Diagramme des phases électroniques de la tricouche ABC de graphène 52

Les phases électroniques sont déterminées à l’aide des paramètres d’ordre (éq.(3:15)).

Ceux-ci donnent la forme de la densité électronique, l’énergie moyenne totale et toutes les autres quantités. Les phases électroniques de la tricouche de graphène changent avec

LL. Nous trouvons les phases d’énergie minimale.

Dans ce mémoire, nous étudions particulièrement trois phases électroniques. La phase, dite liquide se présente sous deux aspects : celle cohérente et celle sans cohérence. Une phase liquide est avant tout dé…nie comme n’ayant pas de modulation spatiale. Il est clair que les paramètres d’ordre s’écrivent comme dans l’éq.(3:53). Avec cette dé…nition, la contribution du terme d’Hartree dans l’énergie du liquide est nulle. Le mot cohérence réfère aux termes orbitaux hors-diagonaux (éq (3:54)) de la matrice . Quand il sera question d’une autre forme de cohérence, nous précisons sa nature, par exemple cohérence pour les vallées ou pour les spins. Le liquide sans cohérence a une matrice de _m;n avec des termes hors-diagonaux nuls (matrice diagonale) dans le sous-espace des orbitales.

Chapitre 3 : Interaction de Coulomb et diagramme de phase du GE2DC 53

∆LL/(e²/κl κ=1)

Energie/(e²/κl)

0.0097 0.00975 0.0098 0.00985 0.0099

-0.6395 -0.639 -0.6385 -0.638 -0.6375 -0.637

-0.6365 Cohérence de vallée

Dans K₊seulement

(b)

∆LL/(e²/κlκ=1)

Populationdesvallées

0.00970 0.00975 0.0098 0.00985 0.2

0.4 0.6 0.8 1

νK

-νK₊

(a)

Figure 3.2 –B = 10T (a) Population de chacune des vallées en fonction de LL. (b) La courbe noire est l’énergie d’un cristal d’électrons dans une seule vallée alors qu’en rouge il y a cohérence de vallée, donc un cristal dans une superposition des deux vallées. Pour un minuscule LL les deux énergies convergent et il y a une polarisation de vallée.

m;n(q6=0) 0; (3.53)

m;n(0) 6= 0 sin 6=m: (3.54)

Liquide cohérent à = 5; 4 et 4;5

Nous étudions l’évolution des paramètres d’ordre dans la phase du liquide cohérent.

Les …g.(3:7) et (3:9) montrent que cette phase n’est jamais l’état fondamental du sys-tème, mais est quand même une solution qui converge. Sa compréhension qualitative est intéressante pour …ns de comparaisons avec d’autres phases. Le liquide cohérent ne peut exister que si l’énergie de l’orbitale n = 2 est plus basse que l’orbitale n = 0, voulant dire que nous sommes dans la situation LL < 0 et K ;+ = 1;2 ( = 4;5). Il y a un transfert des électrons de l’orbital n = 0 vers n = 1 et n = 2 puisque l’énergie cinétique des ces orbitales diminue avec la décroissance de LL. Puisque LL < 0, il y a une compétition entre X_0;0;0;0(0)des électrons dans l’orbitaln = 0 et l’énergie cinétique de l’orbitale n = 2: Ceci explique le transfert progressif et non subit des électrons. Quand

LL est trop négatif, il y a polarisation dans l’orbitale n= 2, alors que quand LL >0, il y a polarisation dans l’orbitale n = 0. Il y a une transition de phase vers un liquide incohérent sans discontinuité dans la pente des paramètres d’ordre, donc une transition du deuxième ordre.

Onde de densité de charge à = 5 et 4

Il existe une phase qui est modulée spatialement dans une seule direction (le choix de la direction de cette modulation est une brisure spontanée de la symétrie). Nous nommons cette phase la phase onde de densité ou phase spirale (il est possible de dé…nir un pseudospin qui tourne avec la modulation). Cette phase abaisse l’énergie en-dessous du liquide incohérent dans la plage 0;29 < _LL < 0;01^e2_` (pour des remplissages de

K ; = 1 ou = 5 et 4). Cependant ce n’est pas l’état fondamental. La courbe noire dans la …g.(3:4) montre la di¤érence d’énergie entre la phase spirale et le liquide incohérent dans l’orbitale n = 0 (une di¤érence minuscule). La phase ne résiste pas longtemps à l’augmentation de LL puisque la di¤érence d’énergie des deux phases est de zéro autour de LL = 0:01^e2_`; elle est donc devenue le liquide incohérent dans n = 0.

