Le cas des catégories abéliennes

Dans cette sous-section, on étudie le cas où la catégorie C est abélienne. La catégorie des complexes hérite alors aussi d’une structure abélienne (proposition 3.71). De plus, on peut définir un nouvel outil : la cohomologie d’un complexe qui mène aux notions de complexes exacts et de quasi-isomorphismes ainsi qu’aux bases de l’algèbre homologique.

Proposition 3.71 Si CCC _{est une catégorie abélienne. Lorsque C est une catégorie abélienne, les catégories} Com(C ), Com(C )+_{, Com(C )}− _{et Com(C )}b _{sont abéliennes.}

Preuve. Commençons par montrer un premier résultat général dans les catégories additives. Soient C une catégorie additive, (X, dX), (Y, dY) deux complexes de C et f = (fn)n∈Z : X → Y un morphisme de complexes.

On suppose que pour tout n ∈ Z, fn _{est un monomorphisme alors f en est un. En effet, si (Z, d}

Z) est un

complexe de C et g = (gn₎

n∈Z : Z → X un morphisme de complexe vérifiant f g = 0, on a fngn = 0 pour tout

n ∈ Z et donc gn_{= 0 pour tout n. Ainsi g = 0. De même, si pour tout n ∈ Z, f}n _{est un épimorphisme alors f}

en est un. En effet, si (Z, dZ) est un complexe de C et g = (gn)n∈Z: Y → Z un morphisme de complexe vérifiant

gf = 0, on a gn_fn_{= 0 pour tout n ∈ Z et donc g}n _{= 0 pour tout n. Ainsi g = 0.}

On suppose à présent que C est une catégorie abélienne. Soient (X, dX), (Y, dY) deux complexes de C et

f = (fn₎

n∈Z : X → Y un morphisme de complexes. Pour n ∈ Z, on pose (X′n, in) le noyau de fn: Xn→ Yn et

(Y′n_{, q}n_{) le conoyau de f}n_{: X}n_{→ Y}n_.

L’application dn

X induit un unique morphisme dnX′ : X′n→ X′n+1 vérifiant in+1dn_X′ = dn_Xin. En effet, on a

fn+1_dn

Xin= dnYfnin= 0 et donc dnXin se factorise par le noyau de fn+1.

Montrons que (X′_{, d}

X′) est un complexe. Il suffit de montrer que dn+1

X′ dn_X′ = 0. Or par construction, on a

in+2_dn+1

X′ dn_X′ = dn+1_X in+1dn_X′ = dn+1_X dn_Xin= 0. Comme in+2 est un monomorphisme, on en déduit que (X′, dX′)

est un complexe. De plus, la construction de dX′ assure que i = (in)_n∈Z est un morphisme de complexe de X′

dans X.

Montrons que ((X′_{, d}

X′), i) est un noyau de f . Soit (Z, d_Z) soit un complexe de C et g = (gn)_n∈Z : Z → X

tel que fg = 0. Montrons que g se factorise par i. Par hypothèse, on a fn_gn _{= 0. Par définition de i}n_{, on}

peut écrire gn _{= i}n_hn _{avec h}n _{: Z}n_{→ X}′n_{. Montrons que (h}n₎

n∈Z est un morphisme de complexes. On a

in+1_hn+1_dn

(hn₎

n∈Z est un morphisme de complexes. De plus, on a bien g = ih. Enfin, d’après le résultat préliminaire, i est

un monomorphisme, ce qui donne l’unicité de la factorisation à travers i. Ainsi ((X′_{, d}

X′), i) est un noyau de f .

L’application dn

Y induit un unique morphisme dnY′ : Y′n→ Y′n+1 vérifiant qn+1dn_Y = dn_Y′qn. En effet, on a

qn+1_dn

Yfn= qn+1fn+1dXn = 0 et donc qn+1dnY se factorise par le conoyau de fn.

