Tricouche de graphène

; (1.44)

contrairement au gaz d’électrons ordinaire. De plus, dans la vallée K , le niveauN = 0 a pour vecteur propre :

0 h₀(r)

!

; (1.45)

aussi à énergie nulle. Ces deux derniers vecteurs montrent que l’indice de vallée et indice du sous-réseau sont équivalents dans le niveau N = 0. La présence de N = 0 est la raison pour laquelle les plateaux de la conductivité de Hall apparaissent à des valeurs séparées de2^e_h² à le place de4^e_h² comme dans unGE2Dnormal. L’énergie croît (en valeur absolue) comme la racine carrée du niveau de Landau et idem pour la dépendance en champ magnétique. Dans le cas d’un gaz d’électrons ordinaire, c’est de façon linéraire que changent ces deux dernières variables.

1.2.2 Tricouche de graphène

Passons maintenant au sujet principal de ce mémoire en gardant en tête la petite introduction sur le graphène. Considérons trois couches de graphène empilées de la façon Bernal. Comme mentionné plus haut, le graphène a deux sous-réseaux montrés à la …g (1:4) nommés A et B qui forment une structure en nid d’abeilles. L’empilement Bernal

Chapitre 1 : Notions de base sur le graphène et la tricouche ABC 19

A B

A

A A

A A

B B B

B

B

γ₀

γ₁ γ₄

γ₃

γ₄

Figure 1.4 –Exemple de l’empilement de type Bernal avec les paramètres énergétiques de saut _j, j = 0;1;3;4.

consiste à avoir les atomes du sous-réseau B₂ (l’indice veut dire la deuxième couche de graphène) au centre des hexagones de la structure en nid d’abeilles et les atomes du sous-réseau A₂ au-dessus des atomes du sous-réseau B₁.

La tricouche avec un empilement ditABC est tout simplement un empilement Bernal entre la première et la deuxième couche, mais aussi entre la deuxième et la troisième.

En respectant ces empilements, les atomes du sous-réseau A₁ sont directement sous les atomes du sous-réseauB₃ et les atomes du sous-réseauB₁ sont au centre d’une plaquette de la troisième couche. L’empilement entre la troisième couche et la première est donc aussi Bernal. La séparation entre deux couches est de 3;33Å, pour un espacement entre la première et la troisième d’environ 6;67 Å. La …g.(1:5) montre la structure complète de la tricouche (les indices représentent la couche).

Puisqu’il y a trois couches, le nombre de paramètres de saut augmente considéra-blement par rapport à la bicouche. Nous faisons donc une description de chacun de ces paramètres (dé…nitions prises de [9]). Dans chacune des couches, il y a le saut entre les atomes A_i etB_i, soit le terme ₀. Ce paramètre est le seul intra-couche : tous les autres sont des transferts inter-couches. Entre les couches directement voisines il y a plusieurs types de saut. Comme l’empilement est du type Bernal : il y a une di¤érence entre, di-sons, un saut d’un atome du sous-réseau A₁ de la première couche vers un atome B₂ de la couche au-dessus et le même saut mais inversé, c’est-à-dire A₂ vers B₁, puisque A₂

A

₁

B

₃

B

₁

A

₂

B

₂

A

₁

A

₃

(B

₃

)

(A

₃

)

B

₁

B

₂

(A

₂

)

B

₂

(A

₃

)

(B

₃

) A

₁

Couche 3 Couche 2 Couche 1

Figure 1.5 –Vue du dessus d’une tricoucheABC et de la con…guration de sites les uns par rapport aux autres. L’indice au bas des lettres A et B indique la couche à laquelle l’atome de carbone appartient.