Il y a aussi transition de phase vers LL = 0;29^e2_`, la spirale devient alors un liquide

Chapitre 3 : Interaction de Coulomb et diagramme de phase du GE2DC 55

∆LL/(e²/κl avecκ=1)

Populationdesorbitalesn=0,1,2àν=4

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

<ρ0 0(0)>

<ρ1 1(0)>

<ρ2 2(0)>

(a)

∆LL/(e²/κl avecκ=1)

Populationdesorbitalesn=0,1,2àν=5

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

<ρ00(0)>

<ρ11(0)>

<ρ22(0)>

(b)

Figure 3.3 – Population des orbitales dans le liquide cohérent en fonction de LL. (B = 10T)

incohérent dansn = 2. La dernière transition est au même LL que dans le cas du liquide cohérent. La possibilité d’une modulation spatiale unidimensionelle donne l’idée d’essayer de moduler dans les deux dimensions de l’espace.

∆_LL/(e²/κl_mκ=1)

Figure 3.4 – Di¤érence d’énergie entre la phase spirale et le liquide incohérent dans l’orbitale n = 0 en noir. Nous voyons que la phase spirale survit jusqu’à LL = 0:01^e2_`. Les lignes de couleur représentent les populations des orbitales. Paramètres ( B = 10T,

K ; = 1)

Onde de densité de charge bidimensionnelle (ODC2D) ou cristal

L’autre phase dont il est question est l’ODC2D aussi appelé cristal électronique à cause de la forme de sa densité électronique. Dans le chap.4, la densité électronique de l’ODC2D est présentée et il faut noter que le mot cristal n’est peut-être pas tout à fait juste puisque la densité inter-site n’est pas nulle (autrement dit, il y a un certain recouvrement des fonctions d’onde entre deux sites voisins). Néanmoins, nous utilisons ce mot. Cette phase est très complexe en terme de _m;n(q) puisqu’elle est modulée dans les deux directions de l’espace en plus d’être cohérente.

Faisons une petite parenthèse. Par cohérente, nous voulons dire que l’électron sur un site est dans une combinaison linéaire des trois orbitales, c’est illustré à la …g.(3:5).

Chacun des électrons a une probabilité plus ou moins grande de se retrouver dans l’une

Chapitre 3 : Interaction de Coulomb et diagramme de phase du GE2DC 57

Figure 3.5 – La délocalisation d’un électron dans plusieurs orbitales. (a) Forme des trois orbitales en X = 0. (b) Illustration de la délocalisation de l’électron sur les trois orbitales sur chaque site électronique. La surface qu’a le disque représente le poids qu’a l’électron dans cette orbitale.

des orbitales. Cet état est di¤érent d’une simple répartition des électrons dans les trois orbitales. Ce dernier état pourrait donner lieu à trois cristaux, un dans chacune des orbitales. Le pas de ces cristaux changerait selon l’orbitale, sauf si elles ont toutes le même remplissage. Nous observons que ce n’est pas le cas, les orbitales n’ont pas un remplissage identique, il y a donc de la cohérence et il ne peut qu’avoir seul cristal. C’est cette cohérence qui rend le cristal possible, parce qu’une orbitale pleine ne peut pas être habitée par un cristal.

Ceci dit, nous revenons à la description de la phase. Pour un système in…ni, il y a un nombre in…ni de paramètres _m;n(q) . Le calcul de l’énergie d’une ODC2D demande de spéci…er le type du réseau. L’ODC2D est une solution possible dans la couche simple de graphène, cependant elle peut exister seulement si le remplissage n’est pas entier.

Dans la bicouche de graphène, un cristal (ODC2D) peut exister dans le cas où le facteur de remplissage est un nombre entier ou non. Cependant, le cristal au remplissage entier apparaît comme état fondamental seulement si l’orbitale n= 1 a une énergie plus basse

∆

_LL

/(e²/κl

_m

)

0,09

0

-0,250 -0,314

LC

CT état fondamental

-0,294

Tous les liquides sont instables ici

LICn=2 LICn=0

ν =-5,4

0,017

Figure 3.6 –Diagramme de phase pour les remplissages = 5;4. CT est pour cristal triangulaire. En partant de la gauche ( LL < 0) les états fondamentaux sont le liquide incohérent dans n= 2, le cristal et le liquide incohérent dansn= 0. Le liquide cohérent (LC) est plus bas en énergie que les liquides incohérents, mais plus haut que le cristal.