Montrons que (Y′_{, d}

Y′) est un complexe. Il suffit de montrer que dn+1_Y′ dn_Y′ = 0. Or par construction, on a

dn+1_Y′ dn_Y′qn = dn+1_Y′ qn+1dn_Y = qn+2d

n+1

Y dnY= 0. Comme qn est un épimorphisme, on en déduit que (Y′, dY′) est

un complexe. De plus, la construction de dY′ assure que q = (qn)_n∈Z est un morphisme de complexes de Y

dans Y′_.

Montrons que ((Y′_{, d}

Y′), q) est un conoyau de f . Soit (Z, d_Z) un complexe de C et g = (gn)_n∈Z : Y → Z

tel que gf = 0. Montrons que g se factorise par q. Par hypothèse, on a gn_fn _{= 0. Par définition de q}n_,

on peut écrire gn _{= h}n_qn _{avec h}n _{: Y}′n_{→ Z. Montrons que (h}n₎

n∈Z est un morphisme de complexes. On a

dn

Zhnqn = dnZgn = gn+1dnY = hn+1qn+1dnY = hn+1dnY′qn. Comme qn est un épimorphisme, on en déduit que

(hn₎

n∈Z est un morphisme de complexes. De plus, on a bien g = hq. Enfin, d’après le résultat préliminaire, q est

un épimorphisme, ce qui donne l’unicité de la factorisation à travers q. Ainsi ((Y′_{, d}

Y′), q) est un conoyau de f .

On en déduit que les morphismes de Com(C ) ont des noyaux et des conoyaux. On en déduit aussi la réciproque du résultat préliminaire dans une catégorie abélienne : si f = (fn₎

n∈Z est un monomorphisme (resp.

épimorphisme) de complexes alors tous les fn _{aussi. En effet, si f est un monomorphisme (resp. épimorphisme)}

alors son noyau (resp. conoyau) est nul. La construction du noyau (resp. conoyau) de f montre alors que le noyau (resp. conoyau) de fn _{est nul pour tout n ∈ Z et donc f}n _{est un monomorphisme (resp. épimorphisme).}

Soit f = (fn_{) ∈ Hom}

Com(C )(X, Y) un monomorphisme (resp. un épimorphisme) dans Com(C ). On considère

alors ((Y′_{, d}

Y′), q = (qn)_n∈Z) (resp. ((X′, d_X′), i = (in)_n∈Z)) le conoyau de f (resp. le noyau de f ). Par définition,

dn

Y′(resp. dn_X′) est l’unique morphisme vérifiant qn+1dn_Y= dn_Y′qn(resp. in+1dn_X′ = dn_Xin). Comme C est abélienne,

(Xn_{, f}n_{) (resp. (Y}n_{, f}n_{)) est le noyau (resp. conoyau) de q}n_{(resp. i}n_{). Et la différentielle (en degré n) du noyau}

de q est par définition l’unique morphisme (noté dn_{) vérifiant f}n+1_dn _{= d}n

Yfn (resp. fn+1dnX = dnfn). Par

unicité, on a dn _{= d}n

X (resp. dn = dnY). Ainsi ((X, dX), f ) (resp. ((Y, dY), f )) est le noyau (conoyau) de son

conoyau (son noyau). On en déduit que Com(C ) est une catégorie abélienne.

Soit ∗ ∈ {+, −, b}. On suppose que (X, dX) et (Y, dY) sont des objets de Com(C )∗et f : X → Y un morphisme

de complexes. Par construction, le noyau et le conoyau de f sont dans Com(C )∗_{. Comme Com(C )}∗_{est une sous-}

catégorie de Com(C ), le noyau et le conoyau de f dans Com(C ) sont aussi le noyau et le conoyau dans Com(C )∗_.

