3.3 Catégorie additive et plus
3.3.2 Catégorie abélienne
Dans cette sous-section, on étudie quelques aspects des catégories abéliennes. On insiste en particulier sur la notion de somme amalgamée et ses liens avec la notion de produit fibré. En effet, la somme amalgamée sera à la base de la construction des triangles de la catégorie M-stable (voir la définition 4.27). Dans un deuxième temps, on étudie la notion de foncteur fidèle issu d’une catégorie abélienne (proposition 3.36) avec comme arrière pensée les hypothèses 4.14 de travail du chapitre 4.
Définition 3.26 Catégorie abélienne. Soit C une catégorie R-linéaire. On dit que C est R-abélienne si tout morphisme de C admet un noyau et un conoyau et si tout monomorphisme est un noyau et tout épimorphisme est un conoyau. Lorsque R = Z, on dit simplement catégorie abélienne plutôt que catégorie Z-abélienne. Somme amalgamée et produit fibré
On commence par définir la notion de somme amalgamée dans une catégorie quelconque. On montre en- suite que la somme amalgamée existe toujours dans une catégorie abélienne (exemple 3.29). Enfin, on fait le lien entre produit fibré, somme amalgamée, carré cartésien et carré cocartésien dans une catégorie abélienne (proposition 3.33).
Définition 3.27 Somme amalgamée. Soient C une catégorie, X, X′, X′′ trois objets de C et f : X → X′ et
g : X → X′′ deux morphismes. Une somme amalgamée de X′ et X′′ au-dessus de f et g est un triplet (Z, f′, g′)
formé d’un objet Z de C et deux morphismes f′: X′′→ Z et g′: X′→ Z vérifiant
(i) f′g = g′f ;
(ii) pour tout triplet (Z′, f′′, g′′) formé d’un objet Z′ de C et deux morphismes f′′: X′′→ Z′ et g′′: X′→ Z′ tel
que f′′g = g′′f , il existe un unique morphisme h : Z → Z′ tel que f′′= hf′ et g′′= hg′ c’est-à-dire qu’on a
le diagramme commutatif suivant
X f // g X′ g′ g′′ X′′ f ′ // f′′ // Z h Z′
Exemple 3.28 Somme amalgamée et isomorphisme. Soient C une catégorie, X, X′, X′′ trois objets de
C et f : X → X′ et g : X → X′′ deux morphismes. On suppose que f est un isomorphisme. Montrons que
(X′′, id
X′′, gf−1) est une somme amalgamée de X′ et X′′au-dessus de f et g. On a bien sûr idX′′g = (gf−1)f = g.
De plus, si (Z′, f′′, g′′) est un triplet formé d’un objet Z′ de C et deux morphismes f′′: X′′→ Z′ et g′′: X′‘ → Z′
vérifiant f′′g = g′′f alors en posant h = f′′, on a hid
X′′ = h = f′′ et hgf−1 = f′′gf−1 = g′′. Par ailleurs, si h
vérifie hidX′′= f′′et hgf−1= g′′alors nécessairement h = f′′.
Exemple 3.29 Somme amalgamée et catégorie abélienne. Soient C une catégorie R-abélienne, X, X′, X′′
trois objets de C et f : X → X′ et g : X → X′′ deux morphismes. Montrons que la somme amalgamée de X′ et
X′′ au-dessus de f et g existe.
On considère X′⊕X′′la somme directe et i
X′ : X′→ X′⊕X′′et iX′′: X′′→ X′⊕X′′les morphismes canoniques.
On pose alors (Z, p) = Coker (iX′f − iX′′g), f′= piX′′ : X′′→ Z et g′ = piX′. Comme p(iX′f − iX′′g) = 0, on a
g′f = f′g et donc le diagramme X f // g X′ g′ iX′ {{vvvv vvvv v X′⊕ X′′ p ##H H H H H H H H H H X′′ iX′′ vv::v v v v v v v f′ // Z
Considérons à présent un triplet (Z′, f′′, g′′) formé d’un objet Z′ de C et deux morphismes f′′ : X′′→ Z′
et g′′ : X′→ Z′ vérifiant f′′g = g′′f . Par définition de la somme directe, il existe un (unique) morphisme
(g′′, f′′) : X′⊕ X′′→ Z′ tel que (g′′, f′′)i
(g′′, f′′)(i
X′f − iX′′g) = g′′f − g′′g = 0.