L’instabilité est dé…nie au chap 5.

que l’orbitalen = 0 (donc pour LL <0). Dans le cas de la tricoucheABC de graphène, il y a un cristal comme solution de plus basse énergie dans un grand intervalle de LL. De plus, le cristal est la solution de plus basse énergie même quand LL > 0 et au remplissage K+; = 1. Cette particularité de la tricouche est l’un des résultats importants de notre étude. L’existence du cristal est un peu contre-intuitive. Comme mentionné,

LL > 0 et K+; = 1, cela veut dire que l’orbitale n = 0 a l’énergie cinétique la plus basse et qu’il y a N électrons à placer dans les orbitales du niveau de Landau.

Le terme d’échange X₀₀₀₀(0) est le terme (voir éq.(3:22)) de plus basse énergie pami tous les autres. Intuitivement, il est raisonnable de penser que pour minimiser l’énergie cinétique, il faut placer de façon uniforme les N électrons dans l’orbitale n = 0. Du même coup, il est tentant de penser que l’énergie Coulombienne est minimale puisque X₀₀₀₀(0) < X_n1n2n3n4(q) pour toutes autres combinaisons de n_i. Cette description correspond au liquide incohérent dans n = 0, c’est le résultat attendu. Pourquoi que ce n’est-ce pas le résultat obtenu ? Puisque la forme analytique de l’énergie cinétique est simple (voir éq.(1:74)), c’est l’interaction de Coulomb qui est contre intuitive et montre que l’étude de la tricouche peut révéler des comportements nouveaux par rapport à la bicouche. Nous apportons la réponse à cette question à la section 3:4.

L’énergie de chacune des phases mentionnées plus haut en fonction de LL pour le cas de deux remplissages K+; = 1 et K ;+ = 1 (noter que dans le cas K ;+ = 1 alors LL < 0 et dans le cas K+; = 1 alors LL > 0). La …g.(3:7) montre que la

Chapitre 3 : Interaction de Coulomb et diagramme de phase du GE2DC 59

∆_LL/ (e²/κl )

Énergie/(e²/κl)

-0.15 -0.1 -0.05 0

-1 -0.5 0 0.5 1

CT LC LICn=0 LICn=2

0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 -1.4

-1.2 -1 -0.8

Figure 3.7 – L’énergie par particule de quatre phases di¤érentes en fonction de LL. CT=Cristal triangulaire, LC=liquide cohérent, LICn=liquide incohérent dans l’orbitale n. Le cristal triangulaire a toujours l’énergie la plus faible entre 0;31^e2_{` LL</sub> 0;1<sup>e2</sup><sub>`}. Le médaillon montre la partie LL > 0. Paramètres B = 10T, = 1. D’autres phases ont été calculées, mais nous retenons celles-ci pour alléger le graphique.

phase qui a la plus faible énergie dans l’intervalle 0;31^e2_{`</sub> < LL < 0;1<sup>e2</sup><sub>`} est le cristal triangulaire. Le liquide cohérent a une énergie inférieure au liquide incohérent n = 0 et n = 2 (cas où les électrons sont tous dans l’orbitale n = 0 ou n = 2) dans l’intervalle 0;27^e2_{`</sub> < <sub>LL</sub> <0<sup>e2</sup><sub>`} comme le montre la …g.(3:6). Pour LL >0;1^e2_{`</sub> l’état fondamental est le liquide incohérent n = 0 parce que l’orbitale n = 0est de basse énergie. La même situation se produit dans le cas LL < 0;31<sup>e2</sup><sub>`}. Dans ce cas, c’est le liquide incohérent n= 2 qui est l’état fondamental puisque c’est l’orbitalen= 2 qui a la plus basse énergie.

