7.1, en remarquant queRep_K(H) est se-mi-simple (et même séparable): il existe un isomorphisme naturel monoï-dal u:f*¨sif* , d’où un isomorphisme

HK^AAut⁷(v_Gif* )K

v×G(u)

H8 faisant commuter le diagramme

G K

W H

s^l--l

I

^v×G(u)

I

^&

G_s K

(W* )^l--l

H8. D’où la proposition. r

18.2.8. LEMME. Soient f,gHom(G,H), où G et H sont deux K-groupes affines. Alors f et g sont conjugués par un élément de H(K)si et seulement s’il existe un isomorphisme naturel monoïdal f*C⁷g* au ni-veau des catégories de représentations.

DÉMONSTRATION. Soit u un tel isomorphisme. Alors u induit un iso-morphisme vH4vGif*C⁷vGig*4vH. Un tel isomorphisme corre-spond à un élément hH(K). Cet élément conjugue f et g. r

18.2.9. PROPOSITION. Soient G un K-groupe affine s,t deux sections monoïdales depG,G_set G_tles K-groupes réductifs attachés s et t,u un isomorphisme monoïdal de s sur t et u×:GsK^AGt l’isomorphisme corre-spondant(cf.(18.1)).Soient enfin H un autre K-groupe affine H et f :G_s KH, g:G_tKH deux homomorphismes.

Supposons que fis^l--l et git^l--l soient conjugués par un élément de H(K). Alors il en est de même de f et giu×.

DÉMONSTRATION. On se ramène immédiatement au cas oùs4t, puis au cas oùfis^l--l4gis^l--l. On a, au niveau des catégories de représentations, une égalité de foncteurs:

(s^l--l)*if*4(s^l--l)*ig* d’où, en composant à gauche avec pG:

s_sif*4s_sig* (cf. remarque 18.2.3).

Comme ss est un quasi-inverse monoïdal de us (ibid.), on en déduit l’existence d’un isomorphisme naturelf*C⁷g*. On conclut par le lemme 18.2.8. r

18.2.10. SCOLIE. Avec les notations de 10.2, on a HH₀(Rep_K(G) )`R_K(G_s)7ZK.

DÉMONSTRATION. On a vu dans 10.2 que H H0(A⁾₄H H0(A^{), d’où} H H0(A<sup>)`H H</sup>0(RepK(Gs) ) d’après ce qui précède, et d’autre part et dans l’exemple 10.2.1 que H H<sub>0</sub>(Rep<sub>K</sub>(G<sub>s</sub>) )`R_K(G_s)7^ZK. r

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