Chapitre 1 : Notions de base sur le graphène et la tricouche ABC 21

Transfert Distance Paramètre du saut

A_i B_i p^ao

3 0

B_i A_i+1

q 2

3a_{o 1}

A_i B_i+1 a_{o 3}

A_i A_i+1 , B_i B_i+1 a_{o 4}

A₁ B₃ 2

q 2

3a_{o 2}

B₁ A₃ p

3a_{o 5} A₁ A₃ , B₁ B₃ p

3a_{o 6}

Tableau1.1 –Paramètres de saut entre les sites et la distance correspondante.

et B₁ sont l’un au-dessus de l’autre. Alors que B₂ est au centre d’un l’hexagone de la première couche. Ainsi le saut du sous-réseauB vers le sous réseauAd’une autre couche a le paramètre énergétique ₁. Ensuite il y a l’inverse, des atomes A vers un atome B d’une autre couche caractérisé par le paramètre énergétique ₃. Les sauts entre les mêmes sous-réseaux (soitA_i vers A_i+1 etB_i vers B_i+1) ont le paramètre ₄. Il reste …nalement les sauts entre la première et troisième couche qui sont beaucoup moins probables à cause de la grande distance qui sépare ces deux couches. Le saut entre le sous-réseau A₁ vers celui du sous-réseau B₃ a le paramètre ₂. Les sauts aux plus grandes distances sont de B₁ vers A₃ avec une énergie de saut ₅ et l’énergie ₆ pour les sauts A₁ vers A₃ et B₁ vers B₃. Le tableau (tab.(1:1)) qui résume chacun des paramètres : .

Nous sommes maintenant en mesure d’écrire l’hamiltonien complet. Étant d’une taille considérable nous choisissons de mettre en annexe l’hamiltonien complet. Nous écrivons immédiatement la matrice correspondante (voir éq.(1:23)) . Comme pour la monocouche, la matrice des vecteurs propres de H_O appliquée sur le vecteur des opérateurs de créa-tion donnera les opérateurs d’états propres, donc un hamiltonien diagonalisé en seconde quanti…cation. La base utilisée estA₁; B₃; B₁; A₂; B₂; A₃ qui donne l’hamiltonien suivant

0 = 3;16eV

1 = 0;502 eV

2 = ^0;0171₂ eV

3 = 0;377 eV

4 = 0;099 eV

Tableau 1.2 – Valeurs des paramètres de saut. Ces valeurs sont déterminées avec le calcul DFT lissé sur le modèle des liaisons fortes.

(pour une notation plus compacte, (k)! ) :

H⁰ = a^y_1;k b^y_3;k b^y_1;k a^y_2;k b^y_2;k a^y_3;k H_O

Négligeons ₅ et ₆, [9], puisque ce sont des sauts assez improbables de la distance entre les sites (voir le tab.(1:1)). Le terme (k) est dé…ni dans le section sur la monocouche (voir éq.(1:15)). Les eV_i sont des potentiels appliqués sur les couches i a…n de créer une di¤érence de potentiel entre chaque couche. Nous utilisons les paramètres _i donnés dans l’article [9] qui sont trouvés à l’aide d’un lissage pour adapter la structure de bandes du modèle des liaisons fortes à celle trouvée avec la technique de DFT (density functional theory). La …g.(1:6)) montre la dispersion électronique de cet hamiltonien (éq.(1:47)). Il y a six bandes d’énergie. Il n’y a pas de gap dans la structure de bandes. Il est possible d’ouvrir un gap en appliquant une di¤érence de potentiel entre les couches [10]. Il y a un petit gap d’environ = 2 ₁ entre les deux bandes aux basses énergies et les deux aux hautes énergies. Ce gap est situé au point autour du point K₊ = ²_a

o

2

3;0 . Les vecteurs propres dans l’espace des k des bandes qui se touchent près du zéro d’énergie au point

Chapitre 1 : Notions de base sur le graphène et la tricouche ABC 23

|k| unité de (2π/a_o)

Énergie(eV)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

K- K+

Zone irréductible en rouge

1^erzone de Brillouin

|k| unité de (2π/ao)

Énergie(eV)

0.66 0.6620.664 0.6660.668 0.67 0.672 0.674 -0.005

0 0.005 0.01

Figure 1.6 – Les six bandes d’énergie de la tricouche ABC de graphène. L’axe des abscisses est tracé en suivant le triangle de la zone irréductible (médaillon de gauche), la normejkjsomme sur le tour du triangle. Il n’y aucun potentiel électrique sur chacune des couches. Le médaillon de droite est un agrandissement du point de rencontre des bandes de valences et celles de conduction.

