Étude des états électroniques en champ magnétique dans le niveau de Landau N=0 de la tricouche ABC de graphène

Étude des états électroniques en champ magnétique dans le niveau de Landau N=0 de la tricouche ABC

de graphène

par

Maxime Rondeau

au département de Physique

en vue de l’obtention du grade de maître ès sciences (M.Sc.)

FACULTÉ DES SCIENCES UNIVERSITÉ DE SHERBROOKE

Sherbrooke, Québec, Canada, 27 juin 2013

Table des matières

Table des matières iii

Liste des tableaux vi

Liste des …gures vii

Sommaire xv

Introduction 1

0.1 Le graphène . . . . 1

0.2 Pertinence du projet de maîtrise . . . . 6

1 Notions de base sur le graphène et la tricouche ABC 9 1.1 Description théorique du graphène et de ses propriétés . . . . 9

1.2 Graphène sans champ magnétique . . . . 9

1.2.1 Avec champ magnétique . . . . 16

1.2.2 Tricouche de graphène . . . . 18

2 Limite de validité du modèle à 2 bandes 33 2.1 Matrice énergétiquement dominante . . . . 33

2.2 Bandes et niveaux de Landau . . . . 35

3 Interaction de Coulomb et diagramme de phase du GE2DC 39 3.1 Interaction de Coulomb dans l’approximation de Hartree-Fock . . . . 39

3.1.1 Traitement de l’interaction de Coulomb dans l’approximation pro- jective N = 0 . . . . 40

3.1.2 Calcul des paramètres d’ordre à l’aide de la fonction de Green . . 44

3.2 Système à trois niveaux . . . . 49

3.3 Résultats numériques . . . . 52

3.3.1 Diagramme des phases électroniques de la tricouche ABC de graphène 52 3.4 Conditions d’existence de la phase cristalline . . . . 64

iii

4 Propriétés électroniques des états fondamentaux 67

4.1 Densité électronique . . . . 67

4.1.1 Dipôles électriques . . . . 70

4.1.2 Le courant . . . . 72

4.1.3 Densité d’états et densité d’états locale . . . . 77

5 Modes collectifs des phases électroniques 85 5.1 Réponse linéaire dans l’approximation Hartree-Fock . . . . 85

5.2 Réponse linéaire dans l’approximation GRPA . . . . 87

5.3 Modes collectifs des phases liquides . . . . 91

5.3.1 Liquides incohérents (LIC)

= 1 . . . . 92

5.3.2 Liquide incohérent à

= 2 . . . 102

5.3.3 Phase cristalline . . . 106

6 Modèle de pseudospin et stabilité topologique 115 6.1 Les champs de pseudospin et les skyrmions . . . 115

6.1.1 Pseudospin . . . 115

6.1.2 Skyrmions . . . 116

6.1.3 Pseudospin dans la tricouche de graphène polarisée en vallée et spin

= 1; 2 . . . 117

6.1.4 Développement aux grandes longueurs d’ondes de l’énergie Hartree- Fock . . . 120

Conclusion 125 A Opérateurs d’échelle, hamiltonien et modèle e¤ectif 129 A.1 Application des opérateurs d’échelle . . . 129

A.2 Hamiltonien liaison forte . . . 130

A.3 Hamiltonien à deux bandes : dérivation du modèle e¤ectif . . . 131

A.4 Énergies et vecteurs propres N 6 = 0 du modèle e¤ectif en champ magnétique134 B Polarisation de spin et de vallée 137 B.1 Polarisation du spin . . . 137

B.2 Polarisation dans une vallée du liquide incohérent dans n = 0 . . . 138

C Fonctions de Green 149 D Dipôles électriques, courant et aimantation 153 D.0.1 Dipôles électriques . . . 153

D.0.2 Courant . . . 157

D.0.3 Dérivation des types de courant, dipôle et magnétisation . . . 160

Table des matières v E Formalisme général de la réponse linéaire à un potentiel externe 167

F Matrices de Gell-Mann 171

G Absorption 173

H Calcul pour la validité du modèle a 2 bandes 177

1.1 Paramètres de saut entre les sites et la distance correspondante. . . . 21 1.2 Valeurs des paramètres de saut. Ces valeurs sont déterminées avec le calcul

DFT lissé sur le modèle des liaisons fortes. . . . 22 1.3 Termes négligés dans le développement du modèle à deux bandes parce

qu’il sont inversement proportionnel aux paramètres dominants. . . . 27

vi

Liste des …gures

1 Structure de bande de tricouche de graphène à droite et mesure du gap à l’aide de la conductivité optique par absorption à gauche. Les pics P 1 et P 2 dans la …gure de droite représentent les transistions 1 et 2 inscrite dans la …gure de droite. . . . . 4 2 Plateaux de l’e¤et hall quantique dans la tricouche de graphène ABC. La

dégénérescence au niveau de Landau N = 0 se voit dans le saut de -6 à 6 dans la conductivité de hall. . . . 5 1.1 Illustration de la structure cristalline du graphène. Les deux sous-réseaux

sont triangulaires. En rouge le sous-réseau composé des atomes A et le bleu des atomes B: . . . . 10 1.2 Première zone de Brillouin du graphène. Les deux vallées sont K

et K

sont indiquées ainsi que la zone irréductible. . . . 11 1.3 (a)-Dispersion autour du point K

=

o

2

3

; 0 . Ce sont les cônes qui forment le sablier mentionné dans l’introduction. La dispersion électro- nique est linéaire, de sorte que la masse e¤ective est nulle. (b)-Structure de bande de la monocouche de graphène. La bande de valence et la bande de conduction se rencontrent aux vallées K et K

où la dispersion devient linéaire et forme les cônes de Dirac. . . . 15 1.4 Exemple de l’empilement de type Bernal avec les paramètres énergétiques

de saut

, j = 0; 1; 3; 4. . . . 19 1.5 Vue du dessus d’une tricouche ABC et de la con…guration de sites les

uns par rapport aux autres. L’indice au bas des lettres A et B indique la couche à laquelle l’atome de carbone appartient. . . . 20 1.6 Les six bandes d’énergie de la tricouche ABC de graphène. L’axe des abs-

cisses est tracé en suivant le triangle de la zone irréductible (médaillon de gauche), la norme j k j somme sur le tour du triangle. Il n’y aucun po- tentiel électrique sur chacune des couches. Le médaillon de droite est un agrandissement du point de rencontre des bandes de valences et celles de conduction. . . . 23

vii

1.7 Comparaison de l’ordre des niveaux d’énergies orbitaux dans chaque vallée.

Deux situations sont illustrées, celle du haut où

= 0 alors que celle du bas correspond à

< 0 . . . . 30 2.1 Comportement des niveaux de Landau avec (a) le champ magnétique et

(b) la di¤érence de potentiel entre les couches 1 et 3. Ce calcul est pour le modèle à six bandes incluant les paramètres

;

;

;

;

. . . . 36 2.2 Comportement énergétique des orbitales avec

: Il y a les bandes du

modèle à six bandes (lignes noires) incluant les paramètres

;

;

;

;

et celles du modèle e¤ectif (les symboles) avec

;

;

. Ici le calcul est pour la vallée K

. . . . 37 3.1 Illustration de l’ordre des douzes niveaux en l’absence d’interaction, mais

avec une levée de dégénérescence. La ‡èche rouge représente le spin de l’électron. Les vallées sont indiquées ainsi que l’ordre des orbitales. . . . . 50 3.2 B = 10T (a) Population de chacune des vallées en fonction de

.

