1.3 Quelques rappels sur les groupes de réflexions
2.1.3 Algèbre extérieure
Dans la sous-section précédente, on a construit (sous l’hypothèse 2.9) une structure d’algèbre sur Ωχ. On
cherche, dans cette sous-section, à en déterminer la classe d’isomorphisme. La démonstration va s’effectuer en deux temps : dans un premier temps (proposition 2.13), on donne une condition nécessaire et suffisante pour que les constantes de structure de Ωχ soit celles d’une algèbre extérieure ; dans un deuxième temps, on montre que
cette condition est bien vérifiée (proposition 2.19). Dans cet optique, on commence par généraliser le théorème de Stanley à l’anneau T−1S(V∗).
Corollaire 2.11 Théorème de Stanley dans TTT−1−1−1S(VS(VS(V∗∗∗))). On a
(T−1S(V∗))χ= (TG)−1S(V∗)GQ
χ et (Ωr)χ= (TG)−1S(V∗)GQχ·detMvolM (1)
où volMdésigne un élément non nul de Λr(M∗).
Preuve. Cela résulte des propositions 1.9 et 1.10, du théorème 1.47 et du fait que CvolM = Λr(M∗) est une
représentation de G de caractère detM∗.
Notation 2.12 Soit U un (TG)−1S(V∗)-module. Pour u, v ∈ U, on note u= v s’il existe x ∈ ((T. G)−1R)× tel
que xu = v. En particulier, u et v engendrent le même sous-(TG)−1R-module.
Proposition 2.13 Condition nécessaire et suffisante. On suppose que l’hypothèse 2.9 est vérifiée. Soient ω1, . . . , ωr∈ (Ω1)χ. Les deux propositions suivantes sont équivalentes :
(i) pour tout p ∈ [[ 1 , r ]], la famille (ωi1f· · · f ωip)16i1<···<ip6rforme une (T
G)−1R-base de (Ωp)χ;
(ii) ω1f· · · f ωr= Q. χ·detMvolM. (2)
Preuve. (i) ⇒ (ii). C’est une conséquence de l’égalité (1).
(ii) ⇒ (i). On pose K = Frac (T−1S(V∗)). Montrons que la famille F = (ω
i1f· · · f ωip)16i1<···<ip6r est
K-linéairement indépendante. Comme ωi1f· · · f ωip = Qχ
1−p ω
i1∧ · · · ∧ ωip, il suffit de montrer que la famille
(ωi1∧ · · · ∧ ωip)16i1<···<ip6r est K-linéairement indépendante. Pour cela, on considère la relation
P
16i1<···<ip6r
ri1,...,ipωi1∧ · · · ∧ ωip= 0 avec ri1,...,ip∈ K.
Fixons I = {i1, . . . , ip} ⊂ [[ 1 , r ]] avec 1 6 i1< · · · < ip 6r et notons Ic = {ip+1, . . . , ir} son complémentaire.
En multipliant la relation précédente par ωip+1∧ · · · ∧ ωir, on obtient
ri1,...,ipωi1∧ · · · ∧ ωip∧ ωip+1∧ · · · ∧ ωir = 0. D’où 0 = ri1,...,ipQχ r−1ω 1f· · · f ωr= r. i1,...,ipQχ r−1Q χ·detMvolM.
On en déduit la nullité de ri1,...,ip et la K-liberté de la famille (ωi1∧ · · · ∧ ωip)16i1<···<ip6r.
La famille F est donc une base du K-espace vectoriel K ⊗ Λp(M∗). Ainsi, si µ ∈ (Ωp)χ, il existe des éléments
ri1,...,ip∈ K tels que
µ = P
16i1<···<ip6r
Fixons encore I = {i1, . . . , ip} ⊂ [[ 1 , r ]] avec i1< · · · < ipet notons Ic= {ip+1, . . . , ir} son complémentaire. En
multipliant la relation précédente par ωip+1f· · · f ωir, on obtient µ f ωip+1f· · · f ωir ∈ (Ω
r)χ. Ainsi, d’après
la relation (1), il existe f ∈ (TG)−1R tel que
µ f ωip+1f· · · f ωir = f Qχ·detMvolM.
Par ailleurs,
µ f ωip+1f· · · f ωir = ε ri1,...,ipω1f· · · f ωr
.