Les transitions de phase se voient bien avec les populations de chacune des orbitales en fonction de LL comme le montre la …g.(3:3). Il vaut donc la peine d’étudier l’évolution de la phase cristalline en terme de l’occupation des orbitales dans la …g.(3:8). Beaucoup d’e¤orts ont été mis pour forcer la phase ODC2D à rejoindre la phase liquide de façon continue. L’intérêt est de voir s’il est possible de diminuer l’amplitude de l’ODC2D continuement vers un liquide. Nous aurions alors une transition de second ordre, ce qui est possible avec une ODC2D. Cependant il semble que ça ne soit pas possible. La pente des paramètres d’ordre est discontinue quand l’ODC2Ddevient un liquide, comme

dans la transition liquide-cristal. La ligne verticale noire près de LL = 0;1^e2_{`</sub> marque l’endroit où l’énergie de la phase cristalline n’est plus la plus basse. Dans ce cas le liquide incohérent est l’état fondamental. Quand LL >0 la population de l’orbitale n = 0 est supérieure aux deux autres (puisque l’énergie d’échange et cinétique sont très basses dans n = 0). L’énergie d’échange est très importante quand LL < 0, puisque la population de l’orbitalen= 0 reste supérieure aux deux autres jusqu’à LL 0;13<sup>e2</sup><sub>`}. C’est-à-dire même si l’énergie cinétique de l’orbitale n= 2 est bien inférieure à l’énergie cinétique de n = 0. Il y a une inversion des populations quand LL < 0;13^e2_`, c’est là que l’énergie cinétique de l’orbitalen = 2devient si basse que l’échange de l’orbitale n= 0 n’est plus avantageuse. L’orbitale n = 1 quant à elle, semble passer par un maximum exactement au point d’échange des populations entre les orbitalesn = 0 etn= 2. Puisque la somme des trois courbe à chaque LL doit donner _0;0(0) + _1;1(0) + _2;2(0) = 1, le point d’inversion est caractérisé par une distribution de _0;0(0) = _1;1(0) = _2;2(0) = ¹₃, comme si les orbitales étaient dégénérées à LL 6= 0.

L’ODC2D pour _{K ;} = 2

S’il y a N électrons de plus a…n d’emplir une seconde orbitale, le comportement du diagramme de phase est similaire cas K+; = 1. Aux remplissages K+; = 2et K ;+ = 2 ( = 4;5) le cristal est maintenant un cristal triangulaire de trous. Le cristal de trous se décrit à l’aide d’une densité électronique de fond constante avec = 3 et un patron de creux dans la densité (absence d’électrons, voir médaillon de la …g.(3:10)). Ce cristal triangulaire est l’état fondamental (…g.(3:9)) sur une certaine plage LLtout comme dans le cas de K ; = 1. Le cristal existe encore même si LL >0. Il disparaît plus rapidement avec la croissance de LL qu’aux remplissages précédents, soit autour de LL 0;038^e2_`. La …g.(3:10) est très similaire à la …g.(3:8) et s’explique qualitativement comme cette dernière. L’inversion de population se produit au même LLqu’aux remplissages K ; = 1 et est caractérisée par une distribution _0;0(0) = _1;1(0) = _2;2(0) = ²₃. Les

…g.(3:8) et la …g.(3:10) semblent anti-symétriques par rapport au point d’inversion des populations. Nous pensons qu’il y a une symétrie électron-trou entre les cristaux. Le médaillon de la …g.(3:9), montre que le liquide incohérent _1;1(0) = 1, _2;2(0) = 1 possède une énergie inférieure au cristal de trous à partir de LL < 0;338^e2_{`</sub> puisque la di¤érence d’énergie entre le cristal et ce liquide est plus grande que zéro. En plus du médaillon de la …g.(3:9), il y a la …g.(3:10)qui montre qu’il est possible de forcer la phase ODC2D jusqu’à LL 0;385<sup>e2</sup><sub>`}.

Chapitre 3 : Interaction de Coulomb et diagramme de phase du GE2DC 61

∆_LL / (e²/κl κ=1)

Occupationdesorbitales

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1

0 0.2 0.4 0.6 0.8

1 ^<ρ_<ρ^00(0)>

11(0)>

<ρ₂₂(0)>

x

y

-1 -0.5 0 0.5

-1 -0.5 0 0.5

Figure3.8 –Évolution des populations de chacune des orbitales dans la phase cristalline (dans une vallée et d’un spin spéci…que) en fonction de LL. La ligne pointillée est l’endroit où le cristal n’est plus la solution de plus basse énergie. Le médaillon montre la densité électronique de l’ODC2D. Plus c’est rouge plus la densité est grande. Avec B = 10T, K ; = 1.

