3.4 Complexe dans une catégorie additive
3.4.2 Le complexe Hom
Dans cette sous-section, on étudie le complexe Hom. Dans un premier temps, on définit ce foncteur et on étudie son comportement vis-à-vis des complexes bornés. Ensuite, on étudie les liens entre le complexe Hom et le décalage.
Le foncteur
Définition 3.63 Complexe Hom et complexe dual. Soient C une catégorie R-linéaire et (X, dX), (Y, dY)
deux complexes de C . On définit le complexe Hom (X, Y) par Hom (X, Y)n = Q k∈Z HomC(Xk, Yn+k) et dn Hom(X,Y): Q k∈Z HomC(Xk, Yn+k) −→ Q k∈Z HomC(Xk, Yn+k+1) (fk)k∈Z 7−→ (dn+kY fk+ (−1)n+1fk+1dkX)k∈Z.
Lorsque C = A-Mod, on pose X∨= Hom (X, A).
De plus, soient (X′, d
X′), (Y′, dY′) deux complexes de C et f = (fn)n∈Z: X′→ X, g = (gn)n∈Z : Y → Y′ deux
morphismes de C -complexes. On définit alors
Hom (f, g) ∈ HomRCom(Hom (X, Y), Hom (X′, Y′)) par Hom (f, g)n: Q k∈Z HomC(Xk, Yn+k) −→ Q k∈Z HomC(X′k, Y′n+k) (uk) k∈Z 7−→ (gn+kukfk)k∈Z.
On définit ainsi un bifoncteur R-linéaire Hom ( , ):
CComop× C Com −→ RCom (X, Y) 7−→ Hom (X, Y)
(f, g) 7−→ Hom (f, g) .
Preuve. Vérifions que Hom (X, Y) est un complexe. Les axiomes des catégories R-linéaires assurent que la différentielle de Hom (X, Y) est R-linéaire. Pour simplifier, on note d plutôt que dHom(X,Y). Pour u = (uk)k∈Z,
on a dn+1dn(u) = dn+1((dn+kY uk+ (−1)n+1uk+1dkX)k∈Z) = (dn+k+1Y dn+kY uk+(−1)n+1dn+k+1 Y uk+1dkX+(−1)n+2(d n+k+1 Y uk+1dkX+(−1)n+1uk+2d k+1 X dkX))k∈Z.
Le premier et le quatrième terme sont nuls car X et Y sont des complexes. Le deuxième et le troisième se simplifient. Ainsi Hom (X, Y) est bien un complexe de R-modules.
Vérifions que Hom (f, g) est bien un morphisme de complexes. Par construction, Hom (f, g)n est bien R-
linéaire. De plus, on a dn
Hom(X′,Y′)Hom (f, g)n((uk)k∈Z) = dHomn (X′,Y′)((gn+kukfk)k∈Z)
= (dn+kY′ gn+kukfk+ (−1)n+1gn+k+1uk+1fk+1dkX′)k∈Z
et Hom (f, g)n+1dn
Hom(X,Y)((u k)
k∈Z) = Hom (f, g)n+1((dn+kY uk+ (−1)n+1uk+1dkX)k∈Z)
= (gn+k+1dn+k
Y ukfk+ (−1)n+1gn+k+1uk+1dkXfk)k∈Z.
Comme f et g sont des morphismes de complexes, on a gn+k+1dn+k Y = d
n+k
Y′ gn+k et dkXfk = fk+1dkX′. Ainsi
Hom (f, g) est bien un morphisme de complexes.
Montrons que Hom ( , ) est bien un foncteur. On a clairement Hom (idX, idY) = idHom(X,Y). De plus, si
(X′′, d
X′′) et (Y′′, dY′′) sont deux complexes de C et f′ : X′′→ X′ et g′ : Y′′→ Y′ deux morphismes de C -
complexes, on a par associativité de la composition, Hom (ff′, g′g) = Hom (f′, g′)Hom (f, g).
