Extensions des scalaires naïve et non naïve

Dans ce paragraphe,K est un corps commutatif. Nous allons compa-rer l’extension des scalaires «naïve» étudiée dans le paragraphe précé-dent à une extension des scalaires plus sophistiquée, due à Saavedra, dont nous aurons besoin dans les paragraphes 17 et 19.

5.1. Deux types d’extensions des scalaires.

5.1.1. DÉFINITION. Soient A ^une K-catégorie et L une K-algèbre (commutative unitaire).

a) La catégorie AL a pour objets les objets de A^{; si A,B}AL, AL(A,B)4L7KA^(A,B). On appelleALl’extension des scalaires naïve de A ^{de K à L.}

b) On noteA(L)4Rep_K(L,A) la catégorie desK-représentations deL dansA: un objet deA(L)est un couple (A,r), oùAA^etrest un homo-morphisme de K-algèbres unitaires LKA^(A,A); un morphisme f:(A,r)K(A8,r8) est un élément de A^(A,A₈) commutant à r et r8. On appelleA(L)l’extension des scalaires à la Saavedra deA^{de K à L(cf.}

[53, II.1.5]).

5.1.2. LEMME. a) La K-structure de A(L) s’enrichit en une L-struc-ture par la loi

lf4r8(l) f4fr(l) pour lL et fA(L)( (A,r), (A8,r8) ).

b) SiAest additive (resp. pseudo-abélienne, abélienne, stable par li-mites inductives quelconques), il en est de même de A(L). r

5.1.3. REMARQUES.

a) Pour que cette construction soit raisonnable, il faut queA^soit «as-sez grosse» ou queL soit «assez petit». Par exemple, siA^{(A,A) est de} K-dimension finie pour tout objetA, alorsA(L)40 dès queLest un corps infini contenant K.

b) Si Aest semi-simple, il ne suit pas queA(L) le soit: prendre pour L/Kune extension finie inséparable de corps, et pourA^la K-catégorie à un objetL(ou, si on préfèreVec_L). C’est toutefois le cas (trivialement) si L est une extension infinie de K, car dans ce cas A(L)40 (voir a))

c) Soit A₄^RepK^QG la Ind-catégorie attachée à la catégorie Rep_KG des K-représentations de dimension finie d’un K-groupe affine. Alors A(L) s’identifie canoniquement à RepL^Q(G), cf.[53, III.1]. Même remar-que avec RepK(G) quand L/K est finie.

d) Soit A^uneK-catégorie quelconque. Alors (Mod-A⁾(L) s’identifie à la catégorie desK-foncteurs deA^versMod-L. Cette dernière s’identifie canoniquement àMod-ALvia l’extension des scalaires naïve. D’après la proposition 1.3.6 f ), les objets compacts de cette catégorie s’identifient à (AL)^5ll––.

5.2. Sur l’extension des scalaires à la Saavedra.

Notre but est de comparer AL à A(L). On a un «foncteur fibre»

évident

v_L:A(L)KA (5.1)

qui est fidèle et conservatif, commutant aux limites projectives et induc-tives quelconques, exact si A est abélienne.

La première chose à faire est de définir un foncteur en sens inverse, de A ^vers A(L). Ce n’est possible que sous des hypothèses restricti-ves.

5.2.1. LEMME (cf. [53, prop. II.1.5.1.1]). a) Soient AA ^{et VVec}K. Le foncteur

BOHom_K(V,A^{(A,B) )} est représentable dans les cas suivants:

(i) A ^est K-linéaire et dim_KVE Q.

(ii) A est stable par limites inductives quelconques.

On note un représentant V7KA.

b) La construction (V,A)OV7KA est bifonctorielle et bilinéaire.

Si W est un autre K-espace vectoriel, on a un isomorphisme canoni-que

W7K(V7KA)C(W7KV)7KA

pourvu que les deux membres aient un sens. (Nous nous autoriserons de la canonicité de cet isomorphisme pour passer sous silence tout tel parenthésage.)

c) Si A est K-linéaire et que dim_KVE Q, alors pour tout BA^,le foncteur

AOA^(V7KA,B)

est représentable par V*7KB, où V* est le dual de V. r

Soient A,BA ^{et VVec}K. Supposons que les objets V7KA et V7KB soient définis. L’homomorphisme de fonctorialité

A^(A,B)KA^(V7KA,V7KB)CHom_K(V,A^(A,V7KB) ) fournit un autre homomorphisme

V7KA^(A,B)KA^(A,V7KB).

(5.2)

5.2.2. LEMME. L’homomorphisme (5.2) est un isomorphisme dans les cas suivants:

(i) dim_KVE Q;

(ii) A est compact (i.e. le foncteur BOA^(A,B)commute aux limi-tes inductives quelconques).

