Traces

Dans tout ce paragraphe, on suppose que(A^, l) est K-linéaire mo-noïdale rigide, symétrique, et que End(1)4K (en revanche, on ne sup-pose pas A abélienne).

7.1. Traces et idéal 8.

Rappelons que la trace d’un endomorphisme hA^(C,C) est l’élé-ment tr(h)K4End(1) défini par

e_CiR_C^q_,Ci(i²_CC¹(h) ) :1K1,

oùeC: C_lC^qK1 est l’évaluation. Dans la situation symétrique dans la-quelle nous nous plaçons, la formule s’écrit aussi

tr(h)4eC^qi(i²_CC¹(h) ) (7.1)

La dimension (ou rang) de l’objet A est la trace de 1_A.

Soient fA^{(A,B) et g}A^(B,A). Des formules (6.1) et (6.4), on dé-duit que

tr(gif)4eA^q( 1A^qleBl1A)(i2AB1

fli2BA1

g)4eA^qBi(i2AB1

fli2BA1

g) d’où

tr(gif)4tr(fig) (7.2)

et, en appliquant (6.7)

tr(gif)4(i²_AB¹f)^tii2BA1g (4tr( (i²_AB¹f)^tii2BA1g) ).

(7.3)

En appliquant (6.12), on obtient aussi l’identité tr(h^t)4tr(h).

Voici une autre formule utile (cf.[14, 7.2]: sifetg sont des endomor-phismes de A et B, on a

tr(flg)4tr(f)tr(g).

(7.4)

Introduisons à présent l’idéal 8, protagoniste principal de ce paragraphe.

7.1.1. LEMME. La formule

8(A,B)4 ]fA^(A,B),(gA^(B,A),tr(gif)40( définit un idéal monoïdal de A^{(14). On a}

8(A,B)4i_AB]fA^(1,AqlB),(gA^(AqlB,1),gif40(. DÉMONSTRATION. La stabilité par composition à gauche est claire et la stabilité par composition à droite s’en déduit en vertu de la formule (7.2). Il suffit alors de prouver la seconde assertion, qui dit que848^(l). C’est immédiat à partir de la formule (7.3). r

7.1.2. EXEMPLE. Dans le cas de l’exemple 6.3.1 (motifs), l’idéal mo-noïdal 8 correspond à l’équivalence numérique des cycles algébri-ques.

(¹⁴) Dans [10] cet idéal apparaît, dans le cadre plus général (tressage non né-cessairement symétrique) destortils ou catégories enrubannées, sous le nom d’i-déal des morphismes négligeables.

7.1.3. LEMME. On suppose que K est un corps. Soit f₁,R,f_n A^(A,A)une famille de n éléments linéairement indépendants modu-lo 8(A,A). Alors (f1,R,fn) correspond à une corétraction 1^n%KA^qlA.

DÉMONSTRATION. La donnée des fi fournit un morphisme 1ⁿ KA^qlA (de i-ème composante i²¹_AA(f_i)). Remarquons que, par défini-tion de 8, la trace induit une forme bilinéaire (symétrique) non dégénérée

A^{(A,A) /8(A,A)}₃A^{(A,A) /8(A,A)}_K^K.

Il existe donc des éléments g₁,R,g_n de A^(A,A) tels quetr(g_iif_j) 4dij (symbole de Kronecker). Le morphisme composé

A^qlA K

ig₁,R,ig_n

(A^qlA)ⁿ K

R_A^q_A,R,R_A^q_A

(AlA^q)ⁿK

ev,R,ev

1ⁿ

est un inverse à gauche de1^n%KA^qlA. Réciproquement, toute corétrac-tion comme dans l’énoncé s’obtient clairement ainsi. r

7.1.4. PROPOSITION. On suppose que K est un corps. SoitA^un caté-gorie K-linéaire monoïdale symétrique rigide, avec K4End(1). On no-te R son radical. Alors

a) 84R^{(l): 8(A,B)}₄iAB(R^(1,A^qlB) ) pour tout couple (A,B).

b) 8 est le plus grand idéal monoïdal distinct de A^.

c) Soit J un idéal monoïdal distinct de A^{. Si} A^/J est semi-simple, alors J₄^8.

