IV. Enveloppes
17. Le cas non monoïdal: enveloppes pro-semi-simples
Dans cette section, nous tirons les fruits du théorème 12.1.1; elle peut être considérée comme un échauffement préparatoire aux sections suivantes.
17.1. Enveloppes pro-semi-simples.
SoientA une petiteK-catégorie etpA:AKAle foncteur de projec-tion sur le quotient de A par son radical. On a alors un foncteur
canonique
A-ModfKA-Modf
entre catégories de modules à gauche deK-dimension finie (nous dirons brièvement:K-finis), induit par MOMipA, cf.définition 1.3.3. Ce fon-cteur est pleinement fidèle (du fait quepAest plein et surjectif). Il en est de même du foncteur composé avec pA-Mod
A-ModfKA-Modf si A-Mod est abélienne semi-simple (22).
Prenons pour Aune algèbre A(associative unitaire) sur un corps K parfait. On a le foncteur d’oubli, fidèle et exact
v:A-ModfKVecK.
La situation ne change pas si l’on remplaceApar sa complétion profi-nie (complétion eu égard aux idéaux bilatères de K-codimension finie).
On peut donc la supposer, et on la supposera, profinie, ce qui permet d’énoncer:
17.1.1. LEMME. Si A est profinie, le quotient A de A par son radical est semi-simple(profinie, non nécessairement de K-dimension finie).A fortiori, le foncteur
A-ModfKA-Modf est pleinement fidèle.
DÉMONSTRATION. Écrivons A comme limite projective filtrante limJAa à flèches de transition surjectives. Comme un élément inversible de A s’identifie à une collection d’éléments inversibles compatibles de Aa, on obtient, en revenant à la définition des radicaux, que le radicalR de Aest la limite lim
JRades radicaux de Aa. On a alors un plongement A/R%Klim
J(Aa/Ra), le composé avec la projection sur chaque algèbre se-mi-simpleAa/Ra étant surjective. Comme A/R est profinie (R étant un idéal fermé), cette injection est donc un isomorphisme, d’où le résul-tat. r
(22) Il y a lieu éventuellement de prendre un second univers pour ne travailler qu’avec de petites catégories.
On sait queA-Modf est uneK-catégorie de Wedderburn (proposition 2.4.4). On peut donc appliquer le théorème 12.1.1, et obtenir une section fonctorielle s:A-ModfKA-Modf, deux telles sections étant conju-guées.
D’après [53, II.2.6.3] ou [54, 2.2], il existe une K-algèbre pro-semi-simple As, non nécessairement de K-dimension finie, telle que le compo-sévisinduise une équivalence de catégories A-ModfKAs-Modf, et un homomorphisme AKAs.
On rappelle qu’étant donné un homomorphisme f :A8 KA de K-al-gèbres profinies et le foncteur associéf* :A-ModfKA8-Modf, on a (cf.
[53, II.2.6.3] pour l’énoncé dual):
– f est surjectif si et seulement si f* est pleinement fidèle, et pour toutA-moduleK-finiM, tout sous-objet def* (M) provient d’un sous-ob-jet de M;
– fest injectif si et seulement si tout A8-moduleK-finiM8 est sous-quotient d’un module de la forme f* (M).
En particulier, le morphisme AKAs est une injection. Comme deux sections s sont conjuguées, As est bien définie à isomorphisme près. Il découle par ailleurs du lemme précédent, et de loc. cit., que l’on a une surjection AsKA/R.
On peut considérer As comme une «enveloppe pro-semi-simple» de l’algèbre profinie A: d’après le lemme 12.1.2, les classes d’isomorphi-smes de A-modules indécomposables sont en bijection avec les classes d’isomorphismes de As-modules simples.
Cette bijection est donnée de la manière suivante: à tout indécompo-sableM dansA-Modf, on peut donner une structure deAs-module éten-dant celle deA-module. On le note alorsMs; il est simple, etEndAsMsest le corps gauche EndA(M)4EndAM/rad (EndAM).
L’algèbre pro-semi-simple As est semi-simple, i.e. de dimension finie sur K, si et seulement siA est de type de représentation fini. Dans ce cas, siMaparcourt un système de représentants des classes d’isomorphi-smes de A-modules indécomposables K-finis, notons na la dimension de Ma sur le corps gauche Da4EndA(Ma). On a As`
»
a Mna(Dao).17.1.2. REMARQUES.
a) D’après [14, 2.17], toute K-catégorie abélienne dont tout objet est de longueur finie, dont toute algèbre d’endomorphismes est de K-dimen-sion finie, et admettant un générateur, est équivalente à une catégorie A-Modf pour une K-algèbre A convenable de dimension finie sur K.
b) Pour l’algèbre profinieA4KeT1,R,Tnf, la catégorieA-Modfest naturellement équivalente à la catégorie RepK(Gan) des représentations de dimension finie du groupe vectorielGan. En effet, la cogèbre duale de As’identifie naturellement à la cogèbre sous-jacente à la bigèbre affine O(Gan), et on conclut par [54, 3].
c) SoitJl’idéal deA4A-Modf formé des morphismes qui se factori-sent à travers un objet projectif deA-Modf. Le quotient A/Js’appelle la catégoriestabledesA-modules finis, cf.[3, p. 23], et se noteA-Modf. On a un diagramme commutatif
A-Modf K
pr A-Modf
I I
A-Modf K
pr A-Modf.