(b) La courbe noire est l’énergie d’un cristal d’électrons dans une seule vallée alors qu’en rouge il y a cohérence de vallée, donc un cristal dans une superposition des deux vallées. Pour un minuscule

les deux énergies convergent et il y a une polarisation de vallée. . . . 53 3.3 Population des orbitales dans le liquide cohérent en fonction de

.

(B = 10T) . . . . 55 3.4 Di¤érence d’énergie entre la phase spirale et le liquide incohérent dans

l’orbitale n = 0 en noir. Nous voyons que la phase spirale survit jusqu’à

LL

= 0:01

. Les lignes de couleur représentent les populations des orbi- tales. Paramètres ( B = 10T,

= 1) . . . . 56 3.5 La délocalisation d’un électron dans plusieurs orbitales. (a) Forme des

trois orbitales en X = 0. (b) Illustration de la délocalisation de l’électron sur les trois orbitales sur chaque site électronique. La surface qu’a le disque représente le poids qu’a l’électron dans cette orbitale. . . . 57 3.6 Diagramme de phase pour les remplissages = 5; 4. CT est pour cristal

triangulaire. En partant de la gauche (

< 0) les états fondamentaux sont le liquide incohérent dans n = 2, le cristal et le liquide incohérent dans n = 0. Le liquide cohérent (LC) est plus bas en énergie que les liquides incohérents, mais plus haut que le cristal. L’instabilité est dé…nie au chap 5. . . . 58 3.7 L’énergie par particule de quatre phases di¤érentes en fonction de

.

CT=Cristal triangulaire, LC=liquide cohérent, LICn=liquide incohérent dans l’orbitale n. Le cristal triangulaire a toujours l’énergie la plus faible entre 0; 31

0; 1

. Le médaillon montre la partie

> 0.

Paramètres B = 10T, = 1. D’autres phases ont été calculées, mais nous

retenons celles-ci pour alléger le graphique. . . . 59

Liste des …gures ix 3.8 Évolution des populations de chacune des orbitales dans la phase cristalline

(dans une vallée et d’un spin spéci…que) en fonction de

. La ligne pointillée est l’endroit où le cristal n’est plus la solution de plus basse énergie. Le médaillon montre la densité électronique de l’ ODC2D. Plus c’est rouge plus la densité est grande. Avec B = 10T,

= 1. . . . 61 3.9 Énergie des quatre phases dans le cas où = 4; 5 en fonction de

.

LICnm=liquide incohérent dans les orbitales n et m, voir la …g.(3:8) pour les autres abréviations. Le médaillon montre la di¤érence d’énergie entre l’ ODC2D et le LIC n = 1; n = 2 en fonction de

. B = 10T,

= 2;

= 1. . . . 62 3.10 Évolution des populations de chacune des orbitales (dans une vallée et

d’un spin spéci…que) en fonction de

. Le médaillon montre la den- sité de l’ ODC2D, les points bleus sont des creux de densité (des trous).

Paramètre :

= 2. B = 10T . . . . 63 3.11 Allure de la partie réelle de quelques interactions. Puisque certaines de ces

interactions ne sont pas isotropes nous avons pris une direction spéci…que, q

. Cependant [H

(q) X

(q)], sont isotropes et réels. . . . 65 4.1 Densité électronique ^ n

(r) dans la phase spirale à

= 0; 045

Paramètre

= 1, B = 10T. Cet état n’est jamais l’état fondamen- tal. Le médaillon montre la densité électronique n ^

(r) du liquide incohérent. . . . 68 4.2 (a) Densité électronique n ^

(r) du cristal triangulaire à

=

0; 00049

,

= 1 et B = 10T. C’est la forme de la densité de l’état fondamental quand 0; 31

<

< 0; 09

. Le champ de vecteurs re- présente les dipôles électriques d(r). (b) Densité électronique n ^

(r) du liquide cohérent à

= 0; 127

,

= 1 et B = 10T. Le champ de vecteur représente les dipôles électriques qui sont tous alignés dans la même direction. . . . 69 4.3 Densité électronique ^ n

(r) du cristal triangulaire à

= 0; 0069

,

K+;

= 2 et B = 10T. C’est la forme de la densité de l’état fondamental quand 0; 38

<

< 0; 02

. Le champ de vecteur représente les dipôles électriques d(r). . . . . 69 4.4 Di¤érence entre le maximum et le minimum de densité pour les remplis-

sages

= 1. Pour la courbe verte, le champ magnétique est …xe à B = 10T. . . . . 70 4.5 Le champ de vecteurs est la densité de courant D

J ^

(r) E

en unités de p 2

0~

dans la phase cristaline (a

est le pas du réseau). La densité de couleur est l’aimantation h m

(r) i en unité de

0

p2}

e. Paramètres,

=

0; 037

,

= 1; B = 10T. . . . 76

4.6 Courant D

^ J

(q = 0) E

total, dipôle D

d ^

(q = 0) E

total et aiman- tation m

(q = 0) en fonction de

. Le dipôle et le courant sont toujours nuls alors que l’aimantation change de pente proche de l’inversion de population mentionnée au premier chapitre et elle change de signe avec

LL

. Paramètre B = 10T,

= 1. . . . 77 4.7 (a) Densité d’états du cristal triangulaire à

= 0; 182

et B = 10T.

Les trois niveaux initiaux sont élargis par la phase cristalline à cause de la formation des bandes d’énergie. (b) Densité d’états du liquide cohérent à

LL

= 0; 182

et B = 10T. Il n’y a que trois niveaux d’énergie dégénérés N fois chacun. L’interaction de Fock ne fait que changer l’énergie où les pics apparaissent. . . . 81 4.8 Évolution du gap de conduction dans la phase cristalline en fonction du

LL

. Sur toutes la plage de

présentée, l’ ODC2D est l’état fonda- mental. Le gap est minimal autour de l’inversion des populations. Pour le cristal, la valeur exacte du gap n’est pas vraiment celle indiquée sur la

…gure puisque les pics sur la densité d’états sont élargis, la méthode de calcul en sou¤re aussi. Cependant le comportement qualitatif ne devrait pas être a¤ecté. . . . 82 4.9 Densité d’états locale, en unité de 2 `

, du cristal triangulaire pour

=

1,

= 0:023

pour un champ magnétique B = 10T. Le patron des états accessibles dans l’espace suit le patron de densité d’électrons. Le pas du réseau est de l’ordre de ` 100 Å. . . . . 84 5.1 Représentation des liquides incohérents. Les orbitales en rouges sont pleines.