DÉMONSTRATION. a) Que 8 soit distinct de A se voit sur le couple (1,1). Pour l’égalité 84R^(l), il s’agit de voir que pour tout objet A, 8(1,A)4R^(1,A). C’est bien le cas, car d’après le lemme 1.4.9,

R^(1,A)_{4 ]}^fA^(1,A), (gA^(A,1),gif40(.

b) Prouvons que tout idéal monoïdalJdistinct deAest contenu dans 8: il suffit de faire voir que pour tout objetA,J^(1,A)%8(1,A), c’est-à-dire que pour toutfJ^{(1,A) et tout} gA^(A,1),gif40K. Si tel n’é-tait pas le cas, on pourrait supposer gif41 , donc 1J^{(1,1), d’où} J^(1,A)₄A^(1,A). Par ailleurs, 8(1,1)40 , donc 8cA^.

c) Si A^/J est semi-simple, alors R^%J^{. Donc} R^(l)₄⁸ est contenu dans J^(l)₄J. On a l’inclusion opposée d’après i). r

7.1.5. COROLLAIRE. L’idéal 8 ne dépend pas du choix du tressage (symétrique) R. r

7.1.6. PROPOSITION. Sous les mêmes hypothèses, les conditions sui-vantes sont équivalentes:

(i) R^&8,

(ii) le foncteur de projection A_KA^/8 est conservatif, (iii) pour tous objets A,B de A^, l’identification

iAB:A^(1,AqlB)K^A A^(A,B) induit une inclusion

R^(A,B)&R^(1,AqlB).

En outre, R est un idéal monoïdal si et seulement si R₄^8.

DÉMONSTRATION. (i) ` (ii) résulte de 1.4.4 b); (i)` (iii) n’est autre qu’une reformulation de la proposition 7.1.4 a). La dernière assertion suit de ce que 84R^(l) (ou de (i) ` (iii)). r

7.1.7. COROLLAIRE. Si A est semi-simple, 840. Si R^c8, R^c0.

En effet, la première (resp. deuxième) affirmation résulte de la pro-position 7.1.4 (resp. 7.1.4 et 7.1.6) compte tenu de ce que le radical d’une catégorie semi-simple est nul (resp. de ce que 0 est un idéal monoï-dal). r

7.1.8. EXEMPLE. Revenons à l’exemple de la catégorie monoïdale symétrique rigide A des motifs de Chow à coefficients rationnels. Des conjectures très fortes dues à A. Beilinson [2] et de J. Murre [41] (qui sont en fait équivalentes,cf. [26]) prédisent l’existence d’un filtration fi-nie fonctorielle sur les objets deA. Chaque cran de la filtration est sup-posé provenir d’une équivalence adéquate, donc définit un idéal monoï-dalF^p. D’après [26], il résulterait de ces conjectures et des conjectures standard que F^p est la puissance p-ième de l’idéal F¹(correspondant à l’équivalence homologique) et queF¹48. La finitude conjecturale de la filtration a pour conséquence queF¹%R^{, donc F1}4R48 (R ^est mo-noïdal), et implique alors: A est strictement de Wedderburn (noter que R^v₄OF^p40). Ces propriétés se transfèrent aux catégories de motifs purs pour une équivalence adéquate quelconque.

Cet exemple conjectural est l’une des principales sources d’inspira-tion de ce travail.

7.1.9. REMARQUE. La compatibilité de 8 vis-à-vis de l’extension des scalaires (naïve) ne pose pas de problème (contrairement à celle du radi-cal R^,cf. § 3.) C’est prouvé dans [10, 1.4.1], dans un contexte beaucoup plus large.

7.2. Traces et puissances extérieures.

Cette partie est inspirée par [14, 7.2] et par le récent travail de Kimu-ra ([32], voir aussi [21]). Ici la symétrie du tressage est essentielle.

Soitnun entierD0. On fait opérer le groupe symétriqueEnsurA^ln au moyen du tressage [symétrique!]R, en écrivant tout élémentsdeE_n comme produit de transpositions de la forme (i i11 ) (le résultat ne dé-pend pas de cette écriture,cf.[14, 7.2]). Plus généralement, si A₁,R,A_n A ^et bE_n, on a un isomorphisme bien déterminé

b:A₁lQ Q QlA_nKA_{b( 1 )}lQ Q QlA_b(n)

covariant en b. Si B₁,R,B_n sont d’autres objets, pour toute famille f_i A^(Ai,B_i), on a

bi(f₁lQ Q Qlf_n)4(f_{b( 1 )}lQ Q Qlf_b(n))ib. (7.5)

On a aussi les formules suivantes qui nous seront utiles (7.6) iA_{b( 1 )}lQ Q QlA_b(n),A_{b( 1 )}lQ Q QlA_b(n)( (b²¹,b)_if)4

4biiA₁lQ Q QlA_n,A₁lQ Q QlA_n(f)_ib²¹

eA_b(n)^q lQ Q QlA_{b( 1 )}^q i(b²¹,b)4eA_n^qlQ Q QlA₁^q,

(7.7)

où (b²¹,b) désigne la «permutation»

An q

lQ Q QlA1 q

lA1lQ Q QlAnKAb(n) q

lQ Q QlAb( 1 ) q

lAb( 1 )lQ Q QlAb(n). Cas particulier de(7.5): soitsE_n, et supposons que B_i4A_s(i)pour touti. On peut alors considérer l’endomorphisme suivant de A_1lQ Q QlA_n (cf. [14, 7.2]):

F4s²¹i(f1lQ Q Qlfn).

