Sections et tressages

15.1. Tressages.

On renvoie à [27] pour les notions de tressage et de foncteur monoï-dal tressé. Contentons-nous de les rappeler brièvement.

Un tressage sur une catégorie monoïdale (A^, l) est la donnée, pour tout couple d’objets (A,B)A3A, d’un élément

RA,BA^(AlB,BlA) tel que le diagramme

A_lB K

flg

C_lD

(15.1) ^RA,B

I

^RC,D

I

B_lA K

glf

D_lC

soit commutatif pour tousA,B,C,DAet tout couple (f,g)A(A,C) 3A^(B,D). On demande de plus que les RA,B vérifient les identités de tressage

R_A,BlC4a_B,C,A( 1_BlR_A,C)a_B,²¹_A,C(R_A,Bl1_C)a_A,B,C (15.2)

R_AlB,C4a_C,²_A,¹ _B(R_A,Cl1_B)a_A,C,B( 1_AlR_B,C)a_A,²¹_B,C (15.3)

où a est la contrainte d’associativité.

On dit que le tressage R est symétrique si on a de plus l’identité R_B,A4R_A,²¹_B.

(15.4)

Si (B^{,!) et (}A^, l) sont tressées, un foncteur monoïdal (s,sA) :(B^,!) K(A^, l) est dittressés’il est compatible avec les tressages. En d’autres termes, pour tous A,BB, on demande que le diagramme

s(A)ls(B)K

sA_A,B

s(A!B) (15.5) ^Rs(A),s(B)

I

^s(RA,B)

I

s(B)ls(A)K

sA_B,A

s(B!A) soit commutatif.

Notons que si s est strict, la condition devient simplement s(R_A,B) 4R_s(A),s(B).

Notons aussi qu’imposer que les tressages deB etAsoient symétri-ques n’impose aucune condition supplémentaire surs (et même en reti-re). Par contre, si les tressages deB^etAsont compatibles vias, et sis est essentiellement surjective, l’un est symétrique si et seulement si l’au-tre l’est.

15.2. Sorites.

Le sorite suivant complète le sorite 13.3.1:

15.2.1. SORITE. Soit (s,sA) :(B^,!,R)K(A^, l,S) un foncteur mo-noïdal tressé entre deux catégories momo-noïdales tressées, et soit u:s¨t un isomorphisme naturel de s sur un autre foncteur t. Alors l’unique structure monoïdale tAsur t faisant de u un morphisme de foncteurs mo-noïdaux (sorite 13.3.1) est tressée. r

On a aussi:

15.2.2. SORITE. Tout tressage R satisfait les identités R_A,B5C4diag (R_A,B,R_A,C)

R_A5B,C4diag (R_A,C,R_B,C).

(Cela résulte du sorite 1.1.3, en considérant R comme une transfor-mation naturelle _l ¨ _{l i}T, où T est l’échange des facteurs.) r

Rappelons également le sorite suivant [27, rem. 2.3]:

15.2.3. SORITE. Notons A^sym la catégorie symétrique de A ^(mêmes objets, mêmes morphismes mais produit défini par Al8B»4BlA, cf.

[53, I.0.1.4]).Alors tout tressage R surAdéfinit une structure monoïda-le sur monoïda-le foncteur identique Id_A:A^sym_KA^. _r

Enfin:

15.2.4. SORITE. Soient (B^,!,R) une catégorie monoïdale tressée, (A^, l) une catégorie monoïdale et (s,sA) :(B^,!)K(A^, l) un foncteur monoïdal. Pour A,BB^{, posons}

RA,^s B4sA_B,²¹_As(R_A,B)sA_A,B:s(A)_ls(B)Ks(B)_ls(A).

Soit a la contrainte d’associativité de A. Alors on a les identités (sA_B,Cl1s(A))²¹RA,^s BlC( 1s(A)lsA_B,C)4

4a_{s(B),s(C),s(A)}( 1_s(B)lR_A,^s _C)a_s(B),²¹ _s(A),s(C)(R_A,Bl1_s(C))a_{s(A),s(B),s(C)} ( 1s(C)lsA_A,B)²¹R_A^s_lB,C(sA_A,Bl1s(C))4

4as(C),21 s(A),s(B)(RA,Cl1s(B))as(A),s(C),s(B)( 1s(A)lRB,^s C)as(A),21 s(B),s(C). r En d’autres termes, R^s vérifie «presque» les relations de tressage (15.2) et (15.3).

15.3. Sections.

Reprenons maintenant les notations et hypothèses du théorème 13.2.1, en présence d’un tressage (²¹). Ce dernier reste muet sur la com-patibilité des sections monoïdales à un tressage éventuel. Nous allons voir que, dans ce cas, la situation est très «rigide».