En gris, transitions d’énergies non-nulles, inter-orbitales et non-dispersives.

En vert, des transitions d’énergies nulles, intra-orbitales et non-dispersives.

En bleu, les transitions inter-orbitales et dispersives. Classement des or- bitales avec leurs énergies pour

> 0 à gauche et

< 0 à droite.

(a) Transitions possibles pour

= 1. (b) Transitions possibles pour

= 2. . . . 91 5.2 Diagramme présentant certaines phases ainsi que les états fondamentaux

pour

= 1. LC : liquide cohérent. CT : Cristal triangulaire. LICn = 0 : Liquide incohérent dans l’orbitale n = 0. LICn = 2 : Liquide incohérent dans l’orbitale n = 2. Le LC n’est stable que pour 0; 298

<

<

0; 25

. Le LICn = 2 est stable pour

< 0; 298

mais devient l’état fondamental seulement à

< 0; 314

et le LICn = 0 est stable pour

LL

> 0; 017

et devient l’état fondamental pour

> 0; 09

. . . . . 92

Liste des …gures xi 5.3 Modes collectifs avec une courbe lisse sans symboles sont ceux du liquide

incohérent dans l’orbitale n = 0 calculés pour plusieurs

et la formule analytique approximée. Modes avec les symboles sont un calcul numérique sans approximation. Le Numé dans la légende est pour numérique et toutes les énergie

sont en unités de

. . . . . 95 5.4 Puissance absorbée au mode q ! 0. . . . . 96 5.5 (a) Modes du liquide incohérent dans l’orbital n = 2. (b) Absorption

de cette phase à q ! 0. Il n’y a que le premier mode qui contribue à l’absorption. . . . 98 5.6 Pour

= 0; 25

, B = 10T et

= 1. Il faut remarquer que

la dispersion est anti-symétrique !

( q) = !

(q). (a) Dispersion de liquide cohérent avec des dipôles dans la direction ^ x , les courbes noires sont les dispersions selon q

et les oranges selon q

. (b) Idem pour des dipôles orientés selon ^ y. . . . 100 5.7 L’indice i prend les valeurs x ou y. Figure (a) : Les fonctions de réponse

Im

i;di

(0; 0; !) . Figure (b) : Absorption dans les directions x et y du liquide cohérent. . . 102 5.8 Diagramme de phase pour

= 2. LICn = 0; n = 1 : Liquide in-

cohérent dans l’orbitale n = 0 et n = 1. LICn = 2; n = 1 : Liquide incohérent dans l’orbitale n = 2 et n = 1. Le LICn = 2; n = 1 est stable pour

< 0; 235

mais devient l’état fondamental seulement à

< 0; 338

et le LICn = 0; n = 1 est stable pour

> 0 et devient l’état fondamental pour

> 0; 038

. . . 103 5.9 Liquide incohérent à

= 2. (a) Modes du liquide incohérent avec

orbitales pleines n = 0; 1. (b) Absorption de cette phase à q ! 0. Seul le premier mode est actif en absorption . . . 105 5.10 (a)- Modes du liquide incohérent dans les orbitales n = 1; 2 pleines. Nous

remarquons le comportement qualitativement identique au mode de la phase avec h

(0) i = 1. (b)- Absorption de cette phase à q ! 0. Il n’y a que le premier mode de visible . . . 105 5.11 Zone irréductible (triangle rouge) de la première zone de Brillouin du cris-

tal triangulaire d’électrons ou de trous. Les longueurs des segments du triangle sont en unités de

avec a le pas du réseau direct. . . 107 5.12 Continuum des modes du cristal à

= 0; 037

. Il est véri…é que l’éner-

gie à laquelle débute (E 0; 6

), le continuum correspond bien à l’écart d’énergie entre le …n du premier pic et le début du deuxième pic dans la densité d’états. La …n du continuum (E 1; 0

) correspond bien à l’écart d’énergie entre la …n du premier et du dernier pic de la densité d’états . . 110 5.13 (a) : Modes collectifs du cristal triangulaire tracé sur le parcours J X ,

pour le remplissage

= 1 et

= 0. (b) Mode de phonon à faible

q ainsi que le comportement de la courbe lissée en bleu. . . 111

5.14 Évolution des modes collectifs du cristal triangulaire d’électrons pour

= 1 en fonction de

. . . 112 5.15 (a) Fonctions de réponse pour

= 0; 037

. (b) Absorption pour

plusieurs

. . . 112 5.16 Graphique (a) : Évolution de la dispersion du cristal de trou en fonction

de

pour

= 2. Graphique (b) : Absorption et réponse dipolaire du cristal de trous à

= 0; 1

. . . 113 6.1 Skyrmion de spin de charge topologique Q = 1. Quand r ! 1 le spin est

polarisé +z, alors qu’au centre du skymion, il est z. . . 118 6.2 Les champs de vecteurs sont sans les facteurs de forme (a) Champ de

vecteur

;

et le fond, est la variation de

. (b) Champ de vec-

teur

;

et le fond est la densité d’électrons. (c) Les champ de

vecteur

;

et le fond est T ~

. . . 122

Composition du jury

Le , le jury a accepté le mémoire de M. Rondeau dans sa version …nale.

Prof. Claude.Bourbonnais Département de physique

Président-rapporteur

Prof. René.Côté Département de physique

Directeur de recherche

Prof. Bertrand Reulet Département de physique

xiii

xiv

Sommaire

Dans cet ouvrage nous étudions les phases du gaz d’électrons bidimensionnel dans la tricouche de graphène en empilement ABC. En partant du modèle des liaisons fortes et en faisant l’approximation du continuum autour des vallées K

; K , nous obtenons un modèle e¤ectif à deux bandes qui permet de décrire la physique de basse énergie des électrons en champ magnétique dans cette structure. Ce modèle contient trois orbitales dégénérées dans le niveau de Landau N = 0. Ce dernier est donc 12N fois dégénérés en incluant les degrés de liberté de spin et de vallée. En ajoutant l’interaction de Coulomb au système et en considérant seulement les remplissages = 5; 4; 4; 5 a…n d’avoir un système à trois niveaux, nous étudions le diagramme de phase du gaz d’électrons en fonction d’un biais électrique entre les couches externes. Nous trouvons une phase d’onde de densité de charge bidimensionnelle (ODC2D) comme état fondamental du système.

Cette ODC2D se nomme cristal dans ce mémoire et nous dérivons ses propriétés de transports et ses modes collectifs. Nous discutons également du caractère topologique de ce cristal. Notre étude englobe aussi les phases liquides avec ou sans cohérence orbitale.