Nous nous proposons de calculer la trace de F.

Écrivons s comme produit de cycles disjoints s1iQ Q Qisp, et soit I_k

%]1 ,R,n(le support desk. Pour toutiI_k, on peut considérer l’endo-morphisme de A_i

Fk,i4f_slk21(i)iQ Q Qifs(i)if_i

oùl_k4 NI_kNest la longueur du cyclesk. D’après (7.2), la tracetr(F_k,i) ne dépend pas du choix de i: notons-là t_k.

7.2.1. PROPOSITION. On a

tr(F)4

»

k41 p

tk.

DÉMONSTRATION. Soit bE_n. D’après (7.5) et (7.2), on a tr(bs²¹b²¹i(f_{b( 1 )}lQ Q Qlf_b(n)) )4tr(bis²¹i(f₁lQ Q Qlf_n)ib²¹)4

4tr(s²¹i(f₁lQ Q Qlf_n) ).

Cette formule permet de se ramener au cas où lesI_kforment une par-tition croissante de ]1 ,R,n(:

I_k4 ]l₁1Q Q Q1l_k2111 ,R,l₁1Q Q Q1l_k( et où, de plus, pour tout k, s_k est le cycle «croissant»

sk4(l₁1Q Q Q1lk2111 ,R,l11Q Q Q1lk).

Posant alors

Fk4s21k

i(fl₁1Q Q Q1l_k2111lotslfl₁1Q Q Q1l_k) une itération de la formule (7.4) donne

tr(F)4

»

k41 p

tr(F_k).

Ceci ramène la démonstration de la proposition 7.2.1 au cas oùsest la permutation cyclique de ]1 ,R,n(. Par itération de la formule (6.4), et compte tenu de (6.1) et (6.13), on trouve

(7.8) i²A₁¹A₁(f_niQ Q Qif₁)4

4( 1_A^q₁ le_A2R_le_Anl1_A1)i(i²_A1¹_A2f₁lQ Q Qli²_An¹_A1f_n)4

4( 1_A^q_{1 l}eA_n^qlQ Q QlA₂^ql1_A1)i(i_A2lQ Q QlAnlA1,A2lQ Q QlAnlA1

21 F).

En appliquanteA^q «aux deux facteurs extrêmesA^qetA» (ce qui fait sens grâce au tressage), on obtient

(7.9) tr(fniQ Q Qif1)4eA₁^qlA_n^qlQ Q QlA₂^q(i_A2₂1_{lQ Q Ql}A_nlA₁,A₂lQ Q QlA_nlA₁

F)4 4e_A1^q_lAn^q_{lQ Q QlA2}^q(i_{A2lQ Q QlAnlA1},A2lQ Q QlAnlA1

21 F)4

4eA_n^qlQ Q QlA₁^q(i_A²₁¹_{lQ Q QlAn,A1lQ Q QlAn}(s_i(f₁lQ Q Qlf_n) ) )4tr(s_i(f₁lQ Q Qlf_n) )

(cf. aussi [14, 7.2]). r

7.2.2. COROLLAIRE. Supposons A₁4Q Q Q4A_n4A et f₁4Q Q Q4f_n4f.

Alors

tr(F)4

»

k41 p

tr(f^ilk).

En particulier, pour f41 , on a tr(s)4dim (A)^p. r

Dans la suite de ce paragraphe (jusqu’à 7.3), on suppose que A ^est pseudo-abélienne.

7.2.3. DÉFINITION. Soitn un entier naturel tel quen! soit inversible dansK, et soitAA^{. La}puissance extérieure n-ièmeLⁿAdeAest l’i-mage du projecteur d’antisymétrisation sur A^ln

a_n4 1 n!

!

sE_n

sgn(s)s. (7.10)

De même, la puissance symétriquen-ièmeSⁿAd’un objetAde A^est l’i-mage du projecteur de symétrisation s_n4 _n!¹

!

sEn

s. Ces constructions sont fonctorielles en A.

7.2.4. PROPOSITION(cf.[14, 7.2]).Soit A un objet deA^,et soit f un en-domorphisme de A. Alors on a

tr(Lⁿ(f) )4 1 n!

!

sE_n

sgn(s)

»

k41 p

tr(f^ilk)

où, pour tout sE_n, l₁,R,l_p sont les longueurs des cycles disjoints

constitutant s. En particulier, si d4dimA, la dimension de LⁿA est

u

_n^d

v

^{4 d(d21 )R}_n!^{(d2n11 ) .}

De même, on a

tr(Sⁿ(f) )4 1 n!

!

sE_n

»

k41 p

tr(f^ilk)

dimSⁿ(A)4

u

^d1n_n²¹

v

^{4 d(d11 )R(d}_n! ^{1n21 ) .}

DÉMONSTRATION. La première assertion résulte directement du co-rollaire 7.2.2. La seconde résulte du cas particulier f41 et de l’identité bien connue

u

^d_n

v

⁴ _n!¹ s

^!

