Généralités - Radical et rigidité - Nilpotence, radicaux et structures monoïdales

II. Radical et rigidité

6. Généralités

6.1. Idéaux monoïdaux, duaux.

SoitKun anneau commutatif unitaire, et soit (A^, l) uneK-catégorie monoïdale.

6.1.1. DÉFINITION. Un idéalJdeAest ditmonoïdal(¹³) s’il est stable par les transformations 1_Cl2 et 2^l1_C pour tout objet C de A^. 6.1.2. LEMME. a) Si Jest monoïdal, il est stable par produit monoï-dal à gauche et à droite par un morphisme arbitraire. En particulier, on a une structure monoïdale induite sur le quotient A^/J.

(¹³) Jannsen [26] dit plutôt tensoriel.

b) La notion d’idéal monoïdal est stable par somme, intersection,

Rappelons qu’un objetAd’une catégorie monoïdaleAadmet un dual (à droite) s’il existe un objet A^qA et des morphismes d’évaluation

eA: AlA^qK1

Il en résulte que le foncteur2^lA^qest adjoint à gauche au foncteur 2^lAet que le foncteur A^ql2 est adjoint à droite au foncteurAl2. Plus précisément, pour tous objets B,C de A, l’homomorphisme composé et de même pour l’autre adjonction (cf. e.g. [9, 1]).

SiAetBont pour duaux à droiteA^qetB^q, alorsAlBa pour dual à droite

(AlB)^q4B^qlA^q

avec

eAlB4eAi( 1AleBl1A^q).

(6.1)

On définit de manière duale la notion de dual à gauche ^qA. Si A ad-met un dual à droite et un dual à gauche, on a (^qA)^q4^q(A^q)4A. En général, ^qA et A^q ne coïncident pas.

6.1.3. DÉFINITION. On dit que (A^, l) estrigidesi tout objet a un dual à droite et est un dual à droite (ou de manière équivalente, si tout objet a un dual à droite et un dual à gauche).

6.1.4. SORITE. SiAest rigide, il en est de même deA⁵^,A^ll^–^– et deA⁵^ll^–^– (notations du § 1). Il en est aussi de même du quotient de A ^{par tout} idéal monoïdal. r

SoientAetBdeux objets deA^,^Aayant un dual à droite. Par adjon-ction, on a un isomorphisme canonique de K-modules:

iAB:A⁽¹^,^A^qlB)K^AA^(A^,^B) iAB(f)4(e_Al1_B)i( 1_Alf), (6.2)

d’inverse

i²_AB¹(f)4( 1_A^qlf)ih_A. (6.3)

Si B a aussi un dual à droite, la composition de deux morphismes f A^(A^,^{B) et}gA^(B,C) peut se calculer comme suit («composition des correspondances»):

gif4iAC

(

^{( 1}A^qleBl1_C)(i²_AB¹fli2BC1

)

(6.4)

Appliquant iAC21, cette formule fondamentale exprime la commutativi-té du diagramme

Prova schema in tabulazione

1 K

A^qA K

1Aq lf

A^qB 4 A^qB

I

¹^A^q^A^l^h^B

I

¹^A^q^B^l^h^B

I V

B^qB ^hÂ^l¹^B^qK^B A^qAB^qB ¹Â^q^lê^B^l¹K^B A^qBB^qB ¹Â^q^lê^B^l¹K^B A^qB

1Bqlg

I

¹^A^q^AB^q^l^g

I

¹^A^q^BB^q^l^g

I

¹^A^q^l^g

I

B^qC ^hÂ^l¹^B^qK^C A^qAB^qC ¹Â^q^l^f^l¹^B^q^CK A^qBB^qC ¹Â^q^lê^B^l¹K^C A^qC.

On a aussi les variantes

giiAB(f)4iAC( ( 1_A^qlg)if) (6.5)

iBC(c)if4iAC( (eBl1C)i(fl1B^qlC)i( 1Alc) ) (6.6)

qui se lisent sur le même diagramme.

SiA,Bont des duaux à droite et quefA^(A^,B), on définit (loc. cit.) le transposé f^t (ou dual à droite) de f comme étant le composé

(6.7) B^q41_lB^qK

hAl1

A^q_lA_lB^qK

1lfl1

A^q_lB_lB^qK

1leB

A^q_l14A^q, ce qui s’écrit aussi

f^t4( 1A^qleB)i(i21AB(f)l1B^q) , (6.8)

et on a alors la formule

(gif)^t4f^tig^t. (6.9)

On a de même une notion de transposé^tfà gauche, et (^tf)^t4^t(f^t)4f.

