4.1 Densité électronique
4.1.3 Densité d’états et densité d’états locale
La densité d’états (g( )) est le nombre d’états disponibles pour un électron à l’inté-rieur d’un petit interval d’énergie. Quand les états propres d’un système sont connus, il est assez simple de trouver la densité d’états en utilisant tout simplement sa dé…nition et le bon nombre quantique (kpour les électrons libres,netX pour les niveaux de Landau).
Dans ce premier cas, la densité d’états a la forme suivante : g( ) X
k
( k): (4.45)
Les pôles de la fonction de Green donnent les énergies d’excitation du systèmeDn;n(q)si nous ajoutons ou enlevons un électron dans une orbitale n avec un vecteur d’onde q (la vallée et le spin sont …xes selon notre remplissage). Ainsi ces états excités sont des états disponibles pour un électron et la somme sur les nombres quantiques est une somme sur les orbitales et sur les vecteurs d’onde P
n;q ( [ Dn;n(q)]). Cependant, ces états excités ont une certaine probabilité de se réaliser : c’est le poids spectral. Si l’état excité est un état ayant un électron dans une orbitalen de vecteurqs, alors cet état a un poids dans tous les vecteurs propres contenus dans la matrice u de l’éq.(3:43). Ce poids est, N P
n1jun1;n(q1;s)j2 et la densité d’état aura la forme suivante : g( ) = N X
n;s
X
n1
jun1;n(q1;s)j2 ( [ Dn;n(qs;s)]): (4.46)
Nous avons l’égalité suivante :
( [ Dn;n(q)]) = N
Im 1
[ Dn;n(q)] +i ; (4.47) qui une fois substituée dans la densité d’états donne :
g(!) = N
ImX
n
X
n1;s
jun1;n(q1;s)j2
! } 1[ Dn;n(qs;s)] +i : (4.48) Selon l’éq.(3:44) la densité d’état est reliée à la fonction de Green de la façon suivante (avec la continuation analytique i! !!+i ) :
g(!) = N X
n
Im GRn;n(q= 0; !) : (4.49) La densité d’états pour le liquide est assez simple à calculer puisqu’il n’y a pas de somme sur les q:
gliquide(!) = N
ImX
n;n1
jun1;nj2
! } 1[ Dn;n] +i ; (4.50)
= N
Im X2 n=0
1
! } 1[ Dn;n] +i : (4.51)
Chapitre 4 : Propriétés électroniques des états fondamentaux 79 La densité d’états compte trois pics qui correpondent aux orbitales renormalisées. La densité d’états du liquide avec les interactions électron-électron est qualitativement la même que la densité sans interaction, il n’y a que les énergies où se situent les pics qui changent. Un exemple de la densité d’états du liquide est donné à la …g.(4:7). Pour la
…gure(b), celle du liquide, l’e¤et de l’interaction de Fock sur les orbitales est bien visible puisqu’elles ne sont plus séparées également par LL. Une orbitale est discriminée par rapport aux autres : son énergie est bien inférieure. À ce remplissage, le premier pic a ses états totalement occupés et il n’y a pas de possibilité de conduction électronique tant que le gap d’énergie entre la …n du premier pic (quand l’aire sous la courbe devient l’unité) et le début du deuxième (quand l’aire sous la courbe dépasse l’unité) n’est pas comblé.
Pour le liquide incohérent il est possible de calculer analytiquement la valeur de l’énergie à laquelle les pics apparaîssent. Puisque la matriceF(se référer au chapitre 3, éq.(3:41)) originale est diagonale nous connaissons déjà les Dn;n et alors les gaps entre les pics. Par exemple le liquide incohérent dans l’orbitale n= 0 pour LL >0 :
F = 0 B@
e2
`X0;0;0;0(0) 0 0
0 LL e2`X0;1;1;0(0) 0
0 0 2 LL e2`X0;2;2;0(0)
1
CA; (4.52)
Gap = LL e2
`X0;1;1;0(0) + e2
`X0;0;0;0(0): (4.53)
Le gap augmente alors linéairement avec LL. Puisque X0;0;0;0(0) > X0;1;1;0(0), il faut que LL <0 pour avoir un gap nul. Mais pour rester dans le LICn = 0, il ne faut pas que LL < 0. Il y a donc toujours un gap dans cette phase. La …g.(4:7) (a) montre la densité d’états de la phase cristalline triangulaire. Il y a encore trois pics principaux qui ne sont pas séparés également comme dans le cas du liquide. Les pics sont toutefois élargis considérablement par la phase cristalline. La formation de bandes dans la phase ODC2D se traduit dans la largeur des pics. Les orbitales se séparent donc en bandes, mais le nombre total d’états disponibles est constant, c’est à dire 3N . C’est pour cela que les pics dans le cristal sont moins hauts que dans le liquide incohérent, ils sont plus larges pour une même aire. De plus, il y a encore un gap entre le premier pic élargi et les autres, voulant dire qu’il y aura encore un gap d’énergie à combler avant d’avoir de la conduction électronique. En fait le premier mode d’excitation (chap.5) est une translation du cristal et cette translation donne naissance à un courant. Cependant, le désorde dans le graphène brise le cristal d’électrons et l’ancre, le premier mode devient donc gappé.