E_n

sgn(s)d^a(s)

oùa(s) est le nombre de cycles intervenant danss. Les assertions pour les puissances symétriques se démontrent de même. r

7.2.5. COROLLAIRE. Sous les hypothèses de la proposition 7.2.4, a) tr(fⁱⁿ)s’exprime comme un polynôme universel en les tr(Lⁱ(f) ) pour i41 ,R,n à coefficients dans Z[ 1 /n! ].

b) On a

tr(Lⁿ( 1_A1f) )4

!

i40 n

tr(Lⁱf).

(7.11)

DÉMONSTRATION. a) Posonst_i4tr(fⁱi): le second membre de la pro-position 7.2.4 est donc un polynôme universel en lest_i. On remarque que t_nintervient dans le terme

»

k41 p

tr(f^ilk) si et seulement sisest un cycle de longueurn, et qu’alors ce terme est égal àt_n. Tous ces cycles ont la mê-me signature (21 )ⁿ²¹, et ils sont au nombre de (n21 ) !. Ainsi, le second membre de la proposition est un polynôme du premier degré ent_n, et le coefficient det_nest égal à (21 )ⁿ²¹/n. L’assertion en résulte, par récur-rence sur n.

b) Grâce à a), on voit que tr(Lⁿ( 11f) ) s’écrit comme un polynôme

universel à coefficients dansZ

k

_n!¹

l

^{en les tr(Lif) pour iGn. Prenant}

pourAla catégorie monoïdale des modules libres de type fini sur K, on obtient la formule voulue. r

En nous inspirant de Kimura [32] (qui se plaçait dans le cadre des motifs de Chow, voir aussi [21, 3.15]), nous allons démontrer un résultat plus précis que 7.2.1 et 7.2.4, qu’on retrouve en appliquante_A^q₁ aux fac-teurs extrêmes. On reprend les notations de 7.2.1.

7.2.6. PROPOSITION. Pour tout sE_n, notons l₁(s) la longueur du cycle s1 de s ayant 1 dans son support. On a

(7.12) iA₁A₁

(

( 1_A^q₁ le_A^q_{n lQ Q QlA}^q₂ l1A1)(iA211lQ Q QlAn,A1lQ Q QlAn(s²¹_if₁lQ Q Qlf_n) )

)

₄

4t_s.f_s^l₁121( 1 )iQ Q Qif_s1( 1 )if1, où t_s41 sis est cyclique (l₁4n),et t_sK est un produit de traces de monômes non triviaux en les f_i si s n’est pas cyclique.

A fortiori, si A14Q Q Q4An4A et f14Q Q Q4fn4fA(A,A),et si n!est inversible dans K, on obtient

iAA

(

( 1A^qleA^l(n21 )l1A)i(i2A1^ln,A^ln

(Lⁿf) )

)

₄

!

sE_n

ts8f^l1(s) (7.13)

iAA

(

^{( 1}A^qleA^l(n21 )l1_A)i(i2_A1ln,A^ln(Sⁿf) )

)

₄

!

sE_n

t"_sf^l1(s) (7.14)

où t^s84 ^{(21 )}

n21

n! sisest cyclique, et t^s84 6_n!¹ 3un produit de traces de puissances non nulles de f sinon(resp. mêmes formules pour t"_s, sans les signes).

DÉMONSTRATION. Abrégeons provisoirement iAA en iA, et

( 1_A^q₁ leA^q_n lQ Q QlAq2 l1_A1)iiA211lQ Q QlA_n,A1lQ Q QlA_n(2)

en U_A1RAn(2).

SoitbE_nune permutation telle queb( 1 )41. Compte tenu de (7.5), (7.6) et (7.7), on a

iA₁A₁

g

^UA1A_{b( 1 )}RA_b(n)(bs²¹b²¹i(f₁lf_{b( 2 )}lQ Q Qlf_b(n)) )

h

4

4iA₁A₁

g

^UA1A_{b( 2 )}RA_b(n)(bis²¹i(f₁lQ Q Qlf_n)ib²¹)

h

4 4iA₁A₁

(

U_A1RA_n(s²¹_i(f₁lQ Q Qlf_n) )

)

^.

Comme dans la preuve de 7.2.1, et parce ques1est choisi de telle sorte que 1 soit dans son support, cette formule permet de se ramener au cas où les Ik forment une partition croissante de ]1 ,R,n( et où, de plus, pour tout k, s_k est le cycle «croissant»

sk4(l₁1Q Q Q1lk2111 ,R,l11Q Q Q1lk), ce qui permet d’écrire

s²¹if1lQ Q Qlfn4(s²₁¹_if1lQ Q Qlfl₁)_lQ Q Ql(s²_p¹_if_n2lplQ Q Qlf_n).

