2.5 Exemple 3 : le groupe de réflexions G 24
3.2.3 Triplet adjoint, trace et objet M-split
Dans cette sous-section, on définit et caractérise les objets M-split d’une catégorie (ou M est un foncteur ayant un adjoint à droite et à gauche). Ces objets sont à la base de la problématique du chapitre 4 : que se passe-t-il quand on les annule ? On insiste sur le cas de certaines catégories additives (voir l’hypothèse 3.22) contenant en particulier les catégories abéliennes et triangulées étudiées dans le chapitre 4.
Notation 3.17 Dans cette sous-section, on fixe C et C′deux catégories et un foncteur M : C′→ C . On suppose
de plus que M admet un adjoint à droite R : C → C′ et un adjoint à gauche L : C′→ C . On note
ϕX,Y: HomC(MY, X) −→ HomC′(Y, RX) et ψX,Y: HomC′(LX, Y) −→ HomC(X, MY)
les isomorphismes donnant l’adjonctions et εR
X: MRX −→ X, ηYR: Y −→ RMY et εLY: LMY −→ Y, ηXL : X −→ MLX
les unités et counités associées.
Définition 3.18 Trace relative. Dans ce cadre, on peut alors définir une trace relative de la façon suivante TrM(X, X′) :
(
HomC′(LX, RX′) −→ HomC(X, X′)
f 7−→ εR
X′M(f )ηLX.
Exemple 3.19 Induction d’Harish-Chandra. Soient O un anneau commutatif unitaire, G un groupe fini, U un sous-groupe de G et NG(U) le normalisateur de U dans G. On pose H = NG(U)/U. On considère C = OG-Mod
la catégorie (abélienne) des OG-modules et C′ = OH-Mod la catégorie des OH-modules. En considérant un
OH-module comme un ONG(U)-module (sur lequel U agit trivialement), on peut définir le foncteur
M = OG ⊗ONG(U) : OH-Mod → OG-Mod.
Le foncteur M admet comme adjoint à droite le foncteur « point fixe sous U » : Y → YU. Il admet comme adjoint
à gauche le foncteur « point cofixe sous U » : X → XU. Les isomorphismes donnant l’adjonction entre M et les
points fixes sous U sont donnés par (
HomOG(OG ⊗ONG(U)Y, X) −→ HomOH(Y, X
U)
f 7−→ (m 7→ f (1 ⊗ m)) et (
HomOH(Y, XU) −→ HomOG(OG ⊗ONG(U)Y, X)
f 7−→ (α ⊗ m 7→ αf (m)) L’unité et la counité associée sont données par
ηR X: ( X −→ (OG ⊗ONG(U)X) U y 7−→ 1 ⊗ y et ε R X: ( OG ⊗ONG(U)X U −→ X g ⊗ x 7−→ gx .
Pour définir les isomorphismes d’adjonction entre M et les points cofixes sous U, on introduit les notations suivantes. On choisit une famille (δ)δ∈G/NG(U)de représentant des classes à gauche de G modulo NG(U) contenant
l’élément 1. Tout élément x de OG ⊗ONG(U)Y s’écrit alors de manière unique sous la forme
x = P
δ∈G/NG(U)
δ ⊗ yδ.
Enfin, on note π : X → XU la surjection canonique. L’isomorphisme d’adjonction et son inverse sont donnés par
HomOH(XU, Y) −→ HomOG(X, OG ⊗ONG(U)Y)
f 7−→y 7→ P
δ∈G/NG(U)
δ ⊗ f (π(δ−1y))
et
(
HomOG(X, OG ⊗ONG(U)Y) −→ HomOH(XU, Y)
f 7−→ (π(x) 7→ y1)
où y1 est la composante suivant 1 de l’écriture de
f (x) = P
δ∈G/NG(U)
δ ⊗ yδ.
L’unité et la counité associée sont données par ηL X: X −→ OG ⊗ONG(U)XU x 7−→ P δ∈G/NG(U) δ ⊗ π(δ−1x) et εLX: (OG ⊗ONG(U)X)U −→ X π P δ∈G/NG(U) δ ⊗ xδ 7−→ x1.