∆LL/ (e²/κl_m) Énergiedelaphase/(e²/κlm)

-0.12 -0.11 -0.1 -0.09 -0.08

0.6 0.8 1 1.2 1.4

LICn=0n=1 CTde trous LICn=1n=2 LC

∆_LL/(e²/κl_m)

Ecristal-ELICn=1n=2/(e²/κlm)

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1

-0.06 -0.04 -0.02 0

Figure 3.9 – Énergie des quatre phases dans le cas où = 4;5 en fonction de LL. LICnm=liquide incohérent dans les orbitales n et m, voir la …g.(3:8) pour les autres abréviations. Le médaillon montre la di¤érence d’énergie entre l’ODC2D et le LIC n= 1; n= 2 en fonction de LL.B = 10T, K ; = 2; = 1.

Chapitre 3 : Interaction de Coulomb et diagramme de phase du GE2DC 63

∆_LL/ unité (e²/κl avecκ=1)

Occupationdesorbitales

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

<ρ₀₀(0)>

<ρ₁₁(0)>

<ρ₂₂(0)>

x

y

-1 -0.5 0 0.5 1

-1 -0.5 0 0.5 1

Figure 3.10 – Évolution des populations de chacune des orbitales (dans une vallée et d’un spin spéci…que) en fonction de LL. Le médaillon montre la densité de l’ODC2D, les points bleus sont des creux de densité (des trous). Paramètre : K ; = 2. B = 10T

3.4 Conditions d’existence de la phase cristalline

Il existe certaines conditions pour avoir une phase spatialement modulée. L’éq.(3:52), montre que l’interaction de Coulomb dans l’énergie Hartree-Fock est séparée en deux par-ties. En mettant de côté l’énergie cinétique pour l’instant (le premier terme), l’interaction de Coulomb implique une partie liquide :

N e²

`

X

n1;:::;n4

X_n1;n4;n3;n2(0) _n1;n2(0) _n3;n4(0): (3.55)

L’autre terme implique des modulations dans l’espace : N e²

`

X

n1;:::;n4

X

q6=0

[H_n1;n2;n3;n4(q) X_n1;n4;n3;n2(q)] _n1;n2( q) _n3;n4(q): (3.56)

Nommons-le terme de modulation. Ce terme de modulation est essentiel pour la formation d’un cristal, en fait pour toute forme de modulation de la densité et il doit être négatif. Il ne peut donc pas être nul si la solution est un cristal. Quelques exemples de valeurs numé-riques des interactions électrons-électrons [H_n1;n2;n3;n4(q) X_n1;n4;n3;n2(q)]sont montrés dans la …g.(3:11). Le système peut s’arranger d’une façon telle que _n1;n2( q) _n3;n4(q) >0 (tout en gardant l’énergie réelle) alors ce graphique montre qu’il existe un q` > 0 qui donne une énergie d’interaction qui minimise l’énergie totale. La modulation spatiale est donc avantangeuse. Pour q` > 3, les interactions H_1;1;1;1 X_1;1;1;1 et H_2;2;2;2 X_2;2;2;2 sont inférieurs à H_0;0;0;0 X_0;0;0;0, jusqu’à ce qu’elles tendent à zéro quandq`! 1. De plus, ces trois interactions sont isotropes. N’oublions pas qu’àq=0le terme de Hartree s’annule avec le fond positif, il ne faut pas penser que les trois interactions divergent quand q!0. Elles sont …nies et prennent la valeur du terme de Fock. Il se peut donc qu’il y ait une combinaison de <sub>n;m</sub>(q) qui est énergétiquement avantageuse quand q` 6= 0 et que n; m 6= 0 (qui n’est pas un liquide incohérent dans l’orbitale 0) quand

LL > 0 et K+; = 1;2. Le cristal est donc énergétiquement possible. Cependant (quand LL >0 et K+; = 1;2) le cristal est l’état fondamental dans la tricouche mais pas dans la bicouche et il n’existe même pas dans la simple couche, pourtant il pourrait exister si seulement la …g.(3:11)est prise en compte.