A…n d’observer le gap dans la densité d’états il faut soustraire la contribution du mode collectif décrit au chap.5. La transition entre la phase liquide incohérent et le cristal est donc observable par l’élargissement des pics de la densité d’états quand la phase devient cristalline.
En suivant l’évolution du gap de conduction en fonction de LL dans la …g.(4:8), il apparaît que le gap du cristal est minimal autour de l’énergie où se produit l’inversion de population alors que le maximum semble être quand les orbitales sans l’interaction de Coulomb sont presques dégénérées. L’interaction de Coulomb est donc responsable de ce maximum puisque sans interaction, il n’y aurait pas de gap en conduction si les orbitales étaient dégénérées. Ce gap rend les phases isolantes et devrait être observable dans une expérience d’e¤et Hall puisque la résistance longitudinale dépend de l’occupation de la bande de conduction,Rxx e
Gap
2kB T. Le gap en conduction est minimal autour de l’inver-sion de population à cause du rapprochement entre les trois niveaux initiaux (modi…és par l’interaction de Coulomb) : c’est pour ça qu’il y a inversion de population après tout.
Puisque ces niveaux sont proches, nous pouvons comprendre que le gap en conduction est lui aussi plus petit.
Il est peut-être possible d’observer la phase cristalline à l’aide de la densité d’états locale dans une expérience STM (scanning tunneling microscope). Cependant, il faut noter que la distance inter-site est de l’ordre de ` 100 Å, ce qui pourrait rendre impossible cette mesure. Le patron cristallin se voit dans la densité d’états locale. Dans la …g.(4:9), le patron cristallin dans l’espace réel à l’aide de la densité d’états locale. La densité d’états est dé…nie à l’éq.(4:49). Cette densité d’états en fonction de la position spatialeg(r;!) est donné par :
g(!) = N X
n
Im GRn;n(q= 0; !) : (4.54)
Dans ce cas, nous pourrions penser que g(q;!) est dé…ni comme étant : g(q;!) = N X
n
Im GRn;n(q; !) : (4.55)
Mais ce n’est pas le cas. Il ne faut pas oublier que : Gn;n(q; !) = 1
N X
X;X0
e 2iqx(X+X0) X;X0 qy`2Gn;n(X; X0; !); (4.56)
Chapitre 4 : Propriétés électroniques des états fondamentaux 81
E/(e²/κlm) Densitéd'états(Nφ(e²/κlm)-1
1.5 2 2.5 3 3.5
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
(b)
E/(e²/κlm) Densitéd'états(Nφ(e²/κlm)-1
1.5 2 2.5 3 3.5
0 2 4 6 8 10 12 14 (a)16
Figure4.7 –(a) Densité d’états du cristal triangulaire à LL = 0;182e2` etB = 10T.
Les trois niveaux initiaux sont élargis par la phase cristalline à cause de la formation des bandes d’énergie.(b) Densité d’états du liquide cohérent à LL = 0;182e2` etB = 10T.
Il n’y a que trois niveaux d’énergie dégénérés N fois chacun. L’interaction de Fock ne fait que changer l’énergie où les pics apparaissent.
∆LL/(e²/κlmκ=1) Gap/(e²/κlmκ=1)
-0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
Cristal triangulaire Liquide cohérent
Figure 4.8 – Évolution du gap de conduction dans la phase cristalline en fonction du
LL. Sur toutes la plage de LL présentée, l’ODC2D est l’état fondamental. Le gap est minimal autour de l’inversion des populations. Pour le cristal, la valeur exacte du gap n’est pas vraiment celle indiquée sur la …gure puisque les pics sur la densité d’états sont élargis, la méthode de calcul en sou¤re aussi. Cependant le comportement qualitatif ne devrait pas être a¤ecté.
Chapitre 4 : Propriétés électroniques des états fondamentaux 83 vient de la position des centres d’orbite ; l’étendue spatiale est évacuée de cette dé…nition.