Ainsi (g′′, f′′) se factorise par Coker (i
X′f − iX′′g). Il existe donc h : Z → Z′ tel que hp = (g′′, f′′). On en
déduit que hg′ = g′′ et hf′ = f′′. Enfin, si h′ : Z → Z′ vérifie h′g′ = g′′ et h′f′ = f′′ alors h′pi
X′ = g′′ et
h′pi
X′′ = f′′. Ainsi, grâce à la propriété universelle de la somme directe, on a h′p = (g′′, f′′) = hp. Comme p
est un épimorphisme, on en déduit que h = h′. Finalement (Z, f′, g′) est bien la somme amalgamée de X′ et X′′
au-dessus de f et g. On la note X′
f⊕gX′′.
On passe maintenant au lien entre produit fibré et somme amalgamée. On commence par rappeler la notion de produit fibré : c’est la même que celle de somme amalgamée mais en retournant les flèches.
Définition 3.30 Produit fibré. Soient C une catégorie, X, X′, X′′trois objets de C et f : X′→ X et g : X′′→ X
deux morphismes. Un produit fibré de X′ et X′′ au-dessus de f et g est un triplet (Z, f′, g′) formé d’un objet Z
de C et deux morphismes f′ : Z → X′′ et g′: Z → X′ vérifiant
(i) fg′= gf′;
(ii) pour tout triplet (Z′, f′′, g′′) formé d’un objet Z′ de C et deux morphismes f′′: Z′→ X′′ et g′′: Z′→ X′ tel
que f′′g = g′′f , il existe un unique morphisme h : Z′→ Z tel que f′′= f′h et g′′= g′h c’est-à-dire qu’on a
le diagramme commutatif suivant
Z′ f′′ g′′ "" h Z f ′ // g′ X′′ g X′ f // Z
Le lemme élémentaire qui suit est utile pour la démonstration de la proposition 3.33.
Lemme 3.31 Somme directe, monomorphisme et épimorphisme. Soient C une catégorie R-linéaire, X, Y et Z trois objets de C .
Soient f : X → Y et g : X → Z deux morphismes. On note h : X → Y ⊕ Z le morphisme donné par f et g grâce à la propriété universelle du produit. Si f ou g est un monomorphisme alors h aussi.
Soient f : X → Z et g : Y → Z deux morphismes. On note h : X ⊕ Y → Z le morphisme donné par f et g grâce à la propriété universelle du coproduit. Si f ou g est un épimorphisme alors h aussi.
Preuve. Soit α : W → X tel que hα = 0. On a donc fα = 0 et gα = 0. Ainsi α = 0. Soit α : Z → W tel que αh = 0 alors αf = 0 et αg = 0. Ainsi α = 0.
Définition 3.32 Carré cartésien et cocartésien. Soit C une catégorie. Le carré X f // g X′ g′ Y f ′ // Y′ est dit
(i) cocartésien si Y′ est la somme amalgamé de X′ et Y au-dessus de f et g.
(ii) cartésien si X est le produit fibré de X′ et Y au-dessus de f′ et g′.
Proposition 3.33 Carré cartésien, cocartésien et catégorie abélienne. Soit C une catégorie R-abélienne. Le carré suivant est
X f // g X′ g′ Y f ′ // Y′
(i) cartésien si et seulement si la suite 0 // X (f,g)// X′⊕ Y(g
′,−f′)
// Y′ est exacte ;
(ii) cocartésien si et seulement si la suite X (f,g) // X′⊕ Y(g
′,−f′)
Supposons que le carré ci-dessus est cartésien alors gKer f = Ker f′. De plus, si f′ est un épimorphisme alors
le carré est aussi cocartésien et f est un épimorphisme.
Supposons que le carré ci-dessus est cocartésien alors Coker f = (Coker f′)g′. De plus, si f est un monomor-
phisme alors le carré est aussi cartésien et f est un monomorphisme.
Preuve. Démontrons (i). La commutativité du carré est équivalente à ce que la composée de deux flèches de la suite soit nulle.
Supposons le carré cartésien. Montrons que (f, g) est un monomorphisme. Soit α : Z → X tel que (f, g)α = 0. On a alors fα = 0 et gα = 0. Or 0 : Z → X vérifie aussi f0 = 0 et g0 = 0. Par unicité (grâce à la structure de produit fibré), on obtient que α = 0. Ainsi (f, g) est un monomorphisme. En particulier, on peut choisir (f, g) comme monomorphisme canonique de Im (f, g) dans X′⊕ Y. Considérons à présent β : Z → X′⊕ Y tel
que (g′, −f′)β = 0. On peut écrire β = (β
1, β2) avec β1 : Z → X′ et β2 : Z → Y. On a alors g′β1 = f′β2. La
propriété universelle du produit fibré assure alors qu’il existe γ : Z → X tel que β1= f γ et β2= gγ. Autrement
dit β = (f, g)γ. Ainsi β se factorise par (f, g) et ceci de façon unique (puisque (f, g) est un monomorphisme). Finalement (X, (f, g)) est un noyau de (g′, −f′) et la suite est exacte.
