2.3 Exemple 1 : Étude des hyperplans de S n
2.3.1 Outils combinatoires
Définition 2.32 Partition. Une partition est une suite décroissante d’entiers naturels non nuls. On note P l’ensemble des partitions. Pour λ = (λ1, . . . , λr) ∈ P, on dit que les λi sont les parts de λ. Le nombre de parts
r est la hauteur de λ et |λ| = λ1+ · · · + λr est la longueur de λ.
Définition 2.33 Diagramme de Young. Un diagramme de Young est un tableau dont les lignes sont rectifiées à gauche et tel que le nombre de cases (de colonnes) d’une ligne est plus grand que celui de la ligne suivante.
Exemple 2.34 Diagramme de Young. Par exemple
Remarque 2.35 Partition et diagramme de Young. Partitions et diagrammes de Young se correspondent : à λ ∈ P, on associe le diagramme de Young dont la ie ligne a λ
i cases ; réciproquement à un diagramme de
Young à r lignes, on a associe la partition λ = (λ1, . . . , λr) tel que λi soit le nombre de colonnes de la ie ligne.
Par exemple, la partition (5, 3, 2) est représentée par
On identifiera toujours partition et diagramme via cette correspondance. On notera donc aussi λ le tableau de Young correspondant à la partition λ. On identifiera encore la partition λ = (λ1, . . . , λr) ou son diagramme
correspondant au sous-ensemble de N∗× N∗
Eλ= {(i, j) ∈ N∗× N∗, i ∈ [[ 1 , r ]], j ∈ [[ 1 , λi]]} .
Définition 2.36 Tableau. Soit λ une partition de longueur n. Un λ-tableau est un arrangement sans répétition des entiers de 1 à n dans les cases du diagramme de Young correspondant à λ. L’identification d’une partition λ et de son diagramme de Young avec un sous-ensemble de N∗ × N∗ permet d’identifier alors les
λ-tableaux avec l’ensembles des applications injectives de Eλdans [[ 1 , n ]].
Un λ-tableau est un λ-tableau standard si les lignes sont rangées par ordre croissant de gauche à droite et les colonnes sont rangées par ordre croissant de haut en bas. Soit λ = (λ1, . . . , λr) ; dans l’identification entre λ-
tableaux et applications injectives de Eλ dans [[ 1 , n ]], les λ-tableaux standards correspondent aux applications
telles que pour tout i ∈ [[ 1 , r ]], l’application j 7→ f(i, j) est croissante et pour tout j ∈ [[ 1 , λ1]], l’application
i 7→ f (i, j) est croissante.
Exemple 2.37 Tableau. Par exemple,
4 8 7 3 1 5 6 2 est un (5, 2, 1)-tableau et 1 3 4 7 8 2 6 5 est un (5, 2, 1)-tableau standard.
Définition 2.38 Action de SSSnnn sur les tableaux. Soient λ une partition de longueur n. En identifiant les
λ-tableaux aux applications injectives de Eλ dans [[ 1 , n ]], on en déduit une action du groupe Snsur l’ensemble
des λ-tableaux. En effet, si G est un groupe et X un ensemble sur lequel G agit alors pour tout ensemble Y, G agit sur l’ensemble des Inj(Y, X) des applications injectives Y dans X : si f ∈ Inj(Y, X) et g ∈ G, on pose gf : x 7→ gf (x) (qui est injective puisque f l’est et la multiplication par g aussi). Ainsi Sn agit sur l’ensemble
des applications injectives de Eλ dans [[ 1 , n ]] et donc sur les λ-tableaux.
Finalement, si σ ∈ Sn et t un λ-tableau, σt est le λ-tableau obtenu en mettant σ(i) dans la case de t
contenant i.
Exemple 2.39 Action de SSSnnn sur les tableaux. Par exemple, pour σ = (1, 3, 5, 6)(2, 4)(7, 8) et
t = 4 8 7 3 1 5 6 2 on a σt = 2 7 8 5 36 1 4
Définition 2.40 Sous-groupe associé à un tableau. Soit λ une partition de longueur n et t un λ-tableau. On considère les sous-groupes stabilisateurs respectivement des colonnes et des lignes de t
Vt= {σ ∈ Sn, σ(C) = C pour toutes colonnes de t} = {σ ∈ Sn, ∀ i, σ(i) et i sont dans la même colonne}
On pose κt= P σ∈Vt
ε(σ)σ ∈ C[Vt] ⊂ C[Sn] .