Compte tenu de (6.1) et (6.13), on en tire iA₁

(

U_A1RA_n(f₁lQ Q Qlf_n)

)

₄

4iA1( ( 1_A^q₁ leAl^q1 lQ Q QlA₂^ql1_A1)(i²_A1¹_lQ Q QlA_l1(s²₁¹if₁lQ Q Qlf_l1) )l

eAl^q11l2lQ Q QlA_l^q₁₁₁(i_Al

111lQ Q QlA_l11l2

21 (s₂²¹if_l111lQ Q Qlf_l11l2) )l

Q Q QleA_n^qlQ Q QlA_n2l^q _p(i_A²_n¹_2lplQ Q QlA_n(s²_p¹if_n2lplQ Q Qlf_n) ) ) ce qui n’est autre que

(f_l1iQ Q Qif₁).tr(f_l11l2iQ Q Qif_l111).Q Q Q.tr(f_niQ Q Qif_n2lp)

par (7.8) et (7.9). Ceci démontre la première assertion, et la seconde s’en-suit immédiatement. r

7.2.7. PROPOSITION. Soit Ac0un objet deA. On suppose qu’il existe un entier nD0 tel que n!soit inversible dans K et tel que tel que LⁿA 40 (resp. que SⁿA40 ). Alors

i) 8(A,A)est un nil-idéal de A^(A,A) d’échelon de nilpotenceGn.

C’est même un idéal nilpotent deA^(A,A),d’échelon de nilpotence borné en fonction de n. En particulier, l’image de A n’est pas nulle dans A^/8.

ii) Si K est intègre de caractéristique nulle, la dimension de A (re-sp. l’opposé de la dimension de A) est un entier naturel Gn.

DÉMONSTRATION. i) la formule (7.13) nous dit que iA( 1A^qleA^l(n21 )l1A)(i21A^ln(Lⁿf) )4

!

sE_n

ts8f^l1(s),

oùts84^{(21 )}

n21

n! sisest cyclique, et ts84 6 ¹

n! 3un produit de traces de puissances non nulles defsinon. Pourf8, ces derniers termes s’annu-lent, et on a donc

iA( 1_A^q_leA^l(n21 )l1_A)(i2_A1ln(Lⁿf) )4 (21 )ⁿ²¹ n fⁿ.

MaisLⁿf40 siLⁿA40 , et on trouve finalement quefⁿ40. De mê-me avec Sⁿ au lieu de Lⁿ. La nilpotence de 8(A,A) résulte alors du théorème de Nagata-Higman [42, 23], rappelé ci-dessous pour la commo-dité du lecteur.

La troisième assertion de i) est immédiate.

ii) D’après la proposition 7.2.4, la dimension deLⁿAest donnée par le coefficient binômial

g

^dimn^A

h

, qui ne s’annule que si dimAest un entier na-turel Gn.

Le cas d’une puissance symétrique se traite de même. r

7.2.8. LEMME(Nagata-Higman). Soient n un entierD0et K un an-neau commutatif unitaire dans lequel n! est inversible. Soit R une K-algèbre associative non unitaire telle que tout élément xR vérifie xⁿ 40. Alors R²ⁿ²¹40.

DÉMONSTRATION (d’après P. Higgins). On raisonne par récurrence sur n, en posant R4R_n. Posons inversible dansK). SoitI_n21l’idéal deR_nengendré par les puissances (n 21 )-ièmes. LaK-algèbreR_n214R_n/I_n21est nil d’échelonn21. Par

7.3. Trace des endomorphismes nilpotents.

Nous ignorons si un endomorphisme nilpotent est toujours de trace nilpotente, sans hypothèse supplémentaire. Nous allons néanmoins le démontrer dans deux cas particuliers.

7.3.1. PROPOSITION. Supposons que A soit pseudo-abélienne et que la dimension de tout objet deAsoit un entier naturel. Soit A un objet de dimension n telle que n!soit inversible dans K. Alors tout endomor-phisme nilpotent de A est de trace nilpotente dans K.

DÉMONSTRATION. Par le théorème de Krull et par extension des scalaires (naïve), on se ramène au cas oùK est un corps. Par extension des scalaires de K à K[t], la formule (7.11) donne tr(Lⁿ( 11tf) ) 4

!

i40 n

tⁱtr(Lⁱf). Pour montrer quetr(f)40 pour toutfnilpotent, il suf-fit donc d’établir quetr(Lⁿ( 11f) )41 pour tout telf. Or par la proposi-tion 7.2.4, le rang deLⁿAest 1. Il suffit donc de démontrer que pour tout objetBde rang 1 , (A/8)(B,B)4K. 1BK^tr

`K, compte tenu de ce queK est un corps. Cela découle du lemme suivant, qui est une conséquence immédiate de 7.1.3:

7.3.2. LEMME. Supposons que K soit un corps, que A soit pseudo-abélienne et que la dimension de tout objet soit un entier naturel. Alors tout objet de dimension0deA^/8est nul, et pour tout objet B deA^/8de dimension 1 , le morphisme canonique h_B:1KB^qlB est un isomor-phisme. r

7.3.3. PROPOSITION (cf. [10, 1.4.3]). Supposons qu’il existe un fon-cteur monoïdal symétrique H deAvers une catégorie abélienne monoï-dale symétrique rigide V^; supposons en outre que l’application K KV^(1,1) soit injective. Alors tout endomorphisme nilpotent est de trace nulle.