K₊= ²_a

Selon ces vecteurs, les électrons sont partagés également sur les sites A₁ et B₃ dans ces vecteurs propres. Autour des vallées K₊ et K aux faibles énergies (autour de zéro) les électrons se partagent sur deux sites seulement. A…n de faire une approximation à l’ordre zéro autour des pointsK₊ et K il faut mentionner que les paramètres ₂ et ₃ sont responsables du trigonal warping, ils créent une division du contact entre la bande de valence et de conduction en trois points [11]. Ils sont très petits. Dans le deuxième chapitre nous montrons que ₂ et ₃ peuvent êtres négligés. Alors même si ₂ et ₃ sont négligés les vecteurs propres changent, mais les atomes d’intérêt ne changent pas :

v =

c’est encore les sitesA₁ etB₃ qui entrent en jeu. Il est alors évident que si nous avons l’in-tention d’étudier le comportement des électrons autour des vallées pour des énergies près de zéro, c’est-à-dire au croisement de la bande de valence et de la bande de conduction, alors il est peut-être pertinent de ne pas considérer la matrice 6 6 complète et donc d’avoir un modèle beaucoup plus simple. Il existe une démarche qui permet d’intégrer l’e¤et des quatre autres bandes dans un modèle à deux bandes [9]. Le résultat est alors une matrice plus simple, 2 2 dans la base des sites A1 et B3. C’est la base d’intérêt puisque ces sites sont les plus importants aux énergies que nous étudions. Il ne faut pas oublier que nous sommes dans l’approximation du continuum montrée dans la section sur la monocouche (voir éq.(1:24)) soit K + ^p

~

p3 2

ao

~pe ⁱ . La démarche utilisée a…n

Chapitre 1 : Notions de base sur le graphène et la tricouche ABC 25 d’obtenir le modèle e¤ectif sans champ magnétique est détaillée dans l’annexe A. Voici l’hamiltonien à deux bandes que nous nommons hamiltonien e¤ectif, avecu_i =eV_i :

H_{Ef f}[K ] = u₁+ ₁p² ₂+ p^{2 2} ₀p³e ³ⁱ

2+ p^{2 2} ₀p³e ³ⁱ u₃+ ₃p²

!

; (1.50) avec les dé…nitions suivantes :

1 2(u₂ u₁) + 2 ₄ (1.51)

3 2

(u₂ u₃) + 2 ₄ (1.52)

2

2+ 2 ₃ (1.53)

i

p3 2

a₀

} ⁱ; (1.54)

0 1

: (1.55)

En gardant seulement les paramètres de saut les plus importants (donc ₀ et ₁) et s’il n’y a pas de potentiel électrique sur les couches, alors l’hamiltonien ressemble beaucoup à celui de la monocouche dans l’approximation du continuum (éq.(1:26)) soit :

H_{Ef f} [K ] = 1

2 1

( ₀p)^J 0 e ^{J i} e ^{J i} 0

!

; (1.56)

avec J = 3. L’hamiltonien e¤ectif de la tricouche ABC s’inscrit dans la famille des gaz d’électrons bidimensionnels chiraux GE2DC. De plus, la dispersion, dans ces approxi-mations, est cubique. L’éq.(1:56) donne la structure de bande à l’ordre zéro autour des vallées pour n’importe quel empilement Bernal de couches de graphènes. Il y a une suite logique, la dispersion de la tricouche ABC est cubique, celle de la bicouche AB est quadratique et la couche simple est linéaire (les cônes de Dirac). Cependant la tricouche empiléeABAdonne une dispersion linéaire et une seconde quadratique [10]. La tricouche ABA n’a donc pas l’éq.(1:56) comme structure de bandes autour des vallées parce que l’empilement entre la première et la troisième couche n’est pas de style Bernal [15].