Le foncteur du basprest un foncteur plein surjectif entre catégories semi-simples, donc admet une section. En fait, on peut partitionner les classes d’isomorphismes d’objets simples deA-Modf en deux ensembles:
les projectifs (P) et les autres (NP);prenvoie les objets dansPsur 0 , et la restriction de pr à la sous-catégorie K-linéaire pleine de A-Modf en-gendrée par les objets dansNPest une équivalence de catégories. On en déduit que A-Modf`As-Modf pour un quotient As de As «correspon-dant» à NP. On peut alors former le «push-out» A8 4As3AsA/R.
Auslander a conjecturé que siAetBsont deuxK-algèbres de dimen-sion finie telles queA-ModfetB-Modfsont équivalentes (équivalence de Morita stable), alors il y a le même nombre de modules simples non-pro-jectifs surAet surB,cf.[3, p. 223]. Cela équivaut donc à dire que les al-gèbres push-out A8 et B8 sont Morita-équivalentes.
Rappelons d’autre part que si A est de dimension globale finie (au sens de [11]), on peut lui associer uneK-algèbreA×dite répétitive (de di-mension infinie sur K), et une équivalence de catégories
Db(A-Modf)KA×-Modf
cf.[50, 5], [22]; on peut d’ailleurs replacerA× par sa complétion profinie.
Ce qui précède permet alors de «décrire» le quotient deDb(A-Modf) par son radical.
17.2. Lien avec l’algèbre d’Auslander.
L’algèbre d’Auslander d’une K-algèbre A est Aus(A)»4EndA
g 5
a Mah
,oùMaparcourt un système (en général infini) de représentants des clas-ses d’isomorphismes de A-modules indécomposables K-finis. Lorsque A est de dimension finie sur K, elle partage avec As la propriété que les classes d’isomorphismes de A-modules indécomposables sont en bijec-tion avec les classes d’isomorphismes de Aus(A)-modules simples, cf.
[3, 4.9.5].
Cette bijection est la suivante: à tout indécomposable M dans A-Modf, on associe le Aus(A)-module simple SM»4EndA(M). En tant que K-algèbre, EndA(M) s’identifie à EndAus(A)SM (loc. cit.).
L’algèbre Aus(A) est de dimension finie sur K si et seulement si A est de type de représentation fini. Dans ce cas,
Aus(A)»4Aus(A) /rad (Aus(A) )4
»
a Da.Ainsi, Aus(A) est Morita-équivalente à As(23).
17.3. Cas des algèbres héréditaires.
Rappelons qu’une K-algèbre est dite héréditaire (à gauche) si les conditions équivalentes suivantes sont satisfaites cf. [11, I.5]:
– tout idéal à gauche est projectif,
– tout sous-module d’un module projectif (à gauche) est projectif.
C’est une condition Morita-invariante.
Supposons pour simplifier K algébriquement clos et A de dimension finie surK, minimale dans sa classe d’équivalence de Morita (ce qui re-vient à dire queA4A/Rest commutative). AlorsAest héréditaire si et seulement si A4KKD est l’algèbre des chemins d’un carquois fini DK (et sans boucle orientée), cf. [3, 4.2], [13, 6]. Un A-module n’est donc rien d’autre qu’une représentation K-linéaire de DK, et A s’identifie en fait à l’algèbre tensorielle sur un A-bimodule fini, cf. [13, 6].
Supposons en outre A de type de représentation fini et connexe.
(23) Aus(A) s’identifie d’ailleurs au quotient par son radical de l’algèbre des chemins du carquois d’Auslander-Reiten deAdont il a été question au § 3.1.2,cf.
e.g. [3, 4.1.11].
Alors par le théorème de Gabriel (cf.[3, 4.7.6], [51, 2.9]), le graphe non-orientéDsous-jacent àKDest un diagramme de Dynkin des séries ADE.
En outre, les indécomposablesMasont en bijection avec les racines posi-tives, et lesnane sont autres que leurs «longueurs» respectives (somme des coefficients dans la base de racines standard). Cela détermine As dans ce cas.
Voici deux exemples. Soit d’abordAla K-algèbre des matrices trian-gulaires supérieures de taille n. C’est l’algèbre KKD pour le diagramme de DynkinDK4An(orienté de gauche à droite). Dans la base standard de racinesa1,R,an, les racines positives sont les aij4
!
iGkEjak, 0EiEj Gn11. On en déduit que
As`
»
1GkGn
(Mk(K) )n112k.
Prenons maintenant A4KE6, l’algèbre des chemins du carquois de Dynkin (orienté) à six sommetsKD4E6. À l’aide des planches de racines [6], on trouve
As`K63M2(K)33M5(K)3M6(K)23M7(K)33
3M8(K)23M9(K)3M10(K)3M11(K) . 17.3.1. REMARQUE. Dans le cas des algèbres de cheminsA4KDK, un avatar de As a été construite par voie géométrique dans [52].