Phase cristalline

Les modes collectifs de la phase cristalline sont calculés autour du périmètre de la zone irréductible de la zone de Brillouin du cristal électronique. La zone irréductible comprend les points de haute symétrie et forment un triangle dans le cas du cristal triangulaire d’électrons et de trous. Ceci veut dire que les valeurs des q sur l’abscisse de la dispersion est la somme des arrêtes du triangle. Le chemin utilisé est, J X , l’abscisse sur les graphiques de dispersion prend donc toutes les valeurs de 0 à1;577.

La phase cristalline est en fait une onde de densité de charge bidimensionnelle. L’élec-tron est délocalisé dans tout l’espace et la fonction d’onde peut se déformer en chaque point r de l’espace. Ceci revient à avoir un nombre in…ni de petits éléments de charge par maille, donc un nombre in…ni de modes de vibration du cristal. Ceci donne droit à des modes de vibration sur site, c’est à dire des paquets d’onde qui se déforment lo-calement. Il y a aussi des modes de vibration des sites autour de la position d’équilibre comme dans un cristal d’atomes ponctuels. Les calculs numériques demandent un nombre

…ni de vecteur du réseau réciproque. Cependant les di¤érents vecteurs sont couplés les uns aux autres dans la diagonalisation de l’éq.(5:21): Puisque nous nous intéressons aux modes de basse énergie, il est possible de tronquer la matrice. En général il faut garder entre 250 et 300 vecteurs. La matrices de l’éq.(5:21), a plusieurs milliers de valeurs propres. Cependant toutes ces valeurs propres ne sont pas des modes. Les modes collec-tifs correspondent plutôt aux pics qui apparaissent dans Im[ _i;j]. C’est pour cela qu’il

Chapitre 5 : Modes collectifs des phases électroniques 107

K₊

K -2/3 1/3

π/6 Zone irréductible Zone de Brillouin

Γ

J

X

Figure 5.11 – Zone irréductible (triangle rouge) de la première zone de Brillouin du cristal triangulaire d’électrons ou de trous. Les longueurs des segments du triangle sont en unités de ²_a avec a le pas du réseau direct.

faut trier les valeurs propres pertinentes. Pour ce faire, il faut utiliser les poids de _i;j associés aux valeurs propres correspondantes. Il faut d’abord …ltrer les valeurs qui ne sont pas entre0^e2_{`</sub> et 0;5<sup>e2</sup><sub>`}. Même à l’intérieur de cette plage d’énergie il y a beaucoup de valeurs propres, en fait il y en a un continuum, voir la …g.(5:12). Il faut un deuxième

…ltre. L’éq.(5:22)dit :

i;j = X

n;l

u_i;n (i}!I D) ¹ _n;n u ¹ _n;lB_l;j; (5.60) P_n;n;i;j = X

l

h

u_i;n u ¹ _n;lB_l;ji

; (5.61)

où les u_i;j sont les composantes des vecteurs propres de la matrice K. Nous nommons P_n;n;i;j le poids (son importance) qu’a le modeD_n;n. Les poids les plus importants et qui correspondent à la plage d’énergie désirée sont retenus.

Remplissage _{K ;} = 1

Cette phase se situe dans la plage que prend le rectangle avec le cristal dans la …g.(5:2).

Remark 1

Remarque

Puisque les calculs numériques demandent un nombre …ni de vecteurs du réseau réciproque dans la programmation de l’éq.(5:20), il y a une

intro-duction d’erreurs dans les résultats. Ces erreurs peuvent donner des graphiques de dis-persions désordonnés ou bruyants. Par désordonné ou bruyant, nous voulons dire qu’il y a plusieurs énergies à un q donné pour un même mode. Il serait plus juste de calculer toutes les fonctions de réponse et d’en tirer les énergies des pics pour tracer la disper-sion. Un tel processus est beaucoup trop long, c’est pour cela qu’il faut se limiter au …ltre mentionné. L’e¤et des "erreurs" devient de plus en plus évident près d’une transition de phase parce que les paramètres d’ordre ne convergent plus aussi bien en plus d’avoir un nombre …ni de vecteur pour calculer la dispersion. Par exemple, autour de l’inversion de population dans la phase cristalline, il existe deux cristaux, un avec plus d’électrons dans l’orbitale n = 2 et l’un avec plus d’électrons dans n = 0. Ces deux états sont dégénérés au LL qui correspond à l’inversion de population. Les modes collectifs à ce point sont donc di¢ ciles à faire converger vers l’un des deux états.