Ajout d’un champ magnétique

Comme dans la section sur la monocouche, nous ajoutons un champ magnétique B=B^z que nous traitons dans la jauge de Landau :A_x = 0, A_y =Bx. Nous utilisons la

substitution de Peierls pour faire apparaître les opérateurs d’échelle comme à l’éq.(1:30).

La substitution de Peierls ne peut pas être faite directement dans l’hamiltonien e¤ectif parce que l’ordre des opérateurs d’échelle est important. Dans l’éq.(1:47) il y a p². Cep² peut êtrepeⁱ pe ⁱ qui devient alorsa^ya. Mais il y a aussi la possibilité quep² =pe ⁱ peⁱ qui est alorsaa^y. Il faut faire la substitution de Peierls dans l’éq.(1:47)et utiliser l’équation de Schrödinger indépendante du temps(H_O EI) X =0pour dériver un modèle e¤ectif en champ magnétique. Nous obtenons :

0 avec la dé…nition suivante :

i i

Il est di¢ cile de manipuler les six équations ci-haut a…n d’exprimer le tout dans la base voulue demande de porter attention à l’ordre des opérateurs d’échelle. Il faut toujours conserver l’ordre dans chacune des équations et à chaque multiplication. Cette démarche est extrêmement longue et n’est pas présentée ici, elle est cependant détaillée dans le cha-pitre 37 de la méthode [16]. Une fois la matrice 2 2obtenue, il faut e¤ectuer certaines approximations. Considérons les termes a^y eta comme étant petits. Il faut que la valeur propreE soit évaluée à l’ordre zéro (E0) quand elle est multipliée paraoua^y. Les termes considérés comme étant grands sont ₁ et o. Tous les rapports ayant comme dénomi-nateur ces deux derniers termes sont considérés comme petits. Le tab.(1:3) montre des exemples de termes considérés petits. Nous pouvons approximer l’éq.(1:57)à l’ordre trois dans les petites quantités. Les termes du typea^yaa^ya^y, ³

1aaaou ⁴

0

eV1 E0

0 a^ya, etc, sont négligés puisqu’ils sont d’ordre supérieur à trois. L’hamiltonien obtenu est très semblable à celui sans champ magnétique à l’exception des opérateurs d’échelle qui remplacent les

Chapitre 1 : Notions de base sur le graphène et la tricouche ABC 27

Tableau 1.3 –Termes négligés dans le développement du modèle à deux bandes parce qu’il sont inversement proportionnel aux paramètres dominants.

quantités de mouvement :

H_{Ef f}[K ] = h₁₁ h₁₂

avec la redé…nition :

0 1

: (1.66)

Il n’y a pas vraiment de solution analytique simple à cet hamiltonien. A…n de trouver certaines solutions, il faut approximer de plus belle. À l’ordre zéro il faut retenir les termes composés uniquement de 0, ₁ et des opérateurs d’échelle. Sans potentiel électrique sur les couches l’approximation donne :

H_{Ef f}[K ] = ² _o 0 (a )³ (a )³ 0

!

: (1.67)

Dans la vallée K₊ nous pouvons obtenir la valeur propre zéro avec les vecteurs propres suivants.

alors que dans la vallée K il faut inverser ces vecteurs propres : hrj 0;Xi^K = h_0;X(r)

0

!

;hrj 1;Xi^K = h_1;X(r) 0

!

;hrj 2;Xi^K = h_2;X(r) 0

! : (1.69) Nous nommons les trois vecteurs propres dans chaque vallée, les orbites. Elles sont numé-rotées, zéro ( ₀), un ( ₁) et deux ( ₂). À l’intérieur des approximations formulées pré-cédemment l’énergie minimale de notre hamiltonien est trois fois dégénérée dans chaque vallée : nous nommons ce niveau d’énergie le niveau de LandauN = 0et cette dégénéres-cence la dégénéresdégénéres-cence orbitale. Cette triple dégénéresdégénéres-cence est très intéressante parce qu’elle s’ajoute à la dégénérescence de spin et de vallée rendant le niveau de Landau N = 0 douze fois dégénéré. De plus, comme pour unGE2D chaque orbitale est dégéné-réeN fois, ceci vient aussi se multiplier au reste de la dégénérescence. Pour remplir une orbitale, il faut donc N électrons. Ceci explique le saut de 12 ^e_h² entre deux plateaux de la conductivité de Hall ( _xy) présentée dans la …g.(2) en introduction.