De plus, supposons que f soit un monomorphisme (resp. un épimorphisme) dans Com(C )∗_{. Le noyau (resp.}

conoyau) de f dans Com(C )∗ _{est alors le complexe nul. Comme les noyaux (resp. conoyaux) dans Com(C )}∗ _et

Com(C ) coïncident, on en déduit que f est un monomorphisme (resp. épimorphisme) dans Com(C ) et donc f est le noyau de son conoyau (resp. le conoyau de son noyau) dans Com(C ). Comme le conoyau (resp. noyau) est par construction dans Com(C )∗_{, la coïncidence des noyaux et conoyaux dans Com(C ) et Com(C )}∗ _assure

que f est le noyau de son conoyau (resp. conoyau de son noyau) dans Com(C )∗_{. Autrement dit, Com(C )}∗ _est

une catégorie abélienne et le foncteur d’inclusion est exact. On en déduit aussi immédiatement que les foncteurs d’inclusion de Com(C )b _{dans Com(C )}+ _{ou Com(C )}− _{sont exacts.}

Finalement, soit ∗ ∈ {ub, +, −, b}. Par construction des noyaux et conoyaux, une suite X f // Y g // Z

dans Com(C )∗ _{est exacte si et seulement si pour tout n ∈ Z, la suite}

Xn f

n

// Yn g

n

// Zn

est exacte dans C .

Remarque 3.72 Décalage et catégorie abélienne. Soient ∗ ∈ {ub, +, −, b} et m ∈ Z. On suppose que C est une catégorie abélienne. La construction des noyaux et des conoyaux dans Com(C )∗ _{assure que, pour un}

morphisme de complexe f, on a Ker (f[m]) = (Ker f)[m] et Coker (f[m]) = (Coker f)[m]. On en déduit que [m] est un foncteur exact et donc [m] est une auto-équivalence de la catégorie abélienne de Com(C )∗_.

Cohomologie

On définit ici la cohomologie d’un complexe dans une catégorie abélienne puis on donne l’exemple de la cohomologie du complexe Hom.

Proposition 3.73 Foncteurs Cohomologie. On suppose que C est une catégorie abélienne. Lorsque (X, dX)

est un complexe de C , on définit les familles d’objets de C ZX = (Zn_X)

n∈Z où ZnX = Ker dnX, BX = (BnX)n∈Z où BnX = Im dn−1_X ,

et HX = (Hn_X)

Soient (X, dX), (Y, dY) deux complexes de C et f = (fn)n∈N: X → Y un morphisme de complexes de C . On

peut alors définir les familles de morphismes de C : Zf = (Zn_{f )}

n∈Z où Znf : ZnX → ZnY est le morphisme induit par fn,

Bf = (Bn_{f )}

n∈Z où Bnf : ZnX → BnY est le morphisme induit par fn

et Hf = (Hn_{f )}

n∈Z où Hnf : ZnX → BnY est le morphisme induit par fn.

On définit ainsi trois foncteurs de catégories R-linéaires à translation Z :      Com(C ) −→ CZ X 7−→ ZX f 7−→ Zf B :      Com(C ) −→ CZ X 7−→ BX f 7−→ Bf et H :      Com(C ) −→ CZ X 7−→ HX f 7−→ Hf .

Preuve. Comme la catégorie C est abélienne, Zn_{X et B}n_{X sont bien définis. Montrons que la relation}

dn Xd

n−1

X = 0 assure que BnX est un sous-objet de ZnX. On pose jX : BnX → Xn le morphisme d’inclusion

et qX : Xn→ Cokerdn−1X le morphisme canonique. Par hypothèse, on a qXdn−1X = 0. Ainsi d n−1

X se factorise

de façon unique par Ker qX = Im dn−1_X c’est-à-dire qu’il existe un unique morphisme ed : Xn−1→ BnX tel que

jXd = de n−1X . Les axiomes des catégories abéliennes assurent que ed est un épimorphisme (c’est un conoyau de

l’inclusion Ker dn−1

X dans Xn−1). Or on a dnX◦ jX◦ ed = dXndn−1X = 0 et donc dnXjX= 0 (puisque ed est un épimor-

phisme). Ainsi jXse factorise par Ker dnX= ZnX c’est-à-dire qu’il existe un unique morphisme jX′ : BnX → ZnX

tel que iXjX′ = jX. De plus, jX′ est un monomorphisme puisque iXj′X= jX en est un. Finalement on peut bien

définir Hn_{X comme le conoyau de l’inclusion de j}′

X: BnX → ZnX.