= ε ri1,...,ipQχ·detMvolM avec ε ∈ {±1}.
D’où ri1,...,ip
.
= εf ∈ (TG)−1R.
La famille F est donc bien une (TG)−1R-base de (Ωp)χ.
L’objectif est à présent de montrer que toute (TG)−1R-base de (Ω1)χ vérifie la condition (2). Pour cela, on
va construire une famille (νi)16i6r d’éléments G-invariants et une famille (µi)16i6r d’éléments detM∗-invariants
vérifiant respectivement
ν1∧ · · · ∧ νr= Q. MvolM et µ1∧ · · · ∧ µr= (Q. M∗)r−1volM.
Proposition 2.14 Invariants dans ΩΩΩ111. Il existe (ν
1, . . . , νr) ∈ ((Ω1)G)ret (µ1, . . . , µr) ∈ ((Ω1)detM∗)rvérifiant
ν1∧ · · · ∧ νr∈ C×QMvolM et µ1∧ · · · ∧ µr∈ C×(QM∗)r−1volM.
Preuve. La preuve est une reformulation du théorème de Guktin [GUT, Théorème] utilisant la notion de matrice minimale développée par Opdam dans [OPD, définition 2.2 et proposition 2.4 (ii)] et rappelée dans la définition 1.60 et la remarque 1.61 (voir le théorème 1.59 et la sous-section 1.3.4).
Pour C = (cij)i,j ∈ Mr(S(V∗)), on note g · C la matrice (g cij)i,j. Considérons C une matrice M-minimale.
Par définition, C ∈ Mr(S(V∗)) vérifie
(i) g · C = CgM;
(ii) det C 6= 0 ;
(iii) deg det C = m(M).
On choisit (yi)16i6r une base de M∗ et on définit pour j ∈ [[ 1 , r ]],
νj= r P i=1 cji⊗ yi. On a alors ν1∧ · · · ∧ νr∈ C×det(C)volM. Or det C ∈ C×Q
M(voir [OPD, proposition 2.4 (iii)]). Il reste alors simplement à montrer que νj est G-invariant
pour tout j ∈ [[ 1 , r ]]. Or, d’après (i), g cji= r P k=1 cjkgMki et g yi= r P n=1 gM∗niyn. D’où gνj = r P i=1 Pr k=1 cjkgMki⊗ r P n=1 gM∗niyn = r P k=1 r P n=1 Pr i=1 gMkigM∗ni cjk⊗ yn. Comme t gM∗ = gM−1, on a r P i=1 gMkigM∗ni= δkn et donc gνj= r P k=1 cjk⊗ yk = νj.
Ainsi νj est bien G-invariant.
Considérons à présent D une matrice M∗-minimale. Par définition, D ∈ M
r(S(V∗)) vérifie
(i) g · D = DgM∗;
(ii) det D 6= 0 ;
(iii) deg det D = m(M∗).
On considère alors Com D = (eij)i,j la comatrice de D. Comme l’action de G sur S(V∗) est compatible avec
la structure d’algèbre, on a
g · Com D = Com (g · D) = Com (DgM∗) = Com DCom gM∗ = det(gM∗)Com(D) gM.
On définit alors pour j ∈ [[ 1 , r ]],
µj = r
P
i=1
eji⊗ yi.
Or det Com D = (det D)r−1 et det D ∈ C×Q
M∗ (voir [OPD, proposition 2.4 (iii)]). Il reste à montrer que µj
est detM∗-invariant pour tout j ∈ [[ 1 , r ]]. Or,
g eji= det gM∗ r P k=1 ejkgMki et g yi= r P n=1 gM∗niyn. D’où gµj = det gM∗ r P i=1 Pr k=1 ejkgMki⊗ r P n=1 gM∗niyn = det gM∗ r P k=1 r P n=1 Pr i=1 gMkigM∗ni ejk⊗ yn. Comme t gM∗ = gM−1, on a r P i=1 gMkigM∗ni= δkn et donc gµj= det gM∗ r P k=1 ejk⊗ yk= det gM∗µj.
Ainsi µj est bien detgM∗-invariant.
Le lemme suivant propose quelques identités polynomiales : l’objectif (en vue de la proposition 2.19) est d’obtenir des formules pour déterminer quand QχQM(Qχ·detM)
−1 et Q
χ·detMQM∗(Qχ)
−1 sont premiers entre
eux.