Nous concluons notre mémoire par l’étude de quelques signatures expérimentales des phases du gaz d’électrons dans la tricouche.

xv

Merci papa, merci maman, merci Annie-Pol, votre support est déjà acquis à mes yeux, mais bon, je sais le reconnaître.

Je veux surtout remercier mon superviseur. Dans la vie il n’y a qu’une seule chose qui vaut plus que l’argent, et ça, c’est le temps. Avec le temps on peut acheter beaucoup plus que des biens, on peut acheter des amis, de la connaissance, des talents et même de l’argent. En plus d’être extrêmement patient, mon superviseur m’a donné ce qu’il possède le moins et qui vaut tant, son temps. Désolé d’en avoir pris autant Pr.Côté, c’est parce que je suis lent. C’est vraiment votre plus grande qualité et j’en suis très reconnaissant, merci encore.

xvi

Introduction

0.1 Le graphène

Imaginer vivre avec une dimension de l’espace en moins, le concept d’une pile de feuilles (livre) devient absurde, la fonction principale d’une clôture serait parfaitement accomplie puisque nous ne pourrions pas sauter par-dessus. Heureusement, nous ne vivons pas dans un monde bidimensionel ! Il existe cependant des systèmes où les électrons se voient imposer de voyager en suivant seulement deux dimensions de l’espace. C’est le cas du transitor M OSF ET (metal–oxide–semiconductor …eld-e¤ect transistor ) en mode inversé, ce dernier est habité par un gaz d’électrons bidimensionnel (GE2D) sous sa grille. Tout comme pour des hétérostructures comme l’empilement de semi-conducteurs (AlGaAs/GaAs/Al-GaAs) qui forme un puits qui con…ne les électrons à la surface du (GaAs). Des électrons libres ‡ottent sur l’hélium liquide et sont con…nés à la surface de ce liquide. Tous les GE2D ont des électrons qui agissent comme s’ils étaient libres (dispersion quadratique) dans 2 dimensions de l’espace. Il existe un autre type de GE2D, c’est le graphène. C’est en 2004 que Novoselov et al. [1] réussirent à isoler une couche de graphite épaisse d’un seul atome de carbone (couche que nous nommons graphène).

Chaque atome de carbone de cette couche partage trois de ses quatre électrons de valence avec trois atomes de carbone voisins, et ce avec un lien sigma d’une hybridation sp

(les harmoniques 2s , 2p

, 2p

). Notons que cette structure d’atomes de carbone est très solide puisque les liens sigmas sont très forts : c’est là une propriété du graphène. Il reste alors un électron de valence dans l’orbitale 2p

. Il y a un petit recouvrement entre les orbitales 2p

formant des liens entre l’atome de carbone et ses voisins. L’électron de valence restant peut alors sauter d’atome en atome. Les électrons des liens sont alors obligés de suivre deux dimensions de l’espace et le système complet (soit la couche

1

d’atomes) est habité par un gaz bidimensionnel d’électrons GE2D. Il est important de noter que les électrons dans le graphène ne forment pas un gaz d’électrons libres dans le sens strict du terme. Ils sont in‡uencés par le réseau cristallin que forme le graphène. La structure en nid d’abeilles du graphène a pour zone de Brillouin un hexagone avec deux points non-équivalents nommés K et K

. Autour de ces points les électrons ont une dispersion linéaire nommée cônes de Dirac. Les cônes se touchant aux sommets forment une sorte de sablier autour des vallées. Cette dispersion n’a pas de courbure ; alors les électrons agissent comme s’ils n’avaient pas de masse et ont une vitesse constante (la pente de la dispersion), la vitesse de Fermi v

10

[4].

L’application d’un champ magnétique dans un GE2D conventionnel donne naissance à des niveaux de Landau. Un niveau de Landau est dégénéré N =

fois et a une énergie donnée par : E

= ~ !

n +

, n = 0; 1; 2; ::: . Dans le graphène les niveaux de Landau sont anormaux, l’énergie devient plutôt (E

/ p

N ). Il y a donc une énergie nulle à N = 0 et aucune énergie minimale puisque les bandes (cônes) de valence et de conduction sont transformées en niveaux de Landau. De plus, la présence des deux points non-équivalents dans la zone de Brillouin double la hauteur des plateaux dans la conductivité de Hall

puisque la dégénérescence de ces vallées vient se multiplier à celle du spin et de N pour donner des plateaux séparés par 4

[2]. De plus, les particules autour des cônes de Dirac ont la propriété de chiralité que nous introduirons plus loin.

Disons simplement que l’hamiltonien a des éléments non-diagonaux (dans une certaine

approximation) de la forme suivante, p

e

, où J est un entier relié à la chiralité du

système. Une chiralité non pas avec le spin mais avec le pseudospin, objet que nous

présenterons plus loin. L’hélicité fait en sorte qu’il n’y a pas beaucoup de rétrodi¤usion

quand il y a des collisions élastiques avec des impuretés dans le graphène. Puisque la

pluspart des barrières de potentiel couvre les atomes des deux sous-réseaux, une collision

élastique conserve le pseudospin. Puisque le pseudospin est conservé, un changement de

direction change l’hélicité et donc la bande d’énergie où l’électron se trouve (puisque

l’énergie dépend de l’hélicité). Pour que l’électron retrodi¤usé reste dans la bande de

conduction il faut le forcer à changer de vallée, mais cette dernière est aussi conservée

dans une collision élastique [3]. Pour cette raison le graphène démontre des mobilités

électroniques très élevées : 15000cm

=V s à température de la pièce sur une substrat

de SiO

pour une densité électronique de 10

cm

[4] et de plus de 230000cm

=V s

dans du graphène suspendu à basse température [5]. Le transport est donc balistique à

la température de la pièce expliquant ainsi l’observation de l’e¤et Hall quantique [4] à

Introduction 3 cette température. Ce genre de mobilité est intéressante pour des applications en micro- électronique. De plus, la conductivité thermique du graphène est très grande, en dépit de sa minceur ce qui rend encore plus attrayant pour ce genre d’application car elle permet de dissiper rapidement la chaleur. Malheureusement une seule couche de graphène n’a pas de zone interdite d’énergie (band gap) et donc le matériau n’est pas très intéressant pour une application de type transistor.

Il est toutefois possible d’avoir un gap en faisant un empilement de deux couches de graphène : la bicouche. En appliquant une di¤érence de potentiel (d.d.p) électrique entre les deux couches, il s’ouvre un gap au point de Dirac. Dans la bicouche de graphène, la dispersion des électrons est quadratique à faible énergie [6]. De plus, en champ magné- tique, le niveau de Landau N = 0 y est 8 fois dégénéré et donne un saut de 8

dans la conductivité de Hall. Cette nouvelle dégénérescence est causée par la présence de deux orbitales dégénérées dans le niveau de Landau N = 0 ayant comme origine la chiralité J = 2 [6]. L’orbitale constitue un nouveau degré de liberté qui se combine avec le spin et la vallée pour former un octet d’états quasi-dégénérés. Cette nouvelle dégénérescence vient augmenter la capacité du niveau N = 0 : ce niveau peut maintenant contenir 8N électrons. La dégénérescence orbitale et de vallée est levée avec l’application d’une di¤é- rence de potentiel. Elle peut aussi être brisée spontanément par l’interaction de Coulomb.