Remarque 3.64 Complexes bornés et foncteur Hom. Soient (X, dX) et (Y, dY) deux complexes de C . On
suppose que X est borné à droite (resp. borné à gauche, borné) et Y est borné à gauche (resp. borné à droite, borné) alors Hom (X, Y) est borné à gauche (resp. borné à droite, borné).
Pour cela, considérons N, M ∈ Z tel que Xn = 0 pour n > N et Yn = 0 pour n 6 M et montrons qu’alors
Hom (X, Y)n = 0 pour n 6 M − N + 1. Par définition, Hom (X, Y)n 6= 0 impose qu’il existe (i, j) ∈ Z2 tel
que j − i = n et HomC(Xi, Yj) 6= 0. On en déduit que Xi 6= 0 et Yj 6= 0. Ainsi i < N et j > M et donc
n = j − i > M − N + 2.
De même, si Xn = 0 pour n 6 N et Yn = 0 pour n > M alors Hom (X, Y)n = 0 pour n > M − N − 1. En
effet, Hom (X, Y)n6= 0 impose qu’il existe (i, j) ∈ Z2 tel que j − i = n et Hom
C(Xi, Yj) 6= 0. On en déduit que
Xi6= 0 et Yj6= 0. Ainsi i > N et j < M et donc n = j − i 6 M − N − 2.
Le foncteur Hom induit donc des foncteurs de Com(C )+ × Com(C )− dans Com(C )−, mais aussi de
Com(C )−× Com(C )+ dans Com(C )+ et enfin de Com(C )b× Com(C )b dans Com(C )b.
Transformations naturelles
On étudie ici quelques transformations naturelles usuelles faisant intervenir le complexe Hom. La transfor- mation naturelle α (voir la proposition 3.66) permettra par exemple de définir la translation sur la catégorie homotopique.
Notation 3.65 Isomorphisme canonique. Soit X un A-module, on note ΦX l’isomorphisme canonique de
A-modules
ΦX:
(
HomA(A, X) −→ X f 7−→ f (1) .
Proposition 3.66 Transformation naturelle et complexe Hom. Soit (X, dX) un complexe de A-modules.
La famille ΦX= (ΦXn)n∈Z réalise un isomorphisme naturel de complexes entre Hom (A, X) et X.
Soient (X, dX) et (Y, dY) deux complexes de C . Pour n ∈ Z, on définit
δn = idQ
k∈Z
HomC(Xk,Yn+k+1).
La famille δX,Y= (δn)n∈Z réalise un isomorphisme naturel de complexes entre Hom (X, Y[1]) et Hom (X, Y)[1].
Soient (X, dX) et (Y, dY) deux complexes de C . Pour n ∈ Z, on définit
γn: Q k∈Z HomC(Xk−1, Yn+k) −→ Q k∈Z HomC(Xk, Yn+k+1) (fk) k∈Z 7−→ (−1)n(fk+1)k∈Z.
La famille γX,Y= (γn)n∈Zréalise un isomorphisme naturel de complexes entre Hom (X[−1], Y) et Hom (X, Y)[1].
Soient (X, dX) et (Y, dY) deux complexes de C . Pour n ∈ Z, on définit
αn: Q k∈Z HomC(Xk, Yn+k) −→ Q k∈Z HomC(Xk+1, Yn+k+1) (fk) k∈Z 7−→ (−1)n(fk+1)k∈Z.
La famille αX,Y= (αn)n∈Z réalise un isomorphisme naturel entre Hom (X, Y) et Hom (X[1], Y[1]).
Preuve. Comme A est concentré en degré 0, on a Hom (A, X)n = Hom
A(A, Xn) et la différentielle dnHom(A,X)
se résume à
dn
Hom(A,X):
(
HomA(A, Xn) −→ HomA(A, Xn+1)
u 7−→ dn Xu .
Montrons que (ΦXn)n∈Z est un morphisme de complexes. Pour n ∈ Z, l’application ΦXn : Hom (A, X)n→ Xn
est bien A-linéaire. De plus, pour u ∈ HomA(A, Xn), on a
ΦXn+1dn
Hom(A,X)(u) = ΦXn+1d n
Xu = dnX(u(1)) = dnXΦXn(u) .