Montrons que fn _{induit un morphisme Z}n_{X dans Z}n_{Y. On note i}

X : ZnX → Xn et iY : ZnY → Yn les

morphismes d’inclusion. On a dn+1

Y fniX = fn+1dXniX = 0. Ainsi fniX se factorise de façon unique par ZnY

c’est-à-dire qu’il existe un unique morphisme Zn_{f : Z}n_{X → Z}n_{Y tel que i}

YZnf = fniX.

Montrons que fn _{induit un morphisme B}n_{X dans B}n_{Y. On note j}

X : BnX → Xn et jY : BnY → Yn les

morphismes d’inclusion et qX : Xn→ Cokerdn−1X et qY : Yn→ Cokerdn−1Y les morphismes canoniques. On a

qYfndn−1X = qYdYn−1fn−1 = 0. On en déduit que qYfn se factorise de façon unique par Cokerdn−1X c’est-à-

dire qu’il existe un unique morphisme ef : Cokerdn−1_X → Cokerdn−1_Y tel que qYfn = ef qX. On en déduit que

qYfnjX= ef qXjX= 0. Ainsi fnjX se factorise de façon unique par Ker qY = Im dn−1_Y c’est-à-dire qu’il existe un

unique morphisme Bn_{f : B}n_{X → B}n_{Y tel que f}n_j

X= jYBnf .

Montrons que fn _{induit un morphisme de H}n_{X dans H}n_{Y. On note j}′

X : BnX → ZnX et jY′ : BnY → ZnY

les morphismes d’inclusion et q′

X: ZnX → HnX et qY′ : ZnY → HnY les morphismes canoniques. Montrons pour

commencer que j′

YBnf = jX′Znf . Comme iYjY′ = jY et iXj′X= jX, on a

iYjY′ Bnf = jYBnf = fnjX= fniXjX′ = iYZnf jX′ .

On obtient l’égalité souhaitée car iY est un monomorphisme. On en déduit que qY′ Znf jX′ = q′YjY′ Bnf = 0 et

donc q′

YZnf se factorise façon unique par Cokerj′X= HnX c’est-à-dire il existe un unique morphisme Hnf tel

que Hn_{f q}′

X= q′YZnf .

Montrons à présent la fonctorialité. Soit (Z, dZ) un complexe de C et g : Y → Z un morphisme de complexes

de C . On note iZ : ZnZ → Zn, jZ : BnZ → Zn les morphismes d’inclusions et qZ′ : ZnZ → HnZ le morphisme

canonique. Comme Zn_{g Z}n_{f vérifie i}

ZZng Znf = gniYZnf = gnfniX, on obtient, par unicité, Zn(gf ) = Zng Znf .

De même, Bn_{g B}n_{f vérifie j}

ZBng Bnf = gnjYBnf = gnfnjX et donc, par unicité, Bn(gf ) = Bng Bnf . Enfin

Hn_{g H}n_{f vérifie H}n_{g H}n_{f q}′

X= HngqY′ Znf = qZ′Zng Znf = qZ′Zn(gf ) et donc, par unicité, Hn(gf ) = Hng Hnf .

De même, idZn_X vérifie i_Xid_Zn_X = i_X = id_Xni_X et donc, par unicité, Zn(id_X) = id_Zn_X. De façon identique,

idBn_X vérifie j_Xid_Bn_X= j_X = id_Xnj_X et, par unicité, on obtient Bn(id_X) = id_Bn_X. Enfin, le morphisme id_Hn_X

vérifie idHn_Xq′

X= qX′ = qX′ idZn_X= q′

XZn(idX) et donc Hn(idX) = idHn_X.