DÉMONSTRATION. On se ramène au cas A₄V, donc à supposer A abélienne. Cela permet de factoriser f4mie en épi suivi de mono.

Si fⁿ40 , on a donc

04(me)ⁿ4m(em)ⁿ²¹e

d’où (em)ⁿ²¹40 puisque m (resp. e) est simplifiable à gauche (resp.

à droite). On écrit alors tr(me)4tr(em), et on conclut par récurrence sur l’échelon de nilpotence. r

7.3.4. REMARQUE. Dans 7.3.1, contrairement à 7.3.3, on ne peut rem-placer «trace nilpotente» par «trace nulle» siKn’est pas réduit: la caté-gorieAdes modules libres de type fini sur l’algèbre des nombres duaux D4K[e] /(e²) est monoïdale, D-linéaire, symétrique, rigide, et vérifie End 14D (mais n’est pas abélienne). Or e. 11 est un endomorphisme nilpotent de trace non nulle.

7.4. 7-Radicaux.

On suppose toujours A monoïdale symétrique rigide.

7.4.1. DÉFINITION. Soit Jun idéal monoïdal de A^{. Le}7-radical deJ est défini par:

k

7J(A,B)4 ]fA(A,B),)nN,f^lnJ(A^ln,B^ln)(. 7.4.2. LEMME. i) ⁷

k

_J est un idéal monoïdal.

ii) Pour tout objet A, l’idéal k⁷0(A,A) est nil. Qui plus est, l’idéal bilatère engendré par un élément quelconque de ⁷k0(A,A) est nilpo-tent.

iii) k⁷0 est contenu dans RO8(rappelons que Rdésigne le radical de A^.)

DÉMONSTRATION. i) Pour montrer que ⁷

k

_J est un idéal monoïdal, le seul point non trivial est de vérifier que ⁷

k

J^(A,B) est stable par addi-tion. Soientfetgdeux éléments de cet ensemble. Il existe doncnNtel que f^ln4g^lnJ, et l’on voit alors que (f1g)^l2nJ ^puisque J ^{est un} idéal monoïdal.

ii) (cf. [32, dém. de la prop. 2.16]). Soit fk⁷0(A,A). Pour tous g₁,R,g_n11A^{(A,A), on a g}n11lflg_nlQ Q Qlflg₁40 (appliquer le tressage), d’où, par (7.8),

i2AA1(g₁ifig₂iQ Q Qifig_n11)4

4( 1_A^qle_A^qlQ Q QlA^ql1_A)ii21_Al2n11,A^l2n11(s²¹i(g_n11lflg_nlQ Q Qlflg1) ) oùsest la permutation cyclique de]1 ,R, 2n11(. On obtient donc que g₁ifig₂iQ Q Qifig_n1140.

iii) k⁷0%Rsuit immédiatement deii). Pour⁷k0%8, on utilise la for-mule (7.4): tr(f^ln)4tr(f)ⁿ. r

7.4.3. EXEMPLE. Dans le cas de l’exemple 6.3.1 (motifs), l’idéal mo-noïdal⁷k0 correspond à l’équivalence de smash-nilpotence sur les cycles algébriques, introduite par V. Voevodsky [59]. Sa conjecture principale (loc. cit.) revient à dire quek⁷048(dans le cas où le corps de coefficien-ts est de caractéristique nulle).

Par ailleurs, dans [58], Thomason calcule⁷k0 dans le cas des catégo-ries dérivées de catégocatégo-ries de faisceaux cohérents.

7.4.4. REMARQUE. La compatibilité de⁷k0 vis-à-vis de l’extension des scalaires (naïve) est immédiate.

8. Théorèmes de structure.

Dans ce paragraphe, nous tirons les fruits des calculs précédents, pour obtenir des théorèmes de structure: ceux-ci sont rassemblés dans 8.2. Dans tout le paragraphe,K est un corps etAest une catégorie K-li-néaire monoïdale symétrique rigide, avec End(1)4K.

On noteRle radical, et8le plus grand idéal monoïdal distinct deA^. (cf. 7.1.4).