Il est toujours intéressant d’avoir des niveaux d’énergie dégénérés quand les interac-tions entre électrons sont incluses dans le problème. Ces dernières sont importantes car elles peuvent mener à la levée de la dégénérescence des états. La prochaine étape est de considérer la présence d’un potentiel électrique sur les deux couches extérieures en plus de retenir le paramètre 4 (l’approximation revient à négliger ₂ et 3 seulement). Voici les dé…nitions que nous donnons aux paramètres de l’hamiltonien lors de l’application d’un biais électrique B :

u₂ = 0; (1.70)

u₃ = ^B

2 ; (1.71)

u1 = ^B

2 : (1.72)

L’hamiltonien e¤ectif est : H_{Ef f}[K ] =

B

2 + ² ₂^B + 2 ₄ a a ² _o(a )³

2 o(a )³ ₂^B + ² ₂^B + 2 ₄ a a

!

: (1.73) Il y a levée de la dégénérescence des trois vecteurs propres, soit de la dégénérescence orbitale par les termes B et 4. Il est important de retenir les énergies suivantes et les vecteurs propres associés parce qu’ils sont utilisés tout au long de cet ouvrage. Pour

Chapitre 1 : Notions de base sur le graphène et la tricouche ABC 29 obtenir les nouvelles énergies des orbitales dans la valléeK₊ il su¢ t d’utiliser l’équation aux valeurs propres avec les vecteur donnés par l’éq.(1:68). Nous obtenons :

E_K+;0( _B) = ^B

2 ; (1.74)

E_K+;1( _B) = ^B

2 + ^{2 B}

2 + 2 ₄ ; (1.75)

E_K+;2( _B) = ^B

2 + 2 ^{2 B}

2 + 2 ₄ ; (1.76)

alors que pour la vallée K il faut les vecteurs propres de l’éq.(1:69)et nous obtenons : E_{K ;0}( _B) = ^B

2 ; (1.77)

E_{K ;1}( _B) = ^B

2 + ^{2 B}

2 + 2 ₄ ; (1.78)

E_{K ;2}( _B) = ^B

2 + 2 ^{2 B}

2 + 2 ₄ : (1.79)

Il est intéressant que les énergies d’une vallée à l’autre s’obtiennent avec une simple transformation de B ! ^B. Nous dé…nissons la quantité LL comme :

LL E_{K ;1}( _B) E_{K ;0}( _B); (1.80)

= E_K+;1( _B) E_K+;0( _B);

2 B

2 + 2 ₄:

Par convention, nous prenons B >0. Les nouvelles énergies orbitales permettent donc de distinguer les vallées puisque ces dernières ont une variation de LL opposée. En e¤et si LL augmente pour B > 0 ceci veut dire que l’orbitale n = 2 diminue son énergie dans la vallée K alors qu’elle l’augmente dans la valléeK+ (voir la …g.(1:7)).

Il reste maintenant à évaluer les limites de validité des approximations faites plus haut. C’est le sujet du chapitre deux. Dans le reste du mémoire nous utilisons :

H_{Ef f}[K ] =

B

2 + ² ₂^B + 2 ₄ a a ² _o(a )³

2 o(a )³ ₂^B + ² ₂^B + 2 ₄ a a

!

; (1.81) comme hamiltonien principal. Les énergies et vecteurs propres des niveaux N 6= 0 sont données dans l’annexe A. Cet hamiltonien, éq.(A:27), possède une base complète quand

Pour ∆

_B

> 0

∆

_LL

< 0 Pour ∆

_B

=0

∆

_LL

=2 βα

₄

-∆_B/2

∆_LL 2

0

1

0 1

2

K

₊

K

-0 0

1 1

2 2

∆_B β²∆_B+∆_LL

∆_LL

∆_B/2

∆_B-2β²∆_B

Figure1.7 –Comparaison de l’ordre des niveaux d’énergies orbitaux dans chaque vallée.