Enfin la trace relative est donnée par Tr(X, X′) :
HomOH(XU, X′U) −→ HomOG(X, X′)
f 7−→x 7→ P
δ∈G/NG(U)
δf (π(δ−1x)). Proposition 3.20 Factorisation par l’image de la trace. Soient X, X′, X
1, X′1 quatre objets de C . On
considère f ∈ HomC′(LX, RX′), α : X1→ X et β : X′→ X′1. On a alors
β ◦ TrM(X, X′)(f ) ◦ α = TrM(X
1, X′1)(R(β)f L(α)) .
Preuve. Cela résulte simplement du fait que ηLet εRsont des transformations naturelles : on a les diagrammes
commutatifs X1 ηL X1 // α MLX1 MLα X η L X // MLX MRX′ ε R X′ // MRβ X′ β MRX′ 1 εR X′1 // X′ 1 et donc β ◦ TrM(X, X′)(f ) ◦ α = βεR X′Mf ηXLα = εRX′ 1M(Rβf Lα)η L X1 = Tr M (X1, X′1)(R(β)f L(α)) .
Proposition-Définition 3.21 Objet MMM-split. Soit X un objet de C . Les propriétés suivantes sont équivalentes : (i) Il existe une rétraction de MRX sur X ;
(ii) Il existe une section de X dans MLX ;
(iii) Il existe un objet Y de C′ et une rétraction de MY sur X ;
(iv) Il existe un objet Y de C′ et une section de X dans MY ;
(v) IdX appartient à l’image de TrM(X, X) ;
(vi) εR
X: MRX → X a un inverse à gauche ;
(vii) ηL
X: X → MLX a un inverse à droite ;
(viii) X est relativement projectif : pour tous X′, X′′, tout α : X → X′ et tout π : X′′→ X′ tel qu’il existe
β : RX′→ RX′′vérifiant R(π)β = id
RX′, il existe eα : X → X′′ tel que πeα = α. En terme de diagramme :
RX′′ Rπ // RX′ β oo X α e α }} X′′ π // X′
(ix) X est relativement injectif : pour tous X′, X′′, tout α : X′→ X et tout i : X′→ X′′ tel qu’il existe
β : LX′′→ LX′ vérifiant βL(i) = idLX′, il existe eα : X′′→ X tel queαi = α. En terme de diagramme :e
LX′ Li // LX′′ β oo X′ α i // X′′ e α }} X Un objet vérifiant ces propriétés est appelé objet M-split.
Preuve. On a évidemment (i) ⇒ (iii), (ii) ⇒ (iv), (vi) ⇒ (i) et (vii) ⇒ (ii).
(iii) ⇒ (v) et (iv) ⇒ (v). Commençons par le cas où X = MY. Le corollaire 3.11 assure que TrM(MY, MY)(ηR
YεLY) = (εRMY◦ MηYR) ◦ (MεLY◦ ηLMY) = idMY.
À présent, si X vérifie (iii) ou (iv), il existe i : X → MY et p : MY → X tel que idX= pidMYi. On a donc, grâce
à la proposition 3.20, idXest dans l’image de TrM(X, X).
(v) ⇒ (vi) et (v) ⇒ (vii). Par définition de la trace relative, on a : il existe β tel que εR
XM(β)ηLX= idX.