Lemme 2.15 Égalités polynomiales. On pose
B0= {H ∈ B, nH(M) = 0} , B+= {H ∈ B, nH(M) > eH− nH(χ)} , B6=0 = B r B0 et B−= B r B+. (i) QM∗ = Q H∈M αHnH(M ∗) Q H∈B6=0 αHeH(r−n0,H(M))−nH(M). (ii) Qχ·detM = Q H∈M αHnH(χ·detM) Q H∈B− αHnH(χ)+nH(M) Q H∈B+ αHnH(χ)+nH(M)−eH. (iii) QχQM(Qχ·detM) −1 = Q H∈M αHnH(χ)+nH(M)−nH(χ·detM) Q H∈B+ αHeH. (iv) Qχ·detMQM∗(Qχ) −1 = Q H∈M αHnH(M ∗)+n H(χ·detM)−nH(χ) Q H∈B−rB0 αHeH(r−n0,H(M)) Q H∈B+ αHeH(r−1−n0,H(M)).
Preuve. On a vu dans la remarque 2.4 que nH(M∗) = eH(r − n0,H(M)) − nH(M) pour tout H ∈ H . De plus,
nH(M) = 0 si et seulement si nH(M∗) = 0 si et seulement si n0,H(M) = r. On obtient ainsi l’égalité (i).
Soit H ∈ B. On a 0 6 nH(M) 6 eH− 1 et donc nH(M) = nH(detM) (voir la remarque 1.46). On a donc
(χ · detM)(sH) = det(sH)−nH(χ)−nH(M). Comme 0 6 nH(χ) + nH(M) 6 2eH− 2, on obtient
nH(χ · detM) = nH(χ) + nH(M) si nH(χ) + nH(M) 6 eH− 1
et nH(χ · detM) = nH(χ) + nH(M) − eH si nH(χ) + nH(M) > eH.
Les points (iii) et (iv) sont des conséquences élémentaires des points (i) et (ii).
Pour pouvoir conclure sur la structure de l’algèbre Ωχ, on a besoin d’encore renforcer les hypothèses.
Hypothèse 2.16 La partie M contient tous les hyperplans qui ne sont pas (M, χ)-bons c’est-à-dire que tous les éléments de B sont (M, χ)-bons ou encore que B+= ∅.
Hypothèse 2.17 La partie M contient tous les hyperplans qui ne sont pas M-excellents c’est-à-dire que sH
agit sur M comme une réflexion pour tout H ∈ B.
Remarque 2.18 Liens entre les différentes hypothèses. La remarque 2.4 assure que chacune des hypo- thèses 2.16 et 2.17 implique l’hypothèse 2.9. Par ailleurs, sous l’hypothèse 2.16, les lemmes 1.7 et 2.15 montrent que QχQM(Qχ·detM)
−1 est inversible dans (TG)−1R.
Proposition 2.19 Obtention de la condition nécessaire et suffisante. On suppose que l’une des deux hypothèses 2.16 ou 2.17 est vérifiée. Si ω1, . . . , ωr est une famille génératrice de (Ω1)χ alors
ω1f· · · f ωr= Q. χ·detMvolM.
Preuve. D’après la remarque 2.18, l’hypothèse 2.9 est vérifiée. Ainsi on peut bien définir la structure d’algèbre sur (T−1S(V∗) ⊗ Λ(M∗))χ. Comme Ωχ est stable par f, on a ω
1f· · · f ωr∈ (Ωr)χ. L’égalité (1) assure que
∃f ∈ (TG)−1R, ω
Il s’agit à présent de montrer que f est inversible dans (T−1S(V∗))G et encore dans T−1S(V∗) (en vertu du
lemme 1.7). Considérons (yi)16i6r une base de M∗. Soit C ∈ Mr(T−1S(V∗)) la matrice de la famille (ωi)16i6r
dans la T−1S(V∗)-base (1 ⊗ y
i)16i6r de Ω1. On en déduit l’existence de λ ∈ C× tel que
ω1∧ · · · ∧ ωr= λ det C volM puis λ det C = f Qχ·detM(Qχ)
r−1.