Ainsi (ΦXn)n∈Z est un morphisme de complexes. De plus, chacun des ΦXnest un isomorphisme. Ainsi (ΦXn)n∈Z
est un isomorphisme de complexes. Montrons la naturalité. Soient (X′, d
X′) un complexe de A-modules et f : X → X′un morphisme de complexe
de A-modules. Comme Hom (A, X)n = Hom
A(A, Xn), Hom (A, X′)n = HomA(A, X′n) et Hom (idA, f )n est la
Hom (A, X)n ΦXn // Hom(idA,f )n Xn f Hom (A, X′)n ΦX′n // X′n
Intéressons-nous à présent au lien entre le décalage et le foncteur Hom. Par définition, on a Hom (X, Y[1])n = Q
k∈Z
HomC(Xk, Y[1]n+k) =
Q
k∈Z
HomC(Xk, Yn+k+1) = Hom (X, Y)n+1= Hom (X, Y)[1]n.
Ainsi δn définit bien une application R-linéaire de Hom (X, Y[1])n dans Hom (X, Y)[1]n. Montrons que la famille
(δn)
n∈Z est bien un morphisme de complexes. Pour (fk)k∈Z∈ Hom (X, Y[1])n, on a
δn+1dn Hom(X,Y[1])((f k) k∈Z) = δn+1((−dn+k+1Y fk+ (−1)n+1fk+1dkX)k∈Z) = (−dn+k+1Y fk+ (−1)n+1fk+1dkX)k∈Z et dn Hom(X,Y)[1]δ n((fk) k∈Z) = −dn+1Hom(X,Y)((fk)k∈Z) = −(dn+1+kY fk+ (−1)n+2fk+1dkX)k∈Z.
Ainsi δX,Y est un morphisme de complexes de C . De plus, chacun des δn est un isomorphisme et δX,Y est un
isomorphisme de complexes.
Montrons la naturalité. Considérons deux complexes (X′, d
X′), (Y′, dY′) et deux morphismes de complexes
f = (fn)
n∈Z: X′→ X et g = (gn)n∈Z: Y → Y′. Pour (uk)k∈Z∈ Hom (X, Y[1])n, on a
Hom (f, g)[1]nδn((uk)
k∈Z) = Hom (f, g)n+1((uk)k∈Z) = (gn+1+kukfk)k∈Z
et δnHom (f, g[1])n((uk)
k∈Z) = δn(g[1]n+kukfk)k∈Z= (gn+k+1ukfk)k∈Z.
Autrement dit, le diagramme suivant est commutatif et on a la naturalité cherchée. Hom (X, Y[1])n δn // Hom(f,g[1])n Hom (X, Y)[1]n Hom(f,g)[1]n Hom (X′, Y′[1])n δn //Hom (X′, Y′)[1]n
Étudions à présent le décalage sur le terme de gauche. Par définition, on a Hom (X[−1], Y)n= Q k∈Z HomC(X[−1]k, Yn+k) = Q k∈Z HomC(Xk−1, Yn+k)
et Hom (X, Y)[1]n = Hom (X, Y)n+1= Q k∈Z
HomC(Xk, Yn+k+1) .
Ainsi γn définit bien une application R-linéaire de Hom (X[−1], Y)n dans Hom (X, Y)[1]n. Montrons que la
famille (γn)
n∈Z est bien un morphisme de complexes. Pour (fk)k∈Z∈ Hom (X[−1], Y)n, on a
γn+1dn Hom(X[−1],Y)((f k) k∈Z) = γn+1((dn+kY fk+ (−1)n+1fk+1dkX[−1])k∈Z) = γn+1((dn+k Y fk+ (−1)nfk+1d k−1 X )k∈Z) = (−1)n+1(dn+k+1 Y fk+1+ (−1)nfk+2dkX)k∈Z et dn Hom(X,Y)[1]γ n((fk) k∈Z) = −dn+1Hom(X,Y)((−1)n(fk+1)k∈Z) = (−1)n+1(dn+1+kY fk+1+ (−1)n+2fk+2dkX)k∈Z.