Si le niveau N = 0 ne contient pas 8N électrons, il n’est pas plein, alors les électrons peuvent être dans des états cohérents d’orbitales, de vallées et de spins puisque ces états sont quasi-dégénérés. Il y a donc des phases électroniques spéciales, de type ferroaimants de Hall [7], des cristaux d’électrons, des spirales de pseudospins, qui apparaissent dans la bicouche à cause de la symétrie brisée [8]. Les paramètres de remplissage du niveau N = 0 et la d.d.p peuvent modi…er ces états ou produire des changements de phase. Il est maintenant pertinent de se demander si la dégénérescence du niveau N = 0 est encore plus grande dans la tricouche de graphène.

La tricouche de graphène ABC a une dispersion cubique autour des vallées selon la Réf. [9], dispersion observée expérimentalement par [10] à l’aide de la conductivité optique (voir …g.(1)). Ceci veut dire que J = 3 pour la chiralité dans la tricouche ABC.

L’ouverture d’un gap est possible en appliquant une d.d.p entre les couches externes [10].

L’application d’un champ magnétique sépare les bandes en niveaux de Landau. Le niveau

N = 0 est dégénéré 12 fois [11]. Il y a trois orbitales dégénérées dans le niveau N = 0, elles

viennent se multiplier à la dégénérescence de vallée et de spin [11]. Cette dégénérescence

donne un saut de 12

dans la conductivité de Hall

observée par [12] et est représenté

Figure 1 – Structure de bande de tricouche de graphène à droite et mesure du gap à l’aide de la conductivité optique par absorption à gauche. Les pics P 1 et P 2 dans la

…gure de droite représentent les transistions 1 et 2 inscrite dans la …gure de droite.

à la …g.(2). Il y a cependant très peu de litérature sur le sujet de l’interaction de Coulomb dans la tricouche de graphène malgré le fait que la dégénérescence de ce système pourrait être à l’origine d’un diagramme de phase très riche.

Une tendance apparaît lorsque le nombre de couches n augmente. La chiralité J grimpe avec le nombre de couches (J = n). L’augmentation de J augmente la dégéné- rescence des orbitales trouvées dans le niveau N = 0. Le nombre d’orbitales dégénérées est toujours de J et la dégénérescence du niveau N = 0 est de 4J N . L’hamiltonien ap- proximé autour des vallées vient s’inscrire dans une classe de GE2D nommée gaz d’élec- trons bidimensionnel chiral (GE2DC). Selon [13], l’hamiltonien général s’écrit comme :

H

=

v

p

p p

J

[cos (J )

+ sin (J )

] ; (1) où

sont les matrices de Pauli, p est la quantité de mouvement de l’électron, est l’angle entre p et l’axe x, J est l’indice de chiralité, v

10

[4] est la vitesse de Fermi et p

=

F

avec

le paramètre de saut entre deux couches immédiates. C’est ce type de

système qui est étudié dans ce projet de maîtrise. Nous y étudions les phases électroniques

qui viennent de la brisure de symétrie de la dégénérescence du niveau N = 0 pour un

GE2DC avec J = 3 causée par l’interaction de Coulomb.

Introduction 5

Figure 2 – Plateaux de l’e¤et hall quantique dans la tricouche de graphène ABC. La

dégénérescence au niveau de Landau N = 0 se voit dans le saut de -6 à 6 dans la

conductivité de hall.

0.2 Pertinence du projet de maîtrise

A…n de mieux introduire les motivations derrière notre projet, continuons la discussion dans la voie de la bicouche introduite plus haut, mais cette fois en incluant les interactions entre les électrons a…n d’étudier le diagramme de phase à la température nulle, étude faite en détail dans [7], [8]. La chiralité de cette bicouche est J = 2. Sous l’application d’un champ magnétique, des niveaux de Landau se forment. Dans une certaine approximation, que nous verrons plus loin, nous trouvons qu’il y a deux fonctions d’onde qui ont une énergie nulle. Ce sont les orbitales mentionnées précédemments. Il y a donc deux orbitales que nous nommons n = 0 et n = 1. S’il y a application d’une d:d:p entre les couches, il y a une orbitale d’énergie plus faible que l’autre. En se limitant aux énergies où l’électron reste dans les J orbitales dégénérées, nous incluons l’interaction avec les autres électrons dans l’approximation Hartree-Fock. Si tous les niveaux de Landau inférieurs à N = 0 sont pleins et que nous ajoutons N électrons au système, nous obtenons un remplissage = 1.

Si la d:d:p rend l’orbitale n = 0 plus basse en énergie que l’orbitale n = 1, nous trouvons alors que le comportement collectif (l’état fondamental) des électrons est de les placer dans l’orbitale n = 0 d’une façon spatialement uniforme. Ce résultat est très raisonnable et intuitif, puisque l’énergie la plus basse est l’orbitale n = 0 et que l’interaction électron- électron de ces orbitales diminue d’avantage l’énergie dans l’orbitale n = 0 que dans n = 1. De plus, ne pas avoir de modulation spatiale diminue l’énergie électrostatique.

Nous nommons cet état liquide incohérent.

Nous nous attendons alors, très raisonnablement, à ce que l’état fondamental de la tricouche ABC, chiralité J = 3 avec trois orbitales dégénérées (n = 0, n = 1, n = 2) dans le niveau N = 0; dans des conditions identiques à la bicouche du paragraphe précédent, soit également un liquide incohérent. Encore une fois, parce que n = 0 est plus basse en énergie à cause de la d.d.p et que l’interaction de Coulomb dans l’orbitale n = 0 diminue le plus l’énergie tout comme l’uniformité spatiale. Croyant que notre intuition de l’état fondamental était bonne, nous avons tout d’abord calculé les modes collectifs de cet état (liquide incohérent). À notre grande surprise il y a un mode mou dans la relation de dispersion de ces modes. Ceci veut dire que l’état est instable. Il y a donc un état plus bas en énergie que le liquide incohérent, même si intuitivement ce dernier semblait le bon.

Quel est l’état fondamental ? Pourquoi n’est-ce pas le liquide incohérent ? Quelles sont

ses modes collectifs ? Quelles sont les propriétés électroniques ? Pouvons-nous trouver un

modèle approximatif et plus simple pour décrire ce système ? Bref, un tas de questions

Introduction 7 émergent de ce résultat.