Deux situations sont illustrées, celle du haut où LL = 0alors que celle du bas correspond à LL <0

Chapitre 1 : Notions de base sur le graphène et la tricouche ABC 31 on inclut tous les niveaux de Landau, il existe donc une relation de fermeture :

1 = X

X

X2 m=0

j K ;N=0;m;Xih K ;N=0;m;Xj (1.82)

+X

X

X1 N=1

j +;K ;N;Xih +;K ;N;Xj+j ;K ;N;Xih ;K ;N;Xj:

Chapitre 2

Limite de validité du modèle à 2 bandes

2.1 Matrice énergétiquement dominante

Dans le premier chapitre, l’hamiltonien de la tricouche ABC de graphène en champ magnétique est une matrice6 6qui donne des niveaux de Landau divisés en six bandes.

Cette matrice est approximée par un modèle à deux bandes qui néglige certains para-mètres de l’hamiltonien original ( ₂ et ₃ ). Dans ce chapitre, nous véri…ons les limites de validité du modèle à deux bandes. Pour e¤ectuer cette véri…cation, il faut trouver les énergies propres de l’hamiltonien donné par l’éq.(2:1) (pour la dé…nition de chacun de ses éléments se référer au premier chapitre) :

H_O[K ] = 0 BB BB BB BB B@

(eV₁) _{2 o}a ₄a ₃a 0

2 (eV₃) 0 ₃a ₄a _oa

oa 0 (eV₁) _{1 4}a 0

4a ₃a ₁ (eV₂) _oa ₄a

3a ₄a ₄a _oa (eV₂) ₁

0 _oa 0 ₄a ₁ (eV₃)

1 CC CC CC CC CA

: (2.1)

Les paramètres o et ₁ sont énergétiquement dominants par rapport aux autres. De ce fait même, il faut séparer la matriceH_O[K ] en deux :

H_O[K ] =H_O⁰[K ] +W[K ]; (2.2)

33

avec les dé…nitions suivantes :

Il est alors possible de trouver les vecteurs et énergies propres de H_O⁰[K ]. Le but est de mettre la matriceW[K ]dans la base des vecteurs propres deH_O⁰[K ]. De cette façon, il est possible de voir quelles bandes d’énergie dominantes sont couplées à cause de la perturbation W[K ]. Il su¢ t ensuite de diagonaliserW[K ]dans la base deH_O⁰. De cette façon, il est possible de tracer les niveaux de Landau des di¤érentes bandes en fonction du biais électrique Bentre les couches, ainsi qu’en fonction du champ magnétiqueB. La forme des éléments de matrice dans la base deH_O⁰[K ]est alors donnée par l’éq.(2:5). La démarche détaillée pour obtenir l’éq.(2:5) est dans l’annexe H. Il faut coder ces éléments de matrice et la construire. Analytiquement, il est impossible de trouver les vecteurs et valeurs propres vue la taille de la matrice. Techniquement cette taille est in…nie puisqu’il y a un nombre in…ni de niveaux de Landau. Dans le code, le nombre de niveaux de Landau utilisé est déterminé préalablement. Puisque W[K ] couple un tas de n, il faut choisir un nombre assez grand, cependant il ne doit pas être trop grand si l’on veut limiter le temps de calcul. Il su¢ t de regarder la convergence de l’énergie avec certains paramètres en fonction du nombre de niveaux n utilisés. L’énergie se met à converger avec l’augmentation de la taille de la matrice. En se donnant une précision voulue, il est

Chapitre 2 : Limite de validité du modèle à 2 bandes 35 possbile de trouver une valeurn_p.

K h m;jjW[K ]j n;iiK (2.5)

Dans le document Étude des états électroniques en champ magnétique dans le niveau de Landau N=0 de la tricouche ABC de graphène (Page 34-51)