Ainsi γX,Y est un morphisme de complexes de C . De plus, chacun des γn est un isomorphisme et γX,Y est un
isomorphisme de complexes.
Montrons la naturalité. Considérons deux complexes (X′, d
X′), (Y′, dY′) et deux morphismes de complexes
f = (fn) n∈Z: X′→ X et g = (gn)n∈Z: Y → Y′. Pour (uk)k∈Z∈ Hom (X[−1], Y)n, on a Hom (f, g)[1]nγn((uk) k∈Z) = Hom (f, g)n+1((−1)n(uk+1)k∈Z) = (−1)n(gn+1+kuk+1fk)k∈Z et γnHom (f[−1], g)n((uk) k∈Z) = γn(gn+kukf [−1]k)k∈Z= γn(gn+kukfk−1)k∈Z= (−1)n(gn+k+1uk+1fk)k∈Z.
Autrement dit, le diagramme suivant est commutatif et on a la naturalité cherchée. Hom (X[−1], Y)n γn // Hom(f [−1],g)n Hom (X, Y)[1]n Hom(f,g)[1]n Hom (X′[−1], Y′)n γn //Hom (X′, Y′)[1]n
Terminons sur le décalage de chacun des deux termes. Par définition, on a Hom (X, Y)n= Q
k∈Z
HomC(Xk, Yn+k) et Hom (X[1], Y[1])n =
Q
k∈Z
HomC(Xk+1, Yn+k+1) .
Ainsi αn définit bien une application R-linéaire de Hom (X, Y)ndans Hom (X[1], Y[1])n. Montrons que la famille
(αn)
n∈Z est bien un morphisme de complexes. Pour (fk)k∈Z∈ Hom (X, Y)n, on a
αn+1dn Hom(X,Y)((f k) k∈Z) = αn+1((dn+kY fk+ (−1)n+1fk+1dkX)k∈Z) = (−1)n+1(dn+k+1 Y fk+1+ (−1)n+1fk+2d k+1 X )k∈Z et dn Hom(X[1],Y[1])α n((fk) k∈Z) = dnHom(X[1],Y[1])((−1)n(fk+1)k∈Z) = (−1)n(dn+k Y[1]f k+1+ (−1)n+1fk+2dk X[1])k∈Z = (−1)n+1(dn+k+1 Y fk+1+ (−1)n+1fk+2d k+1 X )k∈Z.
Ainsi αX,Y est un morphisme de complexes de C . De plus, chacun des αn est un isomorphisme et αX,Y est un
isomorphisme de complexes.
Montrons la naturalité. Considérons deux complexes (X′, d
X′), (Y′, dY′) et deux morphismes de complexes
f = (fn) n∈Z: X′→ X et g = (gn)n∈Z: Y → Y′. Pour (uk)k∈Z∈ Hom (X, Y)n, on a Hom (f[1], g[1])nαn((uk) k∈Z) = Hom (f [1], g[1])n((−1)n(uk+1)k∈Z) = (−1)n(g[1]n+kuk+1f [1]k) k∈Z = (−1)n(gn+k+1uk+1fk+1) k∈Z. et αnHom (f, g)n((uk) k∈Z) = αn(gn+kukfk)k∈Z= (−1)n(gn+k+1uk+1fk+1)k∈Z.
Autrement dit, le diagramme suivant est commutatif et on a la naturalité cherchée. Hom (X, Y)n αn // Hom(f,g)n Hom (X[1], Y[1])n Hom(f [1],g[1])n Hom (X′, Y′)n αn //Hom (X′[1], Y′[1])n
On a bien montré les résultats souhaités.
Comme les sous-catégories de complexes bornés sont pleines, les transformations naturelles précédentes passent aux catégories des complexes bornés : c’est le sens de la remarque qui suit.