DÉMONSTRATION. (i) ÉcrireVCKⁿet se ramener àn41 par additi-vité. (ii) passer à la limite sur (i). r

5.2.3. HYPOTHÉSES. À partir de maintenant, on suppose queA^est ad-ditive (c’est-à-direK-linéaire). On se donne uneK-algèbreL (commutati-ve unitaire). On suppose:

– soit que dim_KLE Q;

– soit que A est stable par limites inductives quelconques.

5.2.4. LEMME. Sous les hypothèses 5.2.3,

a) La donnée d’une représentation r:LKA^(A,A) comme dans la définition 5.1.1 b) équivaut à la donnée d’un morphisme r^q:L7KA KA tel que le diagramme

L7KL7KA K

17r^q

L7KA

mL71

I

I

L7KA K

r^q

A, où mL est la multiplication de L, soit commutatif.

b) Le morphisme rA

q:L7KL7KAK

m_L71

L7KA

vérifie la condition de a), donc définit une représentation canonique rA:LKA^(L7KA,L7KA). r

Sous les hypothèses 5.2.3, le lemme 5.2.4 définit un K-foncteur A_KA(L)

(5.3)

AO(L7KA,r_A) .

5.2.5. LEMME ([53, II.1.5.2]). Le foncteur (5.3) est adjoint à gauche au foncteurvLde(5.1).Il envoie objet compact de A sur objet compact de A(L).

(La seconde assertion provient du fait que v_L commute aux limites inductives quelconques.) r

Le lemme 5.1.2 b) montre que le foncteur (5.3) s’étend alors en un L-foncteur

J_L:ALKA(L). (5.4)

5.3. Comparaison de AL et A(L).

5.3.1. Proposition. Soient A,B deux objets de A^{. Si dim}KL4 Q, supposons que A soit compact. Alors l’homomorphisme

L7KA^(A,B)KA(L)(L7KA,L7KB)

est bijectif. En particulier,JLest pleinement fidèle sidimKLE Q,et sa restriction à la sous-catégorie pleine des objets compacts deALest plei-nement fidèle en général (et prend ses valeurs dans les objets compacts de A(L) d’après le lemme 5.2.5).

DÉMONSTRATION. Cela résulte des lemmes 5.2.2 et 5.2.5. r 5.3.2. THÉORÈME. Le foncteur

J^ll––_L: (AL)^ll––KA(L)

induit par JLest une équivalence de catégories pour toute K-catégorie A pseudo-abélienne si et seulement si L est une K-algèbre étale. Dans ce cas,J^llL

––

induit une équivalence de catégories sur les sous-catégories pleines formées des objets compacts.

DÉMONSTRATION. Vu la proposition 5.3.1, le foncteur J^llL

––

est une équivalence de catégories si et seulement s’il est essentiellement surjec-tif. D’autre part, d’après la proposition 3,L est étale sur K si et seule-ment si le L-bimodule L est projectif.

1) Supposons d’abord L projectif sur L7KL. La suite exacte de L-bimodules 0KKermKL7KLK

m LK0 est scindée; on note s un scindage.

Dire que JL^ll

––

est essentiellement surjectif est dire que tout objet B dansA(L) est facteur direct deL7KApour un objetA deA ^convenable (commeJL^ll

––

est pleinement fidèle, l’expression «facteur direct» n’est pas ambigüe). Nous allons montrer queA4vL(B) convient, ce qui montrera du même coup la seconde assertion.

Notons i2 l’homomorphisme de L-algèbres LKL7KL donné par lO17l. Dans A(L), on a un isomorphisme L7Kv_L(B)`

`(L7KL)7L,i2B, et un morphisme m7L1_B:(L7KL)7L,i2BKL7L,i2B4 4Bdonts7L1_Best une section. Ceci montre bien que Best facteur di-rect de L7vL(B).

2) Supposons maintenant queLne soit pasL7KL-projectif. Pour ob-tenir un contre-exemple, prenonsA4VecL(vue commeK-catégorie abé-lienne):A(L)est la catégorie des (L7KL)-modules finis. AlorsL, vu

com-me objet deA(L), n’est pas facteur direct d’un objet de la formeL7KV,V Ob(A), puisqu’un tel objet est un (L7KL)-module libre. r

5.3.3. EXEMPLE. Prenons pour A la catégorie Rep_KG des K-repré-sentations de dimension finie d’un K-groupe affine. On note comme ci-dessusRep_K^QGla Ind-catégorie attachée àA, de sorte qu’on a une équi-valence naturelle (monoïdale) (Rep_K^QG)_(L)`Rep<sub>L</sub><sup>Q</sup>G<sub>L</sub>. En outre, si L/K est (finie) séparable, elle induit une équivalence naturelle (monoïdale) entre objets compacts (RepKG)(L)`RepLGL, et aussi (en vertu du théo-rème ci-dessus) ` (Rep_KG)_L^ll––.