Le projet de maîtrise s’inscrit donc dans ce contexte où un résultat semble contredire

une intuitition qui est bonne dans le cas de la bicouche. Le document est construit de la

manière suivante. Nous introduisons d’abord la couche de graphène et son hamiltonien

et quelques résultats intéressants. Nous passons ensuite à la bicouche et en…n nous in-

troduisons le sujet principal, la tricouche, qui pourra être mieux comprise puisqu’il est

possible de comparer avec les autres systèmes introduits plus tôt. Le chap.1 un porte sur

un modèle e¤ectif de la tricouche où nous intégrons les bandes d’énergie supérieures dans

un modèle à deux bandes pour étudier le comportement aux basses énergies autour des

vallées non-équivalentes. Nous étudions ensuite le domaine de validité de ce modèle et ses

approximations pour plusieurs paramètres (champs magnétique, énergie, vecteur d’onde,

di¤érence d’énergie entre les orbitales) dans un second chapitre. Dans le troisième cha-

pitre, nous introduisons l’interaction électron-électron dans l’approximation Hartree-Fock

et nous étudions le diagramme de phase de la tricouche pour plusieurs paramètres. Nous

trouvons alors plusieurs états fondamentaux. Dans le quatrième chapitre, nous étudions

les propriétés électroniques des états (densité, courant, dipôles électriques, densité d’états

etc). Dans le cinquième chapitre, il est question des modes collectifs dans l’approxima-

tion GRPA, des états fondamentaux, de l’absorption électromagnétique, des fonctions

de réponse et de la dispersion des modes. Dans le dernier chapitre, il est question de

modèle e¤ectif pour expliquer l’instabilité reliée à l’apparition du mode mou dont il est

question au paragraphe précédent. Nous cherchons un champ de vecteur pertinent pour

décrire complètement les phases. Nous montrons que ce champ de vecteur a peut-être un

caractère topologique qui pourrait mener à l’existence de skyrmions.

Chapitre 1

Notions de base sur le graphène et la tricouche ABC

Cette section a pour but de trouver les niveaux d’énergie de la tricouche ABC sans interaction Coulombienne entre les électrons. Nous calculons la structure de bande et les niveaux électroniques en champ magnétique. Ensuite, nous élaborons un modèle e¤ectif pour faciliter les calculs quand les interactions à deux corps sont ajoutées.

1.1 Description théorique du graphène et de ses pro- priétés

A…n d’introduire le graphène et ses caractéristiques, nous commençons par présenter quelques propriétés de la monocouche. Il est important de noter avant de commencer à lire cette partie, que la présentation sur la monocouche sera transposée à la tricouche.

D’abord, nous présentons le modèle de liaisons fortes qui permet de trouver la structure de bande de la monocouche de graphène. Par la suite, nous ajoutons un champ magnétique perpendiculaire au plan de la couche et nous trouvons les niveaux de Landau du gaz d’électrons, en mentionnant les di¤érences avec le gaz d’électrons normal.

1.2 Graphène sans champ magnétique

La …g.(1:1) montre la structure physique du graphène. Nous voyons deux sous-réseaux triangulaires (réseau d’atomes A et un réseau d’atomes B) ou encore un réseau trian-

9

Figure 1.1 –Illustration de la structure cristalline du graphène. Les deux sous-réseaux sont triangulaires. En rouge le sous-réseau composé des atomes A et le bleu des atomes B:

gulaire avec une base de deux atomes nommés A et B. Chaque atome a trois voisins immédiats venant de l’autre sous-réseau qui lui sont relié par les vecteurs suivants :

1

= a

2 x ^ + a

2 p

3 y; ^ (1.1)

2

= a

2 x ^ + a

2 p

3 y; ^ (1.2)

3

= a

p 3 y: ^ (1.3)

Dans ces équations, a

est le pas du réseau direct. Les vecteurs de bases (de norme a

= p

3 j

j , j

j = 1; 42 Å) du réseau direct sont les suivants : a

= a

2 x ^

p 3a

2 y; ^ (1.4)

a

= a

x: ^ (1.5)

Les relations imposées par les séries de Fourier du réseau permettent de trouver les

Chapitre 1 : Notions de base sur le graphène et la tricouche ABC 11

x y

K- K +

Première zone de Brillouin

La zone irréductible est en rouge

Figure 1.2 –Première zone de Brillouin du graphène. Les deux vallées sont K

et K sont indiquées ainsi que la zone irréductible.

vecteurs du réseau réciproque :

G ~

= 2

a

x ^ + 2

p 3a

y; ^ (1.6)

G ~

= 4

p 3a

y: ^ (1.7)

Les vecteurs du réseau réciproque font un angle de 30° avec ceux du réseau direct. Dans la première zone de Brillouin (…g.(1:2)), il y a deux points non-équivalents que nous nommons vallées, c’est-à-dire que nous ne pouvons pas relier le point K

au point K à l’aide d’une combinaison des vecteurs G

:

K = K = 2 3 ; 0 2

a ; (1.8)

K

= K

= 2 3 ; 0 2

a : (1.9)

La dispersion électronique autour de ces points forme les cônes de Dirac.

Avec ces informations, nous sommes maintenant capables de dériver l’hamiltonien

de liaisons fortes, (tight binding ). Le modèle suppose l’électron dans une superposition

d’orbitales de l’atome de carbone d’un site R

du réseau. Ces orbitales peuvent se recou- vrir avec celles des plus proches voisins de cet atome. L’électron peut se délocaliser sur tout le réseau à cause de ce recouvrement. Sa fonction d’onde doit respecter le théorème de Bloch. La probabilité de saut est donnée par le recouvrement des orbitales. Le para- mètre d’énergie de saut entre un atome et son plus proche voisin

2; 8 eV dans le graphène [14]. L’hamiltonien approximatif s’écrit comme suit :

H

=

X

hi;ji

j

ih

j + j

ih

j : (1.10)

Les indices i et j représentent un site du réseau direct. Le mot approximatif mentionné plus haut veut dire que nous considérons les sauts entre les voisins immédiats. Si nous passons en seconde quanti…cation, l’opérateur de création d’un électron sur un atome du sous-réseau A s’écrit a

et sur le sous-réseau B s’écrit b

. L’hamiltonien est

H

=

X

hi;ji

h

a

b

+ b

a

i

: (1.11)

Écrivons la série de Fourier des opérateurs : a

= 1

p N X

k

e

a

; (1.12)

b

= 1 p N

X

k

e

b

: (1.13) Si nous explicitons la somme sur les plus proches voisins (p.p.v) avec R

= R

+

,

étant les voisins autour de l’atome du site R

, nous obtenons : H

=

1

N X

j

X

k;k⁰

k;k⁰

e

h

a

b

e

+ b

a

e

i

: (1.14)

Écrivons sous forme matricielle (dans la base A, B) l’hamiltonien en dé…nissant :

(k) X

j

e

: (1.15)

Chapitre 1 : Notions de base sur le graphène et la tricouche ABC 13 Nous obtenons :

H

=

X

k

a

b

0 (k) (k) 0

! a

b

!

: (1.16)

Diagonalisons l’hamiltonien de la façon suivante, U est la matrice des vecteurs propres de la matrice M qui permet de passer de la base diagonale à la base originale :

o

0 (k)

(k) 0

!