SoitR un tressage surA. On en déduit un tressage R4p_A(R) sur A^. Soit (s,sA) une section monoïdale de p_A.

15.3.1. Proposition. a) Il existe un automorphisme (non monoïdal) u de s tel que, pour tout couple d’objets A,BA^{, on ait}

s(R_A,B)4uB2l1A

sA_B,ARA,B(u_AluB)sA_A,²¹_B. (15.6)

b) On a l’identité

s(RB,A)s(RA,B)4sA_A,BRB,ARA,B(uA2

luB2)sA_A,²¹_BuA22lB. (15.7)

DÉMONSTRATION. a) En tenant compte du sorite 15.2.3, on applique la proposition 13.7.1 dans la situationB4A^sym,T4(Id_A,R),s_A4s_B4s.

b) Remarquons les relations de commutation u_BlAs(R_A,B)4s(R_A,B)u_AlB,

(²¹) On rappelle que l’hypothèse de commutativité des End(1)-bimodules A^(A,B) est alors automatiquement satisfaite.

due au fait que u est un automorphisme du foncteur s, et R_A,B(u_Alu_B)4(u_Blu_A)R_A,B,

due au fait que R est un tressage. On déduit alors de (15.6) s(RA,B)4sA_B,ARA,B(u_Alu_B)sA_A,²¹_Bu_A²¹_lB (15.8)

d’où

s(R_B,A)s(R_A,B)4

4u_A²_l¹_BsA_A,BR_B,A(u_Blu_A)sA_B,²¹_AsA_B,AR_A,B(u_Alu_B)sA_A²_,¹_Bu_A²_l¹_B4 4u_A²_l¹_BsA_A,BR_B,A(u_Blu_A)R_A,B(u_Alu_B)sA_A,²¹_Bu_A²_l¹_B4

4u_A²_l¹_BsA_A,BR_B,AR_A,B(u_A²_lu_B²)sA_A,²¹_Bu_A²_l¹_B4 4sA_A,BRB,ARA,B(uA2

luB2)sA_A,²¹_BuA22lB

comme annoncé. r 15.3.2 REMARQUES.

a) On prendra garde au fait que les relations de commutation appa-raissant dans la preuve de la proposition 15.3.1 a) n’ont pas de raison d’ê-tre vraies en échangeantR_A,Bets(R_A,B). De même,u_AlBetu_Alu_Bn’ont pas de raison de commuter.

b) Dans le sorite 15.2.3, la condition, pour un isomorphisme naturel R: l¨_liT, de définir une structure monoïdale sur le foncteur identi-queA^sym_KA^{, est}plus faibleque les conditions de tressage. Il en résulte que l’automorphisme u n’est pas arbitraire: il vérifie deux conditions supplémentaires du type «cross-effects» non commutatifs d’ordre 3, qui reviennent à dire que la fonction AOuA est «de degré G2» pour la structure monoïdale. Nous laissons au lecteur le soin d’expliciter ces re-lations, que nous n’utiliserons pas.

15.3.3. PROPOSITION. Pour une section monoïdale (s,sA), les condi-tions suivantes sont équivalentes:

(i) R^s est un tressage (notation du sorite 15.2.4).

(ii) Il existe un automorphisme (non monoïdal) v de Id_Atel qu’on

ait, pour u comme dans la proposition 15.3.1, l’identité (u_Alu_B)sA_A,²¹_Bu_A²¹_lBsA_A,B4(v_Alv_B)v_A²¹_lB.

Si ces conditions sont vérifiées, le tressage R^s ne dépend pas du choix de s: pour un choix de v comme dans (ii), il est donné par la formule

RA

A,B4RA,B(v_Alv_B)v_A²¹_lB.

DÉMONSTRATION. En utilisant la formule (15.8), on obtient l’identité R_A,²¹_BR^s_A,B4(u_Alu_B)sA_A,²¹_Bu_A²_l¹_BsA_A,B.

Si (i) est vérifié, le premier membre de cette identité définit une structure monoïdale sur Id_A:A^symKA^sym couvrant la structure monoï-dale triviale surId_A. (ii) résulte alors de la proposition 13.8.1. Pour la ré-ciproque, remarquons que l’identité de (ii) implique que R^s fait commu-ter le diagramme (15.1) pour tous morphismes deA. En particulier, dans le sorite 15.2.4 le premier membre des deux identités se réduit respecti-vement à R^sA,BlC et à R^sAlB,C: R^s est donc bien un tressage.

Soit (t,tA) une autre section monoïdale. D’après le théorème 13.2.1 b), s ettsont monoïdalement conjuguées. En d’autres termes, il existe une famille (v_A) conjuguant s et t et vérifiant l’identité

vAlB sA_A,B4tA

A,BvAlvB. On a alors

R^t_A,B4(v_B²¹lv_A²¹)R^s_A,B(v_Alv_B).