Remarque 3.67 Complexes bornés. Soit ∗ ∈ {ub, +, −, b}. Comme A est borné, le foncteur Hom (A, ) définit un foncteur de ACom∗ dans ACom∗. Le premier isomorphisme de la proposition 3.66 et le fait que ACom∗ soit
une sous-catégorie pleine de ACom assurent que les foncteurs Hom (A, ) et idACom∗ sont isomorphes.
On note T le foncteur de décalage. La remarque 3.64 montre que Hom ( , T( )) et THom ( , ) induisent des foncteurs isomorphes de (ComC+)op× ComC− (resp. (ComC−)op× ComC+, (ComCb)op× (ComCb)) dans
ComC− (resp. ComC+ et ComCb).
La remarque 3.64 montre que les foncteurs Hom (T−1( ), ) et THom ( , ) induisent des foncteurs isomorphes
de (ComC+)op× ComC− (resp. (ComC−)op× ComC+, (ComCb)op× (ComCb)) dans ComC− (resp. ComC+
et ComCb).
La remarque 3.64 montre que les foncteurs Hom (T( ), T( )) et Hom ( , ) induisent des foncteurs isomorphes de (ComC+)op× ComC− (resp. (ComC−)op× ComC+, (ComCb)op× (ComCb)) dans ComC− (resp. ComC+
et ComCb).
Foncteur Hom et translation
Dans les trois remarques qui suivent, on vérifie que les foncteurs et transformations naturelles définis grâce au complexe Hom se comportent bien vis-à-vis des translations.
Remarque 3.68 Foncteurs Hom et translation. Soit (X, dX) un complexe de C (resp. borné à gauche,
borné à droite, borné). La proposition 3.66 montre que le foncteur Hom (X, ) est un foncteur de catégories R-linéaires à translation (voir la définition 10.1.1 de [K-S]) de Com(C ) (resp. Com(C )−, Com(C )+, Com(C )b)
dans Com(C ) (resp Com(C )−, Com(C )+, Com(C )b).
Soit (Y, dY) un complexe de C (resp. borné à gauche, borné à droite, borné). La proposition 3.66 montre
que le foncteur Hom ( , Y) est un foncteur de catégories R-linéaires à translation de Com(C ) (resp. Com(C )−,
Remarque 3.69 Transformation naturelle entre foncteurs de catégories à translation. On a le diagramme commutatif
Hom (A, X[1]) δA,X
// ΦX[1] Hom (A, X)[1] ΦX[1] X[1] idX[1] // X[1] En effet, en degré n, on a pour f ∈ HomA(A, Xn+1),
ΦX[1]nδA,Xn(f ) = ΦXn+1(f ) = f (1) et idX[1]nΦX[1]n(f ) = f (1) .
Autrement dit, la transformation naturelle Φ : Hom (A, ) → idACom est un morphisme de foncteurs de caté-
gories à translation (voir la définition 10.1.1 de [K-S]). Comme le complexe A est borné, on obtient bien sûr le même résultat pour les catégories ACom+, ACom− et AComb.
Remarque 3.70 Double décalage. Soient (X, dX), (Y, dY) deux complexes C . Le diagramme suivant est
anti-commutatif : on a γX,Y[1] ◦ δX[−1],Y= −δX,Y[1] ◦ γX,Y[1].
Hom (X[−1], Y[1])δX[−1],Y//
γX,Y[1]
Hom (X[−1], Y)[1]
γX,Y[1]
Hom (X, Y[1])[1] δX,Y[1]
//Hom (X, Y)[2] En effet, pour n ∈ Z et (uk)
k∈Z∈ Hom (X[−1], Y[1])n, on a
γX,Y[1]n◦ δX[−1],Yn((uk)k∈Z) = γX,Yn+1((uk)k∈Z) = (−1)n+1((uk+1)k∈Z)
et δX,Y[1]n◦ γX,Y[1]n((uk)k∈Z) = δX,Yn+1((−1)n(uk+1)k∈Z) = (−1)n((uk+1)k∈Z) .
Autrement dit, suivant la définition de [K-S, définition 10.1.1(v)], le foncteur Hom ( , ) est un bifoncteur de catégories R-linéaires à translation.