= U E

(k) 0

0 E (k)

!

U

; (1.17)

U = 1 p 2

(k) j (k)j

(k) j (k)j

1 1

!

: (1.18)

En calculant les valeurs propres de la matrice, nous trouvons les bandes d’énergies du graphène :

E (k) =

q

j (k) j

: (1.19)

La …g.1:3 (b) présente la structure de bande. Dans cette équation, E représente la bande de valence et E

est la bande de conduction. Utilisons donc la dé…nition suivante pour les opérateurs de création sur chacune des bandes :

v

v

!

U

a

b

!

: (1.20)

Nous avons …nalement diagonalisé l’hamiltonien : H

=

X

k

v

v

E

(k) 0

0 E (k)

! v

v

!

; (1.21)

=

X

k

h

E

(k) v

v

+ E (k) v

v

i

: (1.22)

Dans ce qui suit, le mot hamiltonien est utilisé pour la matrice

, elle ne contient pas d’opérateurs de création sur les sites A et B :

o o

0 (k)

(k) 0

!

: (1.23)

C’est près du zéro d’énergie que les bandes de valence et conduction se rencontrent, plus précisément aux points K

et K

. La …g.1:3 (a) montre que proche de ces points, la dispersion est linéaire et isotrope. Pour du graphène non-dopé, la bande de valence est entièrement remplie si la température est nulle. Nous cherchons à étudier le comportement des électrons autour des points K

et K

. Pour cela, il faut faire un développement de Taylor de la fonction (k) :

K + p

~ '

p 3 2

a

~ (p

ip

) ; (1.24)

K + p

~ '

p 3 2

a

~ (p cos ip sin ) : (1.25) La variable

est une petite déviation par rapport aux points K dans l’espace réciproque (donc

~

>>

, l’approximation est bonne aux grandes longueurs d’onde). Nommons cette étape l’approximation du continuum. En passant en coordonnées polaires, (p) est l’angle entre p et p

. L’approximation met en évidence le caractère linéaire de la dispersion. Il est important de remarquer que dans cette approximation l’hamiltonien contient e

où J = 1: La monocouche est donc un gaz d’électrons bidimensionnel chiral. Dé…nissons

p3 2

a0

} 0

:

o

[K ] =

p 0 e

e

0

!

; (1.26)

=

p [

cos (p)

sin (p)] ;

avec

p et la matrice de vecteurs propres dans l’espace p devient :

U [K ] = 1 p 2

e

e

1 1

!

: (1.27)

Nous voyons apparaître l’hélicité dans l’hamiltonien, puisque l’hélicité est dé…nie comme suit

. Habituellement, elle représente la projection du spin sur la quantité de mouvement. Dans notre cas, on parle plutôt de la projection du pseudospin sur la quantité de mouvement. Les matrices de Pauli sont dans la base des sites des deux sous- réseaux, soit A ou B et donc :

o

[K ] = : (1.28)

Selon la vallée, l’hélicité pour la bande de conduction ou de valence, est …xée. Par exemple,

Chapitre 1 : Notions de base sur le graphène et la tricouche ABC 15

k

/ ( 2 π /a )

k

y

/(2 π /a)

0.1

E n e rg ie (e V )

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

X

Y Z

(a)

k

/(2 π /a ) -1 0 k 1

y

/(2 π /a) -1

0

1

E n e rg ie (e V )

-5 0 5

X Y

Z

(b)

Figure 1.3 – (a)-Dispersion autour du point K

=

o

2

3

; 0 . Ce sont les cônes qui

forment le sablier mentionné dans l’introduction. La dispersion électronique est linéaire,

de sorte que la masse e¤ective est nulle. (b)-Structure de bande de la monocouche de

graphène. La bande de valence et la bande de conduction se rencontrent aux vallées K

et K

où la dispersion devient linéaire et forme les cônes de Dirac.

dans la vallée K , l’électron dans la bande de conduction doit avoir une hélicité de 1. Si l’électron pouvait changer de direction à cause d’une collision élastique, l’hélicité deviendrait alors +1 et l’électron se retrouverait dans la bande de valence puisque le pseudospin de site est conservé dans les collisions élastiques. Pour que le pseudospin change, il faut que l’étendu du potentiel di¤usif soit plus petit que la distance A et B, [3]. Comme il ne peut y avoir changement d’énergie dans une collision élastique, il faut que l’électron change de vallée pour permettre la rétro-di¤usion. Changer de vallée n’est pas chose facile : il faut des termes qui le permettent dans l’hamiltonien, ce n’est généralement pas le cas pour des collisions élastiques et l’interaction de Coulomb conserve approximativement la vallée. C’est pour cette raison qu’il y a du tunnelage de Klein [3]

et alors du transport balistique dans le graphène. La nature chirale du graphène (la relation entre l’énergie et l’hélicité) vient de l’équivalence des deux sous-réseaux et elle est importante a…n de bien comprendre le transport électronique. C’est pour cette raison que l’achronyme GE2DC est approprié pour le graphène.

1.2.1 Avec champ magnétique

La présence d’un champ magnétique perpendiculaire à la couche de graphène B = B^ z contraint les électrons à suivre une orbite (ce mot vient d’une vision classique d’électrons en champ magnétique), c’est pour cette raison qu’il y a quanti…cation de l’énergie des états électroniques. Le champ magnétique dans cet ouvrage est traité dans la jauge de Landau, A

= 0, A

= Bx. La substitution de Peierls est e¤ectuée dans l’hamiltonien donné par l’éq.(1:23). La substitution consiste tout simplement à remplacer la quantité de mouvement par la quantité de mouvement covariante :

P = p + eA

c ; (1.29)

pour …nalement faire apparaître les opérateurs de création et d’annihilation avec les dé…nitions suivantes :

a `

p 2 } (P

iP

) a ; (1.30)

a

`

p 2 } (P

+ iP

) a

: (1.31)

Chapitre 1 : Notions de base sur le graphène et la tricouche ABC 17 Les opérateurs de la coordonnée du centre d’orbite (X) et de la longueur magnétique sont alors dé…nis par :

`

}

eB ; (1.32)

X ^ i`

@

@y : (1.33)

Ces opérateurs d’échelle agissent sur les fonctions d’onde dans la jauge de Landau compo- sées entre autres des '

(x) qui sont les fonctions d’onde de l’oscillateur harmonique qui incluent les polynômes d’Hermite H

. Les niveaux de Landau sont la solution de l’hamil- tonien d’un gaz d’électrons bidimensionnel dans une champ magnétique perpendiculaire.

La solution étant déjà connue nous ne faisons que la donner : h

(r) = 1

p L

e

'

(x) ; (1.34)

'

(x) = 1 p 2

n!