Ainsi, si R^s est un tressage, on a R^t4R^s.

La dernière assertion est claire à partir de la formule (15.8). r Nous ne connaissons pas de critère pour que les conditions de la pro-position 15.3.3 soient vérifiées, à l’exception d’un cas: celui où le tressage résiduel R est symétrique. Rappelons la définition suivante [27, § 6]:

15.3.4. DÉFINITION. Une structure balancée sur une catégorie mo-noïdale tressée (A, l,R) est un automorphisme u4(uA)AA du fon-cteur identique de A vérifiant l’identité

RB,ARA,B4(uAluB)u2Al1B

.

15.3.5. THÉORÈME. Soit (A^, l,R) une catégorie monoïdale tressée.

On suppose que le radical est un idéal monoïdal, et on note(A^, l,R)la catégorie monoïdale tressée obtenue en quotientant par le radical.

a) Si R est symétrique, R est balancé via un automorphisme u véri-fiant p_A(u)41.

b) Si de plus carKc2 ,les conditions de la proposition 15.3.3 sont vérifiées. Le tressage RA correspondant est l’unique tressage symétrique de A tel que

(i) p_A(RA)4R;

(ii) (Id_A,RA) est monoïdalement isomorphe à (Id_A,R) (cf. sorite 15.2.3).

c) Si de plus R est symétrique, on a s(R)4R pour toute section mo-noïdale s.

DÉMONSTRATION.

a) On applique la proposition 13.8.1 au foncteur monoïdal (Id_A,R_A,BR_B,A).

b) L’identité (15.7) de la proposition 15.3.1 donne une nouvelle identité

(u_AluB)u2Al1B

4sA_A,²¹_BuA2lB

sA_A,B(u_A²²_luB22).

Comme carKc2 , l’élévation au carré est bijective dans 11R^{. En} particulier,u a une unique racine carréev. CommeuAlBetuAluBsont centraux dansA^(AlB), sA_A,²¹_Bu_A²_lBsA_A,B et (u_A²²lu_B²²) commutent. On a donc

(vAlvB)vA2l1B

4sA_A,²¹_BuAlBsA_A,B(uA21 luB21)

ce qui n’est autre que la condition (iii) de la proposition 15.3.3.

Ceci démontre que RA vérifie les conditions (i) et (ii) du théorème.

Pour voir l’unicité, soit RA

8 un autre tressage symétrique vérifiant ces

conditions. En particulier, (Id_A,RA

8) est monoïdalement isomorphe à (Id_A,RA). Il existe donc m11R ^{tel que}

RA 8

A,B4RA

A,Bm_AlB(m²_A¹lm²_B¹)

pour tout couple d’objets (A,B). La symétrie deRAet deRA8donne main-tenant l’identité

m_A²_lB4m_A² lm_B².

En en prenant la racine carrée, on trouve bien que RA 8 4RA. c) Cela résulte de la dernière assertion de la proposition 15.3.3. r

15.3.6. EXEMPLE. Considérons la quantification de Drinfeld-Cartier Aehf d’une catégorie monoïdale stricte symétrique A munie d’un «tres-sage infinitésimal»t_A,B,cf.[28, ch. 9]. Rappelons seulement que Aehf a les mêmes objets queA, et que Aehf(A,B)4(A(A,B) )ehf; le tressage deAehfest de la formeR_A,B4R_A,Bexp

g

^h2t_A,B

h

(et la contrainte d’asso-ciativité est construite à partir de tA,B au moyen d’un associateur de Drinfeld). En général ce tressage n’est pas symétrique, même modulo h². Toutefois, le théorème 15.3.5 b) montre par un passage à la limite que (Aehf,R) admet une structure balancée, et même que Aehf admet un unique tressage symétrique RA se réduisant enR et tel que (Id,RA) soit monoïdalement isomorphe à (Id,R) dans le cadre du sorite 15.2.3.

En particulier il n’est pas nécessaire de supposer l’existence de duaux dans A pour construire une structure balancée sur R, comme dans [12].

15.3.7. REMARQUE. Il est probable que les parties b) et c) du théorè-me sont fausses en caractéristique 2. Il serait intéressant d’exhiber un contre-exemple.

15.4. Compléments.

Pour finir, examinons de plus près le défaut de validité des conditions de la proposition 15.3.3 et le défaut de commutation du diagramme (15.5).

On pose u_A,B4R_A,²¹_B(sA_B,A)²¹s(R_A,B)sA_A,B et n_A,B41_AlB2u_A,B. On a n_A,BC_s¹(AB) (cf. § 13.6.9 pour la notation).