En général, ^tf et f^t ne coïncident pas.

On suppose désormais que A est rigide.

6.1.5. LEMME. Tout idéal monoïdal J ^vérifie J^(A,^B)4i_AB

(

J⁽¹^,^A^qlB)

)

(J^(A^,^B))^t₄J^(B^q^,^A^q^{) .}

DÉMONSTRATION. La première formule découle des formules (6.2), (6.3). Pour la seconde,

(J^(A,^B))^t₄( 1_A^q_leB)_i(J⁽¹^,A^qlB)_l1_B^q)%

%( 1_A^qleB)iJ^(B^q^,^A^qlBlB^q)%J^(B^q^,^A^q^{) .} L’analogue pour les duaux à gauche de ces deux formules conduit à

t(J^(C,^D)⁾₄J⁽^q^D,^qC). En posant B4^qC, A4^qD (ce qui est loisible puisqueAest rigide), et en appliquant ^t, on obtient finalement l’inclusion opposée J^(B^q^,^A^q⁾^%(J^(A,^B))^t. r

On a une réciproque partielle du lemme 6.1.5 (mais voir aussi le lemme 6.2.1 dans le cas symétrique):

6.1.6. LEMME. Soit Iun 1-idéal à gauche deA (définition 1.3.4).La formule

I⁽^l⁾^(A^,^B)₄iAB

(

I^(A^qlB)

)

définit un idéal de A ^contenant I. Cet idéal est monoïdal à gauche (stable par produit _l à gauche).

DÉMONSTRATION. SoitgA^(B,C) un morphisme. En utilisant la for-mule (6.5), on calcule

giI⁽^l⁾^(A^,^B)4gii_AB

(

I^(A^qlB)

)

₄i_AC

(

( 1_A^qlg)iI^(A^qlB)

)

%iAC

(

I^(A^qlC)

)

₄I⁽^l⁾^(A,^C).

La stabilité par composition à droite se démontre de même en utili-sant (6.6).

Enfin, soit C un objet de A. Observons que l’homomorphisme 1_Cl2:A^(A^,^B)_KA^(ClA,ClB)

n’est autre que

fOiClA,ClB[ ( 1A^qlhCl1B)iiAB21(f) ] où hC: 1KC^qlC est la coévaluation. On a donc 1_ClI⁽^l⁾^(A^,^B)₄iClA,ClB[ ( 1_A^qlhCl1_B)i

(

I^(A^qlB)

)

%iClA,ClB

(

I^(A^qlC^qlClB)

)

₄I⁽^l⁾^(ClA,ClB).

On conclut en appliquant (la moitié du) lemme 6.1.2. r 6.2. Le cas symétrique.

On suppose désormais que A (qui rappelons-le, est supposée rigide) est munie d’un tressage symétriqueR(une contrainte de commutativité, dans le langage de Saavedra). On renvoie à 15.1 pour plus de détails sur les tressages.

Sous cette hypothèse, ^qA4A^q (duaux à droite et à gauche coïnci-dent), et on a

eA^q4eAiRA^q,A,hA^q4RA^q,AihA,A^{S S}4A, (6.10)

tf4f^t, (f^t)^t4f.

(6.11)

On a aussi l’identité

iC^q,C^q(R_C^q_,_C_if)4iC,C(f)^t (6.12)

(en effet, par (6.8) et (6.3), l’image pari2C^q1,C^qdu membre de droite s’écrit ( 1_C^q_leC)i(f_l1_C^q), tandis que celle du membre de gauche s’écrit (e_C^q_l1_C^q)_i( 1_C^q_l(R_C^q_,_C_if) )4( (e_C_iRC^q,C)_l1_C^q)_i( 1_C^q_lf), et l’é-galité des deux membres s’ensuit par permutation des facteurs C^q.)

Par ailleurs, si A,B,C,D sont quatre objets de A ^et ^f A⁽¹^,^A^qlB), cA⁽¹^,^C^qlD), on a la formule

iA,B(f)liC,D(c)4iAlC,B_lD( (RA^qlB,C^ql1_D)i(flc) ).

(6.13)

Le lemme suivant complète 6.1.6.

6.2.1. LEMME. Soit I^un 1-idéal à gauche deA (définition 1.3.4).La formule

I⁽^l⁾^(A^,^B)4i_AB

(

I^(A^qlB)

)

définit un idéal monoïdal I⁽^l⁾^; c’est le plus petit idéal monoïdal de A contenant I^.