Pour retrouver la distribution dans l’espace, il faut ajouter les fonctions d’onde comme dans le chapitre 3 et bien dé…nir g(q; !) :
Gn;n(r; !) X
X;X0
hrj n;Xih n;X0jriGn;n(X; X0; !); (4.57) G~n;n(q; !) = X
X;X0
Z
drhrj n;Xieiq rh n;X0jriGn;n(X; X0; !); (4.58)
= X
X;X0
Kn;n(q)ei2qx(X+X0) X;X0 qy`2Gn;n(X; X0; !);
= N Kn;n(q)Gn;n( q; !); g(q; !) = N X
n
Im [Kn;n(q)Gn;n( q; !)]: (4.59) Il su¢ t d’e¤ectuer la recomposition de Fourier pour obtenir la densité d’états dans l’es-pace :
g(r; !) = 1 S
X
q
g(q; !)e iq r: (4.60)
La densité d’états totale est obtenue en intégrant sur l’espace : g(!) =
Z dr1
S X
q
g(q; !)e iq r; (4.61)
= g(0; !);
= N X
n
Im [Kn;n(0)Gn;n(0; !)];
= N X
n
Im [Gn;n(0; !)]:
x/a0 y/a0
-1 -0.5 0 0.5 1
-1 -0.5 0 0.5
DOSLocale 1.04 1.02 1 0.98 0.96 0.94 0.92 0.9 0.88 0.86 0.84
Figure4.9 –Densité d’états locale, en unité de2 `2, du cristal triangulaire pour K+; = 1, LL = 0:023e2` pour un champ magnétique B = 10T. Le patron des états accessibles dans l’espace suit le patron de densité d’électrons. Le pas du réseau est de l’ordre de
` 100 Å.
Chapitre 5
Modes collectifs des phases électroniques
5.1 Réponse linéaire dans l’approximation Hartree-Fock
Dans l’annexe E, il est montré que pour connaître la perturbation de la valeur moyenne d’un opérateur dans un champ externe (nous utilisons ici l’opérateur densité), il su¢ t d’utiliser l’éq.(5:1) (voir [19]) :
^
nK ; (r) (t) = i
~ Z t
0
dt0Dh
H^Hext(t0);n^K ; (r;t0)HiE
: (5.1)
La dernière équation demande de calculer la fonction de Green à deux particules suivante :
0
n1;n2;n3;n4(q;q0; ) N T r ^GT ~n
1;n2(q; )H ~n
3;n4( q0;0)H ; (5.2) avecT [:::] l’opérateur d’ordre temporel, ~n
1n2(q; )H n
1n2(q; )H n
1n2(q; )H est la perturbation par rapport à l’état Hartree-Fock (la moyenne n1n2(q; )H est donc prise avec l’état Hartree-Fock) et^G, la matrice densité dans l’ensemble grand canonique, la moyenne est donc faite pour n’importe quelle température.
Pour connaître la fonction de corrélation (réponse) de l’opérateur densité, il faut connaître celle entre les paramètres d’ordre. En réalité, puisque toute observable s’ex-prime à l’aide des paramètres d’ordre, il su¢ t de trouver la fonction de réponse de ces
85
derniers pour obtenir n’importe quelle corrélation d’observable. Il faut maintenant calcu-ler les fonctions de réponse 0n1;n2;n3;n4(q;q0;!) et toute l’information utile pour générer le comportement de notre système perturber. Ceci permet aussi de regarder les modes collectifs que le système a dans di¤érentes phases. Tout comme dans le chap.3 il faut utiliser l’équation du mouvement de la fonction de Green à deux particules pour trou-ver 0n1;n2;n3;n4(q;q0; ). Sans refaire le calcul du chap.3, au complet nous mentionnons les étapes importantes. Dans la dérivée du paramètre il faut utiliser dans l’équation d’Heisenberg généralisée ~dd~n1;n2(q0; )H = exp faut évaluer les commutateurs avecK^ = ^HHF N^. En utilisant l’hamiltonien de champ moyen Hartree-Fock pour la dynamique du paramètre d’ordre, la fonction réponse est évaluée dans l’approximation Hartree-Fock (HF A). Finalement, il faut faire la série de Fourier sur les fréquences de Matsubara bosoniques ( n = 2n
T~) pour obtenir l’équation matricielle. Il faut noter que les fréquences bosoniques sont utilisées parce nous avons a¤aire à des paires d’opérateurs de création et d’anihilation (voir l’éq.(3:15)). Ces paires ressemblent beaucoup à des excitations électron-trou et ces particules forment, en quelque sorte, des bosons. L’équation matricielle est alors soluble. Voici quelques dé…nitions pour abréger l’équation matricielle :
Chapitre 5 : Modes collectifs des phases électroniques 87 Nous obtenons …nalement :
[i~ n+ (En1 En2)] 0n
qui se résout facilement sous la forme de produits de matrices : [i} nI+ E] 0 =~( ) + UHn
Il su¢ t de faire comme dans le chap.3, additionner les matrices qui multiplient 0 et de diagonaliser la matrice résultante pour trouver les pôles de la fonction de Green. Avec un continuation analytique (i ! !+i ), il est alors possible d’obtenir la fonction de réponse à deux particules dans l’approximation Hartree-Fock (HF A) 0.