Soient

e4e(R)4sup]rNnA,BCsr(AB) pour tout (A,B)A₃A₍ e4e(R)4sup]rN[ 1_Alm_B1m_Al1_B,nA,B]R^(AlB)^r

pour tout (A,B)A₃A^{et tout (m}A,m_B)R^(A,A)₃R^(B,B)₍^. Notons n_A,B l’image de n_A,B dans C^[e](AB) (notation du § 13.6.9).

15.4.1. PROPOSITION. a) L’élément e4e(R)NN]Q( et les élé-ments n_A,B de C^[e](AB)ne dépendent pas du choix de s: ils ne dépen-dent que de R. Si A est stricte, on a les identités

n_A,BlC4(R_A,Bl1_C)²¹( 1_Bln_A,C)(R_A,Bl1_C)1n_A,Bl1_C (15.9)

n_AlB,C4( 1_AlR_B,C)²¹(n_A,Cl1_B)( 1_AlR_B,C)11_Aln n_B,C la seconde pouvant aussi s’écrire

n_AlB,C4(R_B,Al1_C)( 1_Bln_A,C)(R_B,Al1_C)²¹11_Aln_B,C. (15.11)

b) L’élément eNN]Q(ne dépend pas du choix de s:il ne dépend que de R. On a eDe,et e4 Qsi et seulement si les conditions de la pro-position 15.3.3 sont vérifiées.

c) Soit T: (A8, l,R8)K(A^, l,R) un foncteur monoïdal strict tressé radiciel (avec (A₈^, l) stricte). Alors e(R8)Ge(R).

DÉMONSTRATION. a) Soit s8 une autre section monoïdale. D’après le théorème 13.2.1 b),sets8sont conjuguées par une famille (v_A)_AA d’élé-ments de 11R(A) vérifiant l’identité (v_AlB)sA_A,B4tA

A,B(v_Alv_B). Si on note u^A8^,B4R_A,²¹_B(sA8^B,A)²¹s8(R_A,B)sA8^A,B, on en déduit l’identité

u^A,8 ^B4(vAlvB)uA,B(vAlvB)²¹.

Si on pose n^A8^,B41_AlB2u^A,8 ^B, cette identité implique d’abord que n^A,8 ^BR^(AlB)^e, ensuite que quen^A,8 ^BfnA,B(modR^(AlB)^e11, et enfin que son image mod R^(AlB)^e11 est dans C^[e](AB).

Pour établir (15.9) et (15.10), on peut supposersstricte par le pointc) de la proposition 13.4.2. En appliquants à (15.2) et (15.3), on obtient les identités

s(RA,BlC)4( 1_Bls(RA,C) )(s(RA,B)l1_C) s(R_AlB,C)4(s(R_A,C)_l1_B)( 1_Als(R_B,C) ).

On en déduit

u_A,BlC4(R_A,Bl1_C)²¹( 1_Blu_A,C)(R_A,Bl1_C)(u_A,Bl1_C) u_AlB,C4( 1_AlR_B,C)²¹(u_A,Cl1_B)( 1_AlR_B,C)( 1_Alu_B,C)

Les identités (15.9) et (15.10) s’en déduisent facilement. En utilisant l’identité RB,AlC4( 1_AlRB,C)(RB,Al1_C) et l’égalité nA,Cl1_B 4R_B,AlC( 1_Bln_A,C)R_B,²¹_AlC, on peut réécrire le premier terme du mem-bre de droite de (15.10):

(R_B,Al1_C)( 1_Bln_A,C)(R_B,Al1_C)²¹. b) résulte facilement des calculs de a).

c) Soit s(resp. s8) une section monoïdale stricte de p_A(resp. p_A8) (il en existe d’après la proposition 13.4.2). Posons

uT(A),T(B)4(RT(A),T(B))²¹s(RT(A),T(B)), u^A,8 ^B4(R^A,8^B)²¹s8(R8^A,B).

D’après la proposition 13.7.1,Ts8 ets T sont conjuguées par une fa-mille (w_A)_AA8 d’éléments de 11R(T(A) ) vérifiant l’identité

wAlB4wAlwB. On déduit de ces formules que

Tu^A,8 ^B4(w_Alw_B)u_T(A),T(B)(w_Alw_B)²¹. d’où il est aisé de conclure. r

15.4.2. REMARQUE. Les identités (15.9) et (15.10) ne sont autres que les relations de tressage infinitésimales de Drinfeld-Cartier (cf.[28, ch.

9]), vérifiées parht_A,Bde l’exemple 15.3.6. Toutefois,n_A,Best «antisymé-trique» si R est symétrique, alors que htA,B est «symétrique» dans la quantification de Drinfeld-Cartier.

Dans le document Nilpotence, radicaux et structures monoïdales (Page 110-118)