Exemple 2.41 Sous-groupe associé à un tableau. Par exemple, pour le (5, 2, 1)-tableau 4 8 7 3 1
5 6 2 on a Vt= S{2,4,5}× S{6,8}et Ht= S{1,3,4,7,8}× S{5,6}.
Lemme 2.42 Action sur les tableaux. Soit λ une partition de longueur n. L’action de Sn sur les λ-tableaux
est simplement transitive. De plus, pour σ ∈ Sn et t un λ-tableau, on a Hσt= σHtσ−1 et Vσt= σVtσ−1.
Preuve. L’ensemble Eλa n éléments ainsi une application injective f : Eλ→ [[ 1 , n ]] est bijective et il y a donc
n! λ-tableaux. De plus, si f = σf alors σ = id et donc tous les stabilisateurs sont triviaux. On en déduit que l’orbite de f à |Sn| = n! éléments. On en déduit que deux λ-tableaux sont dans la même orbite.
Pour i ∈ [[ 1 , r ]], on note Li ⊂ [[ 1 , n ]] la ie ligne de t. La ie ligne de σt est σLi. Tout élément de σHtσ−1
vérifie bien sûr σHtσ−1(σLi) = σLi. Ainsi σHtσ−1⊂ Hσt. Comme t = σ−1(σt), on en déduit l’égalité souhaité.
Un raisonnement analogue donne le résultat pour les colonnes.
Proposition-Définition 2.43 Tabloïde. Soient λ une partition. On définit une relation d’équivalence ∼ sur l’ensemble des λ-tableaux par
t ∼ t′ ⇐⇒ ∃ σ ∈ H
t, t′ = σt .
Soit t un λ-tableau ; on note {t} la classe d’équivalence de t pour la relation ∼. Chaque classe d’équivalence admet un représentant privilégié : celui dont les lignes sont classées par ordre croissant. Un élément du quotient est appelé un λ-tabloïde.
Preuve. Montrons que ∼ est bien une relation d’équivalence. Comme id ∈ Ht, on a bien t ∼ t. Si t ∼ t′ alors
t′ = σt pour σ ∈ H
t. Les lignes de t′ sont donc à permutation près les mêmes que celles de t. Ainsi Ht′ = Ht
et donc t = σ−1t′ avec σ−1 ∈ H
t′ et t′ ∼ t. Soient t ∼ t′ et t′ ∼ t′′. On a t′ = σt et t′′ = σ′t′ avec σ ∈ Ht et
σ′∈ H
t′ = Ht. On a t′′= σ′σt avec σ′σ ∈ Ht et donc t ∼ t′′.
Proposition-Définition 2.44 Action sur les tabloïdes. Soit λ = (λ1, . . . , λr) une partition de longueur n.
L’action de Sn sur les λ-tableaux passe au quotient et définit une action de Snsur les λ-tabloïdes. L’action est
transitive et le stabilisateur du tabloïde {t} est Ht. Le nombre de λ-tabloïde est donc
n! λ1! · · · λr!
.
Preuve. On considère t, t′ deux λ-tableaux tels que t ∼ t′ et σ ∈ S
n. Montrons que σt ∼ σt′. Par hypothèse,
il existe τ ∈ Ht tel que t′ = τ t. On a alors σt′ = στ σ−1(σt). Le lemme 2.42 montre que στ σ−1 ∈ Hσt et donc
σt′ ∼ σt. Ainsi l’action de S
n passe au quotient : on peut poser σ {t} = {σt}.
Comme l’action sur les λ-tableaux est transitive, celle sur les λ-tabloïdes l’est aussi : soient {t} , {t′} deux
λ-tabloïdes, il existe σ ∈ Sn tel que t′= σt et donc {t′} = {σt} = σ {t}.
On a vu dans la proposition-définition 2.43 que si t ∼ t′ alors H
t = Ht′. Ainsi le groupe Htne dépend pas
du choix du représentant. Par ailleurs, si σ ∈ Ht alors t ∼ σt par définition de ∼. Ainsi {t} = {σt} = σ {t}.
Ainsi Ht est contenu dans le stabilisateur de {t}. Réciproquement, si {t} = σ {t} = {σt}, il existe τ ∈ Ht tel
que σt = τt. Comme Sn agit les λ-tableaux de façon simple, on en déduit que σ = τ ∈ Ht. Ainsi Htest bien le
stabilisateur de {t}.
Le nombre de λ-tabloïde découle alors de la bijection entre l’orbite d’un point et le quotient du groupe par le stabilisateur du point en question et du fait que |Ht| = λ1! · · · λr!.