Nous avons mentionné plus haut que dans la situation d’une seule couche de graphène nous ne pouvons pas obtenir de cristal si le remplissage est = 1. Il est assez simple de

Chapitre 3 : Interaction de Coulomb et diagramme de phase du GE2DC 65

q_yl_m

Hn,m,k,l-Xn,l,k,m/(e²/κlm)

0 2 4 6 8 10

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

0000 1001 1111

1221 2002

2222

Les chiffres sur les courbes sont n,m,k,l

Figure3.11 –Allure de la partie réelle de quelques interactions. Puisque certaines de ces interactions ne sont pas isotropes nous avons pris une direction spéci…que,q_y. Cependant [H_n;n;n;n(q) X_n;n;n;n(q)], sont isotropes et réels.

véri…er cela en utilisant l’éq.(3:50).

jh (0)ij²+

Nq

X

n=2

jh (q_n)ij² =h (0)i: (3.57) Il faut séparer la somme sachant queh (0)i= 1selon l’hypothèse du niveauN = 0plein :

1 +

Nq

X

n=2

jh (qn)ij² = 1; (3.58)

Nq

X

n=2

jh (q_n)ij² = 0: (3.59)

Mais une somme de normes au carré est une somme de nombres réels et positifs et ne peut donner zéro que si chaque terme est nul. Ainsi, dans la simple couche à remplissage

= 1, les paramètres d’ordre h (q_n)i = 0. Puisqu’ils sont nuls, le terme de cohésion mentionné plus haut l’est aussi. Il n’y a donc pas de cristal dans cette situation. Cet argument est aussi valide si nous remplissons les deux orbitales dans la bicouche et les

trois orbitales dans la tricouche : les règles de sommes obligent des phases liquides dans ces cas. Mais si les trois orbitales de la tricouche de graphène ne sont pas pleines et que le remplissage est tout de même entier, alors les règles de somme, éq.(3:50), sont moins restrictives que dans la simple couche (qui n’a qu’une seule orbitale) :

Nq

X

i=1

X

m

n;m(q_i) ² = _n;n(0) : (3.60)

Avec _n;n(0) , donc même si le remplissage est entier, les populations des niveaux elles ne le sont pas et cela permet des termes _n;m(q_i) dans le système et donc l’existence d’un terme de cohésion. La pluralité des couches augmente les degrés de liberté et permet le cristal électronique. Nous savons que l’état fondamental dans le cas de la bicouche si

LL >0 et si K+; = 1 n’est pas le cristal triangulaire mais bien le liquide incohérent.

Cependant, il est possible d’obtenir le cristal triangulaire dans cette situation sauf qu’il n’est pas l’état fondamental. Les calculs numériques (autant dans la bicouche que la tricouche) montrent queP

n n;n(r) = 1, mais que chaque _n;n(r) est individuellement modulé. Nous en déduisons ceci :

X

n

n;n(q6=0) = 0: (3.61) C’est une autre contrainte, elle oblige _0;0(q) = _1;1(q) dans la bicouche alors que dans le cas de la tricouche, elle est moins sévère _0;0(q) = _1;1(q) _2;2(q) . Nous pensons que ces contraintes, sur moins de degrés de liberté que dans la tricouche, empêche une palette de _n;m(q6=0) diversi…ée et même coup un cristal énergétiquement avan-tageux dans la bicouche. Le cristal serait aussi la solution du fondamental pour quatre couches de graphène empilées dans la manière ABCA (dans des conditions énergétique, de remplissage et de polarisation similaires), cinq couchesABCAB et ainsi de suite (pour les règles d’empilement voir [15]) avant que le système ne soit plus bidimensionnel.

Le paradoxe de Klein empêche la formation d’un cristal d’électrons dans la mono-couche de graphène [21]. Le paradoxe de Klein stipule que la transmission d’un électron à travers une barrière de potentiel est parfaite quand cette barrière dépasse l’énergie de masse au repos de l’électron. Même si la barrière est plus haute que l’énergie cinétique de l’électron, ce dernier passe au travers sans problème. Même si l’énergie de la barrière dépasse l’énergie cinétique de l’électron la transmission reste parfaite. Les électrons ne peuvent donc pas être localisé (emprisonné) sur des sites cristallin.

Chapitre 4

Propriétés électroniques des états

fondamentaux

Dans le document Étude des états électroniques en champ magnétique dans le niveau de Landau N=0 de la tricouche ABC de graphène (Page 68-83)