Par ailleurs, comme νi est G-invariant, Qχνi est χ-invariant donc est combinaison linéaire (à coefficients
dans (TG)−1R ) de la famille (ω
i)16i6r. On construit ainsi une matrice D ∈ Mr((TG)−1R) telle que
Qχν1∧ · · · ∧ Qχνr= det D ω1∧ · · · ∧ ωr= λ det D det C volM= λ det D f Qχ·detM(Qχ)
r−1vol M.
Or ν1∧ · · · ∧ νr∈ C×QMvolM, donc Qχν1∧ · · · ∧ Qχνr∈ C×(Qχ)rQMvolM.
D’où QχQM∈ C×f Qχ·detMdet D.
On en déduit que f 6= 0 et f | QχQM(Qχ·detM)
−1.
Sous l’hypothèse 2.16, la remarque 2.18 assure que f est inversible et que l’égalité (2) est vérifiée.
On suppose à présent que l’hypothèse 2.17 est vérifiée. On a donc n0,H(M) = r − 1. Le lemme 2.15 montre
alors que Qχ·detMQM∗(Qχ)
−1r−1 est premier avec Q
χQM(Qχ·detM)
−1. Pour conclure, il suffit donc de montrer
que f | Qχ·detMQM∗(Qχ)
−1r−1
Soit (µi)16i6r la famille du lemme 2.14. Comme µiest detM∗-invariant, Qχ·detMµi∈ (Ω1)χ. Donc Qχ·detMµi
est combinaison linéaire (à coefficients dans (TG)−1R) de la famille (ω
i)16i6r. On construit ainsi une matrice
D′ ∈ M
r((TG)−1R) telle que
Qχ·detMµ1∧ · · · ∧ Qχ·detMµr= det D
′ω
1∧ · · · ∧ ωr= det D′f Qχ·detM(Qχ)
r−1vol M.
Or µ1∧ · · · ∧ µr∈ C×(QM∗)r−1volM, donc Qχ·detMµ1∧ · · · ∧ Qχ·detMµr∈ C×(Qχ·detM)r(QM∗)r−1volM.
D’où (Qχ·detMQM∗)
r−1 ∈ C×det D′f (Q χ)r−1.
On en déduit que f | Qχ·detMQM∗(Qχ)
−1r−1.
Finalement, f divise QχQdetM(Qχ·detM)
−1et Q
χ·detMQM∗(Qχ)
−1r−1et l’égalité (2) est donc vérifiée sous cette
hypothèse.
Théorème 2.20 Algèbre extérieure. On suppose que l’une des deux hypothèses 2.16 ou 2.17 est vérifiée. La (TG)−1R-algèbre (Ωχ, f) est une algèbre extérieure.
Preuve. D’après les propositions 2.13 et 2.19 et la remarque 2.18, il suffit de montrer que (Ω1)χ admet une
famille génératrice à r éléments. En fait, on va montrer que (Ω1)χ est un (TG)−1R-module libre de rang r.
D’après la proposition 1.10, il suffit de montrer que (Ω1)χ est un G-module libre de rang r ce qui résulte du
théorème B de Chevalley [CHE]. De façon précise, on a (S(V∗) ⊗ M∗)χ = (S(V∗) ⊗ M∗⊗ C
χ∗)G⊗ Cχ = (S(V∗) ⊗ (M ⊗ Cχ)∗)G⊗ Cχ.
On obtient ainsi (S(V∗) ⊗ M∗)χ= R ⊗ (S
G⊗ (M ⊗ Cχ)∗)G⊗ Cχ
et (S(V∗)⊗M∗)χest un R-module libre de rang dim
C(HomG(SG, M⊗Cχ)) = dimC(M⊗Cχ) = r. Par tensorisation
par (TG)−1R, le lemme 1.10 assure que (Ω1)χ est libre de rang r.
Remarque 2.21 Shepler, Orlik et Solomon. Si tout hyperplan de H est (M, χ)-bon, on peut choisir M = ∅. De même, si sH agit sur M comme une réflexion pour tout H ∈ H , on peut choisir M = ∅. Ainsi T = C× et
T−1S(V∗) = S(V∗). On retrouve ainsi les résultats de [BEC] et donc ceux de [O-S] et [SHE].
Remarque 2.22 Si M = HMM = H= H . Lorsque M = H , les hypothèses 2.16 et 2.17 sont remplies. Ainsi Ωχ est une
(TG)−1R-algèbre extérieure.