Bien que le cristal n’est pas tout à fait composé d’électrons parfaitements localisés sur des sites du réseau de Bravais, l’état présente tout de même une brisure de la symétrie de translation spatiale. Comme toute brisure de symétrie continue mène à un mode de Goldstone, la phase cristalline doit posséder un de ces modes. La …g.(5:13 (a))montre que le premier mode du cristal trouvé possède bien le mode de Goldstone. Ce mode correspond donc à une petite translation des bosses de densité électronique autour de la position d’équilibre donnée par l’état fondamental (un phonon). La dispersion du premier mode est typique d’un cristal triangulaire [24]. Un cristal de Wigner, (quand la densité d’électrons est faible, il y a apparition d’un cristal d’électrons dû à une interaction cou-lombienne qui domine l’énergie cinétique) sans champ magnétique, possède deux modes d’excitations sans gap, le phonon E(q) / q et le plasmon E(q) / q¹². Quand il y a un champ magnétique, ces deux modes sont couplés (puisque le champ magnétique couple les directions de l’espace) pour obtenir le mode de magnétophonon et le magnétoplas-mon. À faible q le magnétophonon a la forme E(q) /q³². Selon la …g.5:13 (b), ce mode est présent et peut être observé par micro-ondes lorsque ancré par le désordre, puisque chaque site du cristal est chargé électriquement.

En restant dans l’idée de mesures expérimentales du cristal, l’application d’un champ électrique constant (donc àq= 0) correspond à un déplacement uniforme pour le premier mode. Le cristal glisse sur la tricouche et devrait donner un courant oscillant à cause de la modulation spatiale. Cependant, le désordre dans la tricouche de graphène a pour e¤et d’empêcher la translation des sites électroniques. Des puits de potentiel locaux dans l’échantillon brise enmorceaux le cristal. Les morceaux de cristaux sont alors piégés dans

Chapitre 5 : Modes collectifs des phases électroniques 109 les puits. Cela introduit un gap au mode du magnétophonon. Les morceaux peuvent alors osciller dans les puits. La tricouche avec une phase électronique cristalline devient isolante à cause du désordre et le gap du magnétophonon est relié au niveau de désordre dans la tricouche.

Nous pensons que la mesure de la conductivité de Hall xy, dans la tricouche de graphène serait a¤ectée par la présence du désordre et du cristal. S’il y la phase cristalline comme état électronique à un remplissage , alors le plateau vu dans la conductivité xy

serait celui de 1. Par exemple, au remplissage = 6, la conductivité de Hall est xy = 6^e_h². En augmentant le remplissage, le potentiel chimique s’approche de l’énergie de la première orbitale ( ! 5 ) et la conductivité augmente vers le prochain plateau, xy = 5^e_h². Une fois cette orbitale pleine, c’est-à-dire quand xy = 5^e_h², l’état électronique deviendrait un cristal, puisque toutes les états délocalisés sont utilisés. Nous pensons alors que la conductivité de Hall retombera au plateau inférieur, xy = 6^e_h². C’est parce que la phase cristalline, dans un échantillon avec du désordre, est isolante.

Lors de la transition de phase lesN électrons ne peuvent plus contribuer à la conductivité

xy. Cette baisse de conductivité xy serait une signature du cristal.

Pour continuer avec la …g.(5:13). Le premier mode peut être expliqué par des déplace-ments de points ponctuels recouverts d’un facteur de forme indéformable (système masse-ressort), il est possible d’en tirer de l’information sur son comportement. Par exemple pour un cristal unidimensionnel la dispersion du mode de Goldstone est :

E(q) = 2~ r

m sin qa

2 ; (5.62)

où a est le pas du réseau, est la force de rappel du ressort assosciée à la cohésion de la chaîne cristalline et …nalement m est la masse des ions. La pente initiale du mode et donc la hauteur de sa bosse au point J (voir …g.(5:11)) est liée à la force de cohésion entre les sites du cristal et donc sa stabilité. Nous évaluons donc la stabilité du cristal par la largeur de bande du premier mode.

Les vecteurs propres de la matrice K l’éq.(5:22) permettent d’animer les di¤érents modes du cristal. La dépendance temporelle est donnée par la valeur propre, donc l’éner-gie du mode. À faibleq, le second mode correspond à une rotation des dipôles autour de l’axe de leur position d’équilibre (rotation de type spin wave), ainsi qu’une rotation de la densité électronique autour de la position d’équilibre. La densité de modes augmente avec l’énergie. Puisque les fonctions d’onde sont continues, le nombre de mode qui

cor-E/ (e²/κl_m) -Im[ΣGχn,n(G,G,ω)]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

1000 2000

Figure 5.12 – Continuum des modes du cristal à LL = 0;037^e2_{`</sub>. Il est véri…é que l’énergie à laquelle débute (E 0;6<sup>e2</sup><sub>`}), le continuum correspond bien à l’écart d’énergie entre le …n du premier pic et le début du deuxième pic dans la densité d’états. La …n du continuum (E 1;0^e2_`) correspond bien à l’écart d’énergie entre la …n du premier et du dernier pic de la densité d’états

respondent à des déformations internes des sites est in…ni, c’est pour cela qu’ils forment un continuum. Les deux grands pics dans la …g.(5:12) sont le continuum de modes dont il est question.

L’étude de l’e¤et du biais électrique sur les modes est présenté dans la …g.(5:14).

L’e¤et sur les deux premiers modes est très important alors que l’e¤et sur le continuum n’est pas clair parce que la densité de modes y est trop grande. La largeur de bande (son maximum en énergie) du premier mode donne une indication de la stabilité du cristal.