La R-linéarité des foncteurs Z, B et H s’obtient de la même façon en utilisant l’unicité. Par ailleurs, comme Ker u = Ker (−u) (resp. Im u = Im (−u) et Coker u = Coker (−u)) pour tout u morphisme d’une catégorie abélienne, on obtient que (ZX)[1] = Z(X[1]), (BX)[1] = B(X[1]) et (HX)[1] = H(X[1]) pour tout complexe (X, dX) et (Zf )[1] = Z(f [1]), (Bf )[1] = B(f [1]) et (Hf )[1] = H(f [1]) pour tout morphisme de complexes.

Définition 3.74 Complexe de cohomologie. Soient (X, dX) un complexe d’une catégorie abélienne C . En

suivant les notations de la définition 3.57. On note Z(X) = I(ZX) (resp. B(X) = I(BX), H(X) = I(HX)) le complexe à différentielle nulle de C associé à ZX (resp. BX, HX).

Exemple 3.75 Homologie en degré 0 du complexe Hom. Soient C une catégorie additive et (X, dX) et

(Y, dY) deux complexes de C . On a alors

Z0_{Hom (X, Y) = Hom}

En effet, par définition de la différentielle en degré 0 du complexe Hom, on a Z0_{Hom (X, Y) =}  (fn)n∈Z∈ Q n∈Z HomC(Xn, Yn), ∀ n ∈ Z, dnYfn= fn+1dnX  .

Par ailleurs, on dit que les éléments de B0_{Hom (X, Y) sont les homotopies de X dans Y c’est-à-dire les}

éléments de la forme  (fn₎ n∈Z∈ Q n∈Z HomC(Xn, Yn), ∃ (sn)n∈Z ∈ Q n∈Z HomC(Xn, Yn−1), ∀ n ∈ Z, fn = dn−1_Y sn+ sn+1dnX  . On note souvent HomtC(X, Y) l’ensemble des homotopies de X dans Y (plutôt que B0Hom (X, Y)). Comme

B0_{Hom (X, Y) ⊂ Z}0_{Hom (X, Y), une homotopie est en particulier un morphisme de complexes. On retrouve ce}

résultat par le calcul : on a dn

Yfn= dnYsn+1dnX= fn+1dnXpour tout n ∈ Z.

Par ailleurs, si f : X′_{→ X et g : Y → Y}′ _{sont deux morphismes de complexes, la définition du foncteur Z}0

donne Z0_{Hom (f, g) = Hom}

Com(C )(f, g).

L’étude du R-module H0_{Hom (X, Y) sera faite à la sous-section 3.4.5.}

De façon un peu plus générale, fixons m ∈ Z, on a Zm_{Hom (X, Y) =}  (fn)n∈Z ∈ Q n∈Z HomC(Xn, Yn+m), ∀ n ∈ Z, (−1)md n+m Y fn= fn+1dnX  . Comme (−1)m_dn+m

Y = dnY[m], on obtient que ZmHom (X, Y) = HomCom(C )(X, Y[m]). Par ailleurs, si f : X′→ X

et g : Y → Y′ _{sont deux morphismes de complexes alors Z}m_{Hom (f, g) = Hom}

Com(C )(f, g[m]). Enfin, grâce à

l’isomorphisme δX,Y de la proposition 3.66, BmHom (X, Y) = B0Hom (X, Y[m]) est l’ensemble des homotopies

de X dans Y[m].

Algèbre homologique

Grâce à la notion de cohomologie, on peut définir de nouveaux types de morphismes ou de complexes : les quasi-isomorphismes et les complexes exacts. On présente aussi le résultat fondateur de l’algèbre homologique : la suite exacte longue de cohomologie. Enfin, on finit cette sous-section par le corollaire 3.80 qui relie les différentes notions présentées ici.