1

`

1 4

exp

"

(x X)

2`

#

H

x X

` ; (1.35)

X k`

: (1.36)

Avec cette dé…nition des fonctions d’onde, les opérateurs d’échelle agissent de la façon suivante (voir la preuve dans l’annexe A) :

a

h

(r) = i p

n + 1h

(r) ; (1.37)

ah

(r) = i p

nh

(r) ; (1.38)

a

ah

(r) = nh

(r) : (1.39)

Les niveaux de Landau sont les états propres d’un gaz d’électrons dans un champ ma- gnétique et sont dégénérés N fois :

N = S

2 `

: (1.40)

Avec la substitution de Peierls dans l’hamiltonien (éq.(1:23)), nous obtenons dans la base des atomes (A; B) :

o

[K ] =

r 3

2 a

`

0 a

a 0

!

: (1.41)

Les états dans l’espace r et valeurs propres sont donnés (pour la vallée K

) par : j

i = sgn(N )ih

(r)

h

(r)

!

; (1.42)

E

=

r 3

2 a

r e

} p B p

j N j ; (1.43)

où N 6 = 0 donne le niveau de Landau dans la bande de conduction (+) si N > 0 ou de valence ( ) si N < 0. Il existe un niveau d’énergie nulle qui a comme état propre :

h

(r) 0

!

; (1.44)

contrairement au gaz d’électrons ordinaire. De plus, dans la vallée K , le niveau N = 0 a pour vecteur propre :

0 h

(r)

!

; (1.45)

aussi à énergie nulle. Ces deux derniers vecteurs montrent que l’indice de vallée et indice du sous-réseau sont équivalents dans le niveau N = 0. La présence de N = 0 est la raison pour laquelle les plateaux de la conductivité de Hall apparaissent à des valeurs séparées de 2

à le place de 4

comme dans un GE2D normal. L’énergie croît (en valeur absolue) comme la racine carrée du niveau de Landau et idem pour la dépendance en champ magnétique. Dans le cas d’un gaz d’électrons ordinaire, c’est de façon linéraire que changent ces deux dernières variables.

1.2.2 Tricouche de graphène

Passons maintenant au sujet principal de ce mémoire en gardant en tête la petite

introduction sur le graphène. Considérons trois couches de graphène empilées de la façon

Bernal. Comme mentionné plus haut, le graphène a deux sous-réseaux montrés à la …g

(1:4) nommés A et B qui forment une structure en nid d’abeilles. L’empilement Bernal

Chapitre 1 : Notions de base sur le graphène et la tricouche ABC 19

A B

A

A A

A A

B B B

B

B

γ

γ

γ

γ

γ

Figure 1.4 –Exemple de l’empilement de type Bernal avec les paramètres énergétiques de saut

, j = 0; 1; 3; 4.

consiste à avoir les atomes du sous-réseau B

(l’indice veut dire la deuxième couche de graphène) au centre des hexagones de la structure en nid d’abeilles et les atomes du sous-réseau A

au-dessus des atomes du sous-réseau B

.

La tricouche avec un empilement dit ABC est tout simplement un empilement Bernal entre la première et la deuxième couche, mais aussi entre la deuxième et la troisième.

En respectant ces empilements, les atomes du sous-réseau A

sont directement sous les atomes du sous-réseau B

et les atomes du sous-réseau B

sont au centre d’une plaquette de la troisième couche. L’empilement entre la troisième couche et la première est donc aussi Bernal. La séparation entre deux couches est de 3; 33 Å, pour un espacement entre la première et la troisième d’environ 6; 67 Å. La …g.(1:5) montre la structure complète de la tricouche (les indices représentent la couche).

Puisqu’il y a trois couches, le nombre de paramètres de saut augmente considéra-

blement par rapport à la bicouche. Nous faisons donc une description de chacun de ces

paramètres (dé…nitions prises de [9]). Dans chacune des couches, il y a le saut entre les

atomes A

et B

, soit le terme

. Ce paramètre est le seul intra-couche : tous les autres

sont des transferts inter-couches. Entre les couches directement voisines il y a plusieurs

types de saut. Comme l’empilement est du type Bernal : il y a une di¤érence entre, di-

sons, un saut d’un atome du sous-réseau A

de la première couche vers un atome B

de

la couche au-dessus et le même saut mais inversé, c’est-à-dire A

vers B

, puisque A

A ₁

B ₃

B ₁

A ₂

B ₂

A ₁

A ₃ (B ₃ )

(A ₃ )

B ₁

B ₂

(A ₂ )

B ₂ (A ₃ )

(B ₃ ) A ₁

Couche 3 Couche 2 Couche 1

Figure 1.5 –Vue du dessus d’une tricouche ABC et de la con…guration de sites les uns

par rapport aux autres. L’indice au bas des lettres A et B indique la couche à laquelle

l’atome de carbone appartient.

Chapitre 1 : Notions de base sur le graphène et la tricouche ABC 21

Transfert Distance Paramètre du saut

A

B

3 0

B

A

q

3

a

A

B

a

A

A

, B

B

a

A

B

2

q

3

a

B

A

p

3a

A

A

, B

B

p

3a

Tableau 1.1 –Paramètres de saut entre les sites et la distance correspondante.

et B

sont l’un au-dessus de l’autre. Alors que B

est au centre d’un l’hexagone de la première couche. Ainsi le saut du sous-réseau B vers le sous réseau A d’une autre couche a le paramètre énergétique

. Ensuite il y a l’inverse, des atomes A vers un atome B d’une autre couche caractérisé par le paramètre énergétique

. Les sauts entre les mêmes sous-réseaux (soit A

vers A

et B

vers B

) ont le paramètre

. Il reste …nalement les sauts entre la première et troisième couche qui sont beaucoup moins probables à cause de la grande distance qui sépare ces deux couches. Le saut entre le sous-réseau A

vers celui du sous-réseau B

a le paramètre

. Les sauts aux plus grandes distances sont de B

vers A

avec une énergie de saut

et l’énergie

pour les sauts A

vers A

et B

vers B

. Le tableau (tab.(1:1)) qui résume chacun des paramètres : .

Nous sommes maintenant en mesure d’écrire l’hamiltonien complet. Étant d’une taille

considérable nous choisissons de mettre en annexe l’hamiltonien complet. Nous écrivons

immédiatement la matrice correspondante (voir éq.(1:23)) . Comme pour la monocouche,

la matrice des vecteurs propres de H

appliquée sur le vecteur des opérateurs de créa-

tion donnera les opérateurs d’états propres, donc un hamiltonien diagonalisé en seconde

quanti…cation. La base utilisée est A

; B

; B

; A

; B

; A

qui donne l’hamiltonien suivant

0

= 3; 16 eV

1

= 0; 502 eV

2

=

eV

3

= 0; 377 eV

4

= 0; 099 eV

Tableau 1.2 – Valeurs des paramètres de saut. Ces valeurs sont déterminées avec le calcul DFT lissé sur le modèle des liaisons fortes.

(pour une notation plus compacte, (k) ! ) :