La phase semble passer par un maximum de stablilité autour LL 0;04^e2_{`</sub>. Plus j <sup>LL</sup>j est grande, plus le mode de phonon s’écrase pour …nalement devenir instable quand la bosse au point J s’écrase. À LL 0;1<sup>e2</sup><sub>`} non seulement le maximum au point J n’est plus là, mais l’énergie augmente en passant du point J au point X. Selon le chap 3, à

LL 0;1^e2_` c’est là où le cristal n’est plus la phase de plus basse énergie, à ce LL c’est le liquide incohérent qui minimise l’énergie. Le premier mode montre donc que le cristal n’est pas la phase de plus basse énergie quand la bosse àq=J=²₃²_a s’écrase. Quand LL

devient assez négatif ( LL 0;2^e2_`) la bosse J est encore présente (contrairement à

LL 0;1^e2_`), le cristal est encore la solution de plus basse énergie, mais le mode est

Chapitre 5 : Modes collectifs des phases électroniques 111

Figure 5.13 –(a) : Modes collectifs du cristal triangulaire tracé sur le parcours J X , pour le remplissage K ; = 1 et LL = 0. (b) Mode de phonon à faible q ainsi que le comportement de la courbe lissée en bleu.

moins prononcé, surtout sa pente initiale. Le cristal est alors en perte de cohésion. Pour

LL >0 la croissance de LL augmente l’espace d’énergie des deux premier modes ainsi que le gap optique du deuxième mode.

Le second mode est actif en absorption (le premier et le plus grand des pics dans la …g.(5:15)), ainsi que dans la fonction réponse dipolaire. Pour LL > 0, les dipôles bougent dans un mouvement de type spin wave dans le 2^e mode alors que les premier et troisième modes ne présentent aucun mouvement signi…catif des dipôles, donc pas d’absorption dipolaire. Les autres pics dans les graphiques pourE > 0;6^e2_` sont dans la section continuum des modes. Pour LL <0, il y a apparition d’un second pic avant le continuum. Ce mode correspond à une rotation du dipôle dans le plan x y. Puisque ce mode possède un gap, cela veut dire qu’exécuter une rotation des dipôles sur eux-mêmes coûtent de l’énergie. L’hamiltonien ne possède donc pas une symétrie de rotation dipolaire, ils doivent avoir la con…guration radiale observée pour minimiser l’énergie.

Il n’y a donc pas de mode de Goldstone associé aux dipôles. L’absorption est isotrope comme le propose l’arrangement des dipôles autour des sites électroniques montré dans le chap.4.

|q|/(2π/a)

Figure 5.14 – Évolution des modes collectifs du cristal triangulaire d’électrons pour

K ; = 1 en fonction de LL.

Figure 5.15 –(a) Fonctions de réponse pour LL = 0;037^e2_`. (b) Absorption pour plusieurs LL.

Chapitre 5 : Modes collectifs des phases électroniques 113

Énergie/(e²/κl_m)

Amplitude(u.a)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

0 100 200 300 400 500 600

700 ∆_LL= - 0,1 (e²/κl_m)

∆_LL= 0,04 (e²/κl_m)

Continuum (b)

|q|/(2π/a) Énergie/(e²/κlm)

0 0.5 1 1.5

0 0.05 0.1 0.15 0.2

∆_LL= 0,04

∆_LL= -0,1

∆_LL= -0,35 (a)

Γ ^{J X} Γ

Figure 5.16 –Graphique (a) : Évolution de la dispersion du cristal de trou en fonction de LL pour K ; = 2. Graphique (b) : Absorption et réponse dipolaire du cristal de trous à LL = 0;1^e2_`.

Remplissage _{K ;} = 2

Cette phase se situe dans la plage que prend le rectangle avec le cristal dans la

…g.(5:8). Pour ce remplissage, c’est bien encore un cristal triangulaire, bien qu’il soit de trous. Puisque le cristal a le même patron spatial que celui au remplissage de la section précédente, les observations faites restent valides. Clairement le cristal de trous est moins robuste que celui d’électron de la section précédente. C’est parce que l’échange, le terme de Fock, est moins important dans l’orbitalen= 2. La largeur du premier mode ainsi que la pente initiale sont plus petites que le cristal précédent sur toute la plage des LL. La

…g.(5:16 (a)) montre l’allure du magnétophonon à LL 0;35^e2_` qui indique que le cristal n’est plus la solution de plus basse énergie, c’est bien ce que montre le diagramme d’énergie de la …g.(3:9). La …g.(5:16 (b)) présente l’absorption et la réponse dipolaire.

Le mouvement des dipôles est essentiellement le même que le cristal à K ; = 1 pour chacun des pics.

Chapitre 6

Modèle de pseudospin et stabilité topologique

6.1 Les champs de pseudospin et les skyrmions

Dans le document Étude des états électroniques en champ magnétique dans le niveau de Landau N=0 de la tricouche ABC de graphène (Page 122-131)