DÉMONSTRATION. On a vu que I⁽^l⁾ est un idéal contenant I^{, stable} par produit à gauche. Par tressage, on a aussi I⁽^l⁾^(A^,^B)l1_C

%I⁽^l⁾^(AlC,BlC) pour trois objetsA,B,C. La deuxième assertion est immédiate compte tenu du lemme 6.1.5. r

6.3. Interprétation.

Pour expliciter le sens des lemmes 6.1.5 et 6.2.1, notons:

– G l’ensemble des 1-idéaux à gauche de A^; – I l’ensemble des idéaux [bilatères] de A^;

– T l’ensemble des idéaux [bilatères] monoïdaux de A^.

Ces trois ensembles sont ordonnés par inclusion. On a le diagramme suivant d’applications croissantes:

T ˜

j I

t5 ^r8 G où

– i associe à un idéal monoïdal l’idéal sous-jacent;

– j associe à un idéal le plus petit idéal monoïdal le contenant;

– r associe à un idéal le 1-idéal à gauche sous-jacent (r(I^)(A) 4I⁽¹^,^A));

– t associe à un 1-idéal à gauche I l’idéal monoïdal I⁽^l⁾ construit dans le lemme 6.2.1.

On a évidemmentji4Id. Le lemme 6.1.5 dit quetri4Id, tandis que le lemme 6.2.1 dit que rit4Id. En particulier, les applications t et ri sont des bijections inverses l’une de l’autre. D’autre part, soit I^I.

Commej(I^{) contient}^r(I^{), on a}^j(I⁾^&tr⁽I^{), et}^j(I⁾₄^tr⁽I) si et seulement si tr(I⁾^&I^.

Par abus de notation, on écrira encore I⁽^l⁾ ^pour tr(I^{) si} I^I.

Par ailleurs, les ensembles G,I,T sont munis d’opérations internes

«somme», «intersection». Il est clair que les applications i,t,r respec-tent ces opérations.

Le cas du produit est plus intéressant.A priori, seulsIetTsont mu-nis d’une opération «produit» évidente. On peut alors munirG d’un tel produit en posant: IQJ^»4ri(t(I⁾Qt(J) ) (en formule:

(IQJ^)(B)₄

!

A iAB(I^(A^qlB) )iJ^(A).

(6.14)

Les applicationsi,t,rrespectent alors aussi le produit. On a aussi la formule

(IQJ^)(B)₄

!

u:AlA8 KB

Im(J^(A)lI^(A₈⁾_KA⁽¹^,^{B) )} (6.15)

qui montre que le produit des idéaux monoïdaux (dans le cas rigide) est symétrique.

PourA8 4A^qlBetu4e_Al1_B, le terme du second membre de (6.15) s’écrit en effet (e_Al1_B)i(J^(A)lI^(A^qlB) ), qui coïncide d’après (6.6) avec le terme courant du second membre de (6.14) (donc avec (IQJ)(B)). Réciproquement, J^(A)lI^(A₈⁾^%^(t(J⁾Qt(I^{) )(A}lA8) puisque t(J⁾

ett(I) sont des idéaux monoïdaux, d’où il découle que le second membre de (6.15) est contenu dans (IQJ^)(B).

6.3.1. EXEMPLE. Si A est la catégorie monoïdale des motifs de Gro-thendieck pour l’équivalence rationnelle (motifs ’de Chow’) à coefficients dansKet siKest un corps, il y a bijection entre les idéaux monoïdaux de A et les relations d’équivalence adéquates sur les cycles algébriques à coefficients dans K.

Il est plus facile de décrire la bijection entre1-idéaux à gauche deA et relations d’équivalence adéquates (cf.[4][26]). SoitI^{un tel}1-idéal, c’e-st-à-dire la donnée d’une famille de sous-groupes I^{(M) de} A⁽¹^,^M⁾ stable par l’action à gauche des correspondances, oùM décrit les objets de A. Pour le motif M d’une variété X tordu m fois à la Tate, on a A⁽¹^,^M)₄^CH^m^(X)K, donc I définit une relation d’équivalence adéqua-te. Inversement, toute relation d’équivalence adéquate définit un1-idéal à gauche de la catégorie des correspondances de Chow (non effectives), et on vérifie que les1-idéaux à gauche de cette catégorie sont en corre-spondance bijective avec ceux de son enveloppe pseudo-abélienne A^. On déduit de (6.14) la formule pour le produit de relations d’équiva-lence adéquates (correspondant au produit d’idéaux, et noté˜dans loc.

cit.).

Dans le document Nilpotence, radicaux et structures monoïdales (Page 37-44)