Réciproquement, on suppose que la suite est exacte. On considère alors β1 : Z → X′ et β2 : Z → Y tel que
f′β
2 = g′β1′. On note alors β = (β1, β2) : Z → X′ ⊕ Y. Dans ce cadre, l’égalité f′β2 = g′β1′ se traduit par
(g′, −f′)β = 0. Ainsi β se factorise par Ker (g′, −f′) = Im (f, g). Or (f, g) est un monomorphisme, donc (f, g)
est sa propre image. Ainsi, on peut écrire β = (f, g)γ avec γ : Z → X c’est-à-dire fγ = β1 et gγ = β2. De plus,
si γ′ vérifie aussi fγ′ = β
1 et gγ′ = β2, on en déduit que (f, g)γ′= β et γ = γ′ par la propriété universelle du
noyau.
Démontrons (ii). La commutativité du carré est équivalente à ce que la composée de deux flèches de la suite soit nulle.
Supposons le carré cocartésien. Montrons que (g′, −f′) est un épimorphisme. Soit α : Y′→ Z tel que
α(g′, −f′) = 0. On a alors αg′ = 0 et αf′ = 0. Or 0 : Y′→ Z vérifie aussi 0g′ = 0 et 0f′ = 0. Par unicité
(grâce à la structure de somme amalgamée), on obtient α = 0. Ainsi (g′, −f′) est un épimorphisme. Si on
montre que (g′, −f′) est un conoyau de (f, g), on aura alors Im (f, g) = Ker (g′, −f′) et la suite sera exacte.
Comme (g′, −f′) est un épimorphisme, il suffit de montrer que si β : X′⊕ Y → Z vérifie β(f, g) = 0 alors β se
factorise par (g′, −f′). En écrivant β = (β
1, β2) avec β1: X′→ Z et β2: Y → Z, on obtient que β1f = −β2g. La
propriété universelle de la somme amalgamée assure alors l’existence de γ : Y′→ Z tel que γg′= β
1et γf′= −β2
ce qui s’écrit encore γ(g′, −f′) = β.
Réciproquement, on suppose que la suite est exacte. On considère alors β1 : X′→ Z et β2 : Y → Z tel que
β1f = β2g. En notant β = (β1, −β2) : X′⊕ Y → Z, l’égalité β1f = β2g se réécrit β(f, g) = 0. Ainsi β se factorise
par le conoyau de (f, g) qui n’est autre que (g′, −f′) par exactitude de la suite. Il existe donc γ : Y′→ Z tel que
γ(g′, −f′) = β. On en déduit que γg′= β
1 et γf′= β2. De plus, si γ′ vérifie aussi γ′g′= β1 et γ′f′= β2, on en
déduit que γ′(g′, −f′) = β et γ = γ′ par la propriété universelle du conoyau.
Soit i le noyau de f. Montrons que gi est le noyau de f′. On a f′gi = g′f i = 0. Soit α : Z → Y tel que
f′α = 0. On considère β = 0 : Z → X′. Comme g′β = 0 = f′α, la propriété universelle du produit fibré assure
qu’il existe γ : Z → X tel que gγ = α et fγ = β = 0. Par définition de i, il existe γ′ tel que iγ′ = γ. Ainsi
α = giγ′. De plus, si β vérifie α = giβ alors, comme fiβ = 0 = fiγ′, on obtient, par la propriété du produit
fibré iβ = iγ′ et donc β = γ′.
Soit j le noyau de f′. On a f′j = 0 = g′0. La propriété du produit fibré assure qu’il existe i tel que j = gi et
f i = 0. Montrons que i est le noyau de f . Comme j est un monomorphisme, i en est un. Par ailleurs, supposons que fγ = 0. On a donc 0 = g′f γ = f′gγ. Ainsi il existe β tel que gγ = jβ = giβ. Comme f γ = 0 = f iβ, on en
déduit que γ = iβ.
Soit q le conoyau de f′. Montrons que qg′ est le conoyau de f. On a qg′f = qf′g = 0. Soit α : X′→ Z tel
que αf = 0. On considère β = 0 : Y → Z. Comme βg = 0 = αf, la propriété universelle de la somme amalgamé assure qu’il existe γ : Y′→ Z tel que γg′ = α et γf′ = β = 0. Par définition de q, il existe γ′ tel que γ′q = γ.