Définition 3.76 Quasi-isomorphisme. On suppose que C est une catégorie abélienne. Soient (X, dX) et

(Y, dY) deux complexes de C et f : X → Y un morphisme de complexes. On dit que f est un quasi-isomorphisme

si Hn_{(f ) est un isomorphisme pour tout n ∈ Z c’est-à-dire si H(f ) est un isomorphisme.}

On dit que (X, dX) est quasi-isomorphe à (Y, dY) s’il existe un quasi-isomorphisme de (X, dX) dans (Y, dY).

Définition 3.77 Complexe exact. On suppose que C est une catégorie abélienne. Soit (X, dX) et (Y, dY) un

complexe de C . On dit que (X, dX) est exact si HX = 0 (c’est-à-dire si X est quasi-isomorphe à 0).

Proposition 3.78 Un tout petit peu d’algèbre homologique. Soit C est une catégorie abélienne. Il existe un foncteur R-linéaire de la catégorie des suites exactes courtes de Com(C ) dans la catégorie des flèches de CZ

donné par :

(i) à la suite exacte courte 0 // X f // Y g // Z // 0 de complexes de C , on associe un morphisme δ = (δn₎

n∈Z: H(Z) → H(X[1]) telle que, pour tout n ∈ Z, la suite

Hn_(X) H n_{(f )} // Hn_(Y) H n_(g) // Hn_(Z) δn _{// H}n+1_(X)H n+1_{(f )} // Hn+1_(Y) soit exacte.

(ii) au morphisme (uX, uY, uZ) entre les suites exactes courtes

0 // X f // Y g // Z // 0 et 0 // X′ f

′

// Y′ g

′

// Z′ _{// 0 ,}

on associe, le morphisme (H(uZ), H(uX[1])) de la catégorie des flèches de CZ.

Preuve. Voir les théorèmes 12.2.4 et 12.3.3 de [K-S].

Proposition 3.79 Suite exacte d’un cône. Soient C une catégorie abélienne, (X, dX) et (Y, dY) deux

complexes de C et f : X → Y un morphisme de complexes. On note i : Y → C(f) et π : C(f) → X[1] les morphismes canoniques (voir la définition 3.61). La suite

est exacte. De plus, le morphisme δ de la proposition 3.78 associé à la suite exacte (∗) est H(f[1]).

Preuve. D’après ce qu’on a vu dans la démonstration de la proposition 3.71, il suffit de regarder ce qui se passe en degré n pour tout n ∈ Z. Or en degré n, la suite

0 // Yn in _{// Y}n_{⊕ X[1]}n πn+1_{// X[1]}n _{// 0}

est évidemment exacte. La deuxième partie de la proposition résulte des constructions de δ et H(f[1]).

Corollaire 3.80 Cône et quasi-isomorphisme. Soient C une catégorie abélienne, (X, dX) et (Y, dY) deux

complexes de C et f : X → Y un morphisme de complexes. Alors f est un quasi-isomorphisme si et seulement si C(f) est un complexe exact.

Preuve. D’après les propositions 3.78 et 3.79, on a la suite exacte Hn_(Y) Hn(i)_{// H}n_{(C(f ))} Hn(π)_{// H}n+1_(X)H

n+1_{(f )}

// Hn+1_(Y)H

n+1_(i)

// Hn+1_{(C(f ))}

Si C(f) est exact alors, pour tout n ∈ Z, les objets Hn_{(C(f )) et H}n+1_{(C(f )) sont nuls. Ainsi H}n_{(π) et}

Hn+1_{(i) sont nuls et donc, par exactitude, H}n+1_{(f ) est un monomorphisme et un épimorphisme c’est-à-dire un}

isomorphisme.

Si f est un quasi-isomorphisme alors, par exactitude, Hn_{(π) et H}n+1_{(i) sont nuls, pour tout n ∈ Z. L’exac-}

titude en Hn_{(C(f )) assure alors que C(f ) est exact.}

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