8.1. Structure de A^/8.

8.1.1. PROPOSITION. On suppose qu’il existe un foncteur F:A KVecL vers la catégorie des espaces vectoriels de dimension finie sur une extension L de K, vérifiant F(1)c0.

a) Alors les morphismes de A^/8 forment des K-espaces de dimen-sion finie. Plus précisément,

dim_K(A^/8)(A,B)_G^dimLF(A^q7B). dim_LF(1).

En particulier, A^/8 est semi-primaire.

b) Si F est la composée GiH d’un foncteur monoïdal symétrique H de A vers une catégorie abélienne monoïdale symétrique rigide V^{, et} d’un foncteur G:V_K^VecL, alors R^{%8 et} A^/8 est semi-simple.

DÉMONSTRATION. a) On va donner deux preuves, la première valable seulement si F est K-linéaire.

1) Comme (A^/8)(A,B)7KLC(AL/8_L)(A,B) (cf. remarque 7.1.9), on peut supposerL4K. D’autre part, par rigidité, on peut supposer que A41. Considérons alors l’application K-linéaire définie par F:

F:A^(1,B)_K^HomK(F(1),F(B) ).

Soit fA^{(1,B) tel que F(}f)40. Pour tout gA^{(B,1), on a F(}gf) 40 , donc gf40: en effet,F:K4End(1)KEnd_K(F(1) ) est injectif pui-sque F(1)c0. Ainsi KerF%8(1,B). On a donc

dimA^/8(1,B)_G^dimA^{(1,B) /KerF}_G^{dimHom(F(1),F(B) ).}

2) Soit V le sous-L-espace de Hom_L(F(A^qlB),F(1) ) engendré par F(A^(AqlB,1) ). On peut donc trouver des éléments b₁,R,b_n de A^(AqlB,1), avecnGdim_LF(A^q_lB). dim_LF(1), qui engendrentV. Soit aA<sup>(A,B)`</sup>A<sup>(1,Aq</sup>lB). Dire que a8(A,B)`8(1,A^qlB), c’est dire quebia40 dans K4End(1) pour toutbA^(AqlB,1). CommeF est un foncteur, cela revient à dire queViF(a)40L. Comme lesF(b_i) engendrentV sur L, cela revient finalement à dire que b_iia40 pour i 41 ,Rn. Ainsi aO(b_iia)_i définit un plongement K-linéaire de (A^/8)(A,B)`(A^/8)(1,A^qlB) dans Kⁿ.

b) Comme A^/8est semi-primaire, toutes les K-algèbres d’endomor-phismesA^/8(C,C) sont semi-primaires, donc leurs radicaux sont nilpo-tents. D’après 7.3.3, tout élément de ce radical est donc de trace nulle.

En appliquant ceci àC4A5B, on voit queR^{(A,B)%8(A,B). Donc}R

%8, et A^/8 est semi-simple puisque semi-primaire et de radical nul. r

8.1.2. REMARQUES. 1) La preuve dea) est une variante abstraite de la preuve classique de la finitude des cycles algébriques modulo l’équiva-lence numérique. L’hypothèse est très faible, mais non superflue: on peut montrer que l’exemple de [14, 2.19] (il s’agit d’une ind-catégorie ob-tenue à partir de la catégorie monoïdale symétrique rigideA ^librement engendrée par un objetXde dimension transcendante surQ) vérifie nos conditions et est même abélienne, mais queA^/8n’est pas semi-primaire (en fait, il découle du calcul de A^(X,X) fait dans loc. cit. que 8(X,X)40).

2) Le même énoncé (sans les inégalités de dimensions) vaut si l’on suppose seulement que L est une K-algèbre semi-simple com-mutative plutôt qu’un corps. En effet, on se ramène à la proposition

en projetant sur la catégorie Vec_Li, où L_i est un facteur simple de L tel que F(1)7LL_ic0.

Voici un autre énoncé qui va dans le même sens:

Proposition 8.1.3.. On suppose queAest pseudo-abélienne et que les dimensions des objets sont des entiers naturels.

a) Alors les morphismes de A^/8 forment des K-espaces de dimen-sion finie. On a plus précisément, pour tout objet A:

dim_K(A^/8)(A,A)_G^(dimA)2. b) En fait R^{%8, et} A^/8 est semi-simple.

DÉMONSTRATION. a) Comme A ^est K-linéaire, on se ramène au cas des endomorphismes. Choisissons n endomorphismes f₁,R,f_n dont les images dansA^{(A,A) /8(A,}A) sont linéairement indépendantes. Il s’agit de voir quenG(dimA)²4dimA^qlA. Au lemme 7.1.3, on a vu que les f₁,R,f_ndonnent lieu à un facteur direct 1ⁿdans A^q_lAdans la catégo-rie monoïdale pseudo-abélienne A/8. Tout supplémentaire sera de di-mension un entier naturel par hypothèse, d’où l’inégalité voulue.

b): comme dans la proposition précédente, mais en invoquant 7.3.1 au lieu de 7.3.3. r

8.2. Radical, traces, semi-simplicité. Trois théorèmes de structure.

Comme dans le sous-paragraphe précédent, on suppose queK est un corps, et queA est une catégorie K-linéaire monoïdale symétrique rigi-de, avec End(1)4K.