(iii) ⇒ (viii). Commençons par le cas où X = MY. On pose eα = ϕX′′,Y−1(β ◦ ϕX′,Y(α)). La naturalité de ϕ
HomC(MY, X′′) ϕX′′,Y // π◦ HomC′(Y, RX′′) R(π)◦ HomC(MY, X′) ϕX′,Y // HomC′(Y, RX′)
Supposons à présent que X vérifie (iii) : il existe i : X → MY et p : MY → X tel que pi = idX. En appliquant
ce qui précède à αp : MY → X′, on crée δ : MY → X′′ tel que πδ = αp. En posant eα = δi : X → X′′, on obtient
πα = πδi = αpi = α.e
(iv) ⇒ (ix). Commençons par le cas où X = MY. On pose eα = ψY,X′′(ψY,X′−1(α) ◦ β). La naturalité de ψ
donne le diagramme commutatif suivant, qui appliqué à ψY,X′−1(α) ◦ β montre que αi = α.e
HomC′(LX′′, Y) ψY,X′′ // ◦L(i) HomC(X′′, MY) ◦i HomC′(LX′, Y) ψY,X′ // HomC(X′, MY)
Supposons à présent que X vérifie (iv) : il existe j : X → MY et p : MY → X tel que pj = idX. En appliquant
ce qui précède à jα : X′→ MY, on crée δ : X′′→ MY tel que δi = jα. En posant
e
α = pδ : X′′→ X, on obtient
e
αi = pδi = pjα = α.
(viii) ⇒ (vi). On considère le diagramme suivant
X idX MRX ε R X // X Le corollaire 3.11 assure que RεR
X: RMRX → RX a un inverse à gauche (par exemple : ηRRX). On construit alors
grâce à l’hypothèse un inverse à gauche de εR X.
(ix) ⇒ (vii). On considère le diagramme suivant X η L X // idX MLX X
Le corollaire 3.11 assure que LηL
X : LX → LMLX a un inverse à droite (par exemple : εLLX). On construit alors
grâce à l’hypothèse un inverse à droite de ηL X.
Le cas d’une catégorie R-linéaire
On fixe, pour le reste de cette sous-section, un anneau commutatif unitaire R et on suppose que C et C′ sont
deux catégories R-linéaires et que M, L et R sont R-linéaires (voir la définition 3.25). Pour deux objets X, X′
de C , la trace relative TrM(X, X′) : ( HomC′(LX, RX′) −→ HomC(X, X′) f 7−→ εR X′M(f )ηLX
est alors R-linéaire.
Hypothèse 3.22 Section, rétraction et somme directe. On suppose de plus que C possède la propriété suivante : pour tous objets X, Y de C et tous morphismes i ∈ HomC(X, Y) et p ∈ HomC(Y, X) vérifiant pi = idX,
il existe Z ∈ Ob(C ) tel que Y = X ⊕ Z, i : X → Y soit l’inclusion canonique et p : Y → X la surjection canonique (c’est-à-dire qu’il existe j : Z → Y et q : Y → Z vérifiant qj = idZ, qi = 0, pj = 0 et ip + jq = idY).
Remarque 3.23 Catégorie abélienne et triangulée. La propriété de l’hypothèse 3.22 est automatiquement vérifiée lorsque C est abélienne (voir le lemme 3.97) ou prétriangulée et donc aussi si C est triangulée (voir le corollaire 3.51).
Lorsque C vérifie l’hypothèse 3.22, on peut rajouter quelques propriétés équivalentes dans la proposition- définition 3.21 (voir [BRO, Théorème 6.8]).
Proposition-Définition 3.24 Objet MMM-split. On suppose que C est R-linéaire et vérifie l’hypothèse 3.22. Soit X un objet de C . Les propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) X est isomorphe à un facteur direct de MRX ; (ii) X est isomorphe à un facteur direct de MLX ;
(iii) X est isomorphe à un facteur direct de MY pour un objet Y de C′;
(iv) Il existe une rétraction de MRX sur X ; (v) Il existe une section de X dans MLX ;
(vi) Il existe un objet Y de C′ et une rétraction de MY sur X ;
(vii) Il existe un objet Y de C′ et une section de X dans MY ;
(viii) IdX appartient à l’image de TrM(X, X) ;
(ix) εR
X: MRX → X a un inverse à gauche ;
(x) ηL
X: X → MLX a un inverse à droite ;
(xi) X est relativement projectif ; (xii) X est relativement injectif.
Un objet vérifiant ces propriétés est appelé objet M-split.
Preuve. D’après l’hypothèse 3.22, on a (i) ⇔ (iv), (ii) ⇔ (v), (iii) ⇔ (vi) et (iii) ⇔ (vii).