Ainsi α = γ′qg′. De plus, si β vérifie α = βqg′ alors, comme βqf′ = 0 = γ′qf′, on obtient, par la propriété de la
somme amalgamée, βq = γ′q. Comme q est un épimorphisme, on obtient β = γ.
Soit p le conoyau de f. On a pf = 0 = 0g. La propriété de la somme amalgamée assure qu’il existe q tel que p = qg′ et qf′= 0. Montrons que q est le conoyau de f′. Comme p est un épimorphisme, q en est un. Par
ailleurs, supposons que γf′= 0. On a donc 0 = γf′g = γg′f . Ainsi, il existe β tel que γg′= βp = βqg′. Comme
γf′= 0 = βqf′, on en déduit que γ = βq.
Supposons le carré cartésien et que f′ est un épimorphisme. D’après (i) et le lemme 3.31, la suite
0 // X (f,g) // X′⊕ Y(g
′,−f′)
// Y′ // 0
est exacte. Le point (ii) assure que le diagramme est cocartésien. De plus, on a Coker f = (Coker f′)g′ = 0 et f
Supposons le carré cocartésien et que f est un monomorphisme. D’après (i) et le lemme 3.31, la suite 0 // X (f,g) // X′⊕ Y(g
′,−f′)
// Y′ // 0
est exacte. Le point (ii) assure que le diagramme est cartésien. De plus, on a Ker f′= gKer f = 0 et f′ est un
monomorphisme.
Foncteur fidèle et catégorie abélienne
La structure de catégorie abélienne assure des propriétés aux foncteurs fidèles. Ces propriétés sont présentées dans la proposition 3.36.
Définition 3.34 Foncteur conservatif. Soient C , C′ deux catégories et F : C → C′ un foncteur. On dit que
F est conservatif si F(f ) est un isomorphisme implique que f est un isomorphisme.
Lemme 3.35 Foncteur fidèle. Soient C , C′ deux catégories et F : C → C′ un foncteur. On suppose que F
est fidèle. Soit f ∈ HomC(X, Y) tel que F(f ) est un monomorphisme (resp. épimorphisme) alors f en est aussi
un.
Preuve. On suppose que f ◦ g = f ◦ h. On a F(f) ◦ F(g) = F(f) ◦ F(h). On en déduit que F(g) = F(h) puisque F(f ) est un monomorphisme. On obtient alors g = h par la fidélité de F.
On suppose que g ◦f = h◦f. On a F(g)◦F(f) = F(h)◦F(f). On en déduit que F(g) = F(h) puisque F(f) est un épimorphisme. On obtient g = h par la fidélité de F (on aurait aussi pu appliquer le raisonnement précédent au foncteur F : Cop→ C′op).
Proposition 3.36 Foncteur fidèle et catégorie abélienne. Soient A une catégorie abélienne, B un catégorie additive et F : A → B un foncteur additif. On considère les propriétés suivantes
(i) F est fidèle ; (ii) F est conservatif ;
(iii) Pour un objet X ∈ A , on a F(X) = 0 =⇒ X = 0.
On a (i) ⇒ (ii) et (ii) ⇒ (iii). De plus, si F est exact, on a (iii) ⇒ (i) et les trois propositions sont équivalentes. Preuve. (i) ⇒ (ii). Soit f tel que F(f) soit un isomorphisme. Ainsi F(f) est un monomorphisme et un épimor- phisme. Le lemme 3.35 assure que f est un monomorphisme et un épimorphisme c’est-à-dire un isomorphisme puisque A est abélienne.
(ii) ⇒ (iii). On suppose que F(X) = 0 c’est-à-dire 0FX = idFX. On a donc F(0X) = 0FX = idFX est un
isomorphisme. Comme F est conservatif, on en déduit que 0X est un isomorphisme. Le noyau de 0X qui est X
est donc nul. Ainsi X = 0.
On suppose que F est exact. Montrons que (iii) ⇒ (i). Soit f : X → Y tel que F(f) = 0. On note ef : X → Im f l’épimorphisme induit par f et i : Im f → Y le monomorphisme canonique tel que i ef = f . On obtient alors F(i)F( ef ) = 0. Comme F est exact, F(i) est un monomorphisme et F( ef ) est un épimorphisme. Ainsi F(i) = 0 (et F( ef ) = 0). On en déduit que F(i) ◦ idFIm f = 0 = F(i) ◦ 0 puis que idFIm f = 0 c’est-à-dire F(Im f ) = 0.
L’hypothèse (iii) donne alors Im f = 0 c’est-à-dire f = 0.