8.2.1. THÉORÈME. On suppose K de caractéristique nulle etA^munie d’un foncteur monoïdal symétrique fidèle H:A_K^L-Modf,où L est une K-algèbre commutative semi-simple. AlorsAest de Wedderburn et H a les propriétés énumérées dans le corollaire 4.1.7 b).

DÉMONSTRATION. Comme dans la remarque 4.1.8, on se ramène au cas oùLest un corps. D’après le corollaire 4.1.7, il suffit alors de vérifier que, pour tout aA^(A,A), le polynôme caractéristique de H(a) est à coefficients dans K. Or, comme carK40 , ces coefficients s’expriment comme polynômes à coefficients rationnels en les tr(H(aⁱ) ). Puisque H est monoïdal symétrique, on a tr(H(aⁱ) )4H(tr(aⁱ) )H(End(1) ) 4K. r

Au vu de l’exemple 7.1.2, le pointa) de l’énoncé suivant peut être con-sidéré comme une version abstraite des résultats de Jannsen [25] (cf. [1]).

8.2.2. THÉORÈME. a) On suppose qu’il existe un foncteur monoïdal symétrique H de Avers une catégorie abélienne monoïdale symétrique V^,et un foncteur G:V_KL-Modf vérifiant G(1)c0 ,où L est une K-al-gèbre commutative semi-simple. Alors

(i) R^%8,

A^/8 est semi-simple,

(iii) le seul idéal monoïdalI^deA^{tel que}A^/Isoit semi-simple est I48.

b) Supposons de plus que K soit de caractéristique nulle, que G4Id et que H soit fidèle. Alors

(i) R₄^8,

A est de Wedderburn,

A est pseudo-abélienne si et seulement si A^/8 est abélienne.

DÉMONSTRATION. a) (i) et (ii) suivent de la proposition 8.1.1 b) et de la remarque 8.1.2 2); (iii), indiqué pour mémoire, a déjà été vu dans la proposition 7.1.4 c).

b) Pour (i), il faut voir que8%R. On remarque que, via H, la trace monoïdale tr s’interprète comme une «vraie» trace au sens de l’algèbre linéaire. Comme K est supposé de caractéristique nulle, un endomorphis-me d’un L-module de type fini dont toutes les puissances strictement positives sont de trace nulle est nilpotent, et on déduit de là que8(A,A) est un nil-idéal, donc contenu dansR^(A,A), pour tout objetAde A^{. Le} point (ii) découle du théorème précédent. Enfin, (iii) résulte de ceci et de la proposition 2.3.4 b). r

8.2.3. REMARQUES. 1) SiAest tannakienne et que Kest de caractéris-tique nulle, on verra dans la proposition 18.1.1 queA^/Rest encore tan-nakienne (neutre si A l’est). Par contre, on verra aussi que l’hypothèse de caractéristique nulle est nécessaire (contre-exemple 10.1.2, ou remar-que 19.5.4 1).

2) Par ailleurs, il ne suffirait pas dans le théorème 8.2.2 de supposer que H est un foncteur fibre Z/2-gradué, cf. contre-exemple ci-des-sous.

8.2.4. THÉORÈME. Supposons K de caractéristique nulle et A pseu-do-abélienne. Considérons les propriétés suivantes:

a) pour tout objet A de A, il existe un entier nD0 tel que LⁿA40 ,

b) A^/8 est semi-simple, et pour tout objet A de A^{, 8(A,A) est un} idéal nilpotent,

c) R₄^8,

d) A ne contient pas d’objet fantôme, i.e. d’objet non nul dont l’ima-ge dans A^{/8 est nulle,}

e) A est de Wedderburn,

f) A^/8 est tannakienne semi-simple.

g) la dimension de tout objet de A est un entier naturel, Alors

(i) a) ¨ b) ¨ c) ¨ d)1e) et a) ¨ f)1g), (ii) sous g), on a a) ` b) ` c) ` d).

8.2.5. REMARQUES. 1) La propriété a) présente l’avantage sur les suivantes d’être testable sur des «générateurs tensoriels» de A^{: soit} (A_a) une famille d’objetsA_adeAtels que tout objet deAsoit isomorphe à un facteur direct d’une somme directe de _l-monômes en les A_a; on

8.2.5. REMARQUES. 1) La propriété a) présente l’avantage sur les suivantes d’être testable sur des «générateurs tensoriels» de A^{: soit} (A_a) une famille d’objetsA_adeAtels que tout objet deAsoit isomorphe à un facteur direct d’une somme directe de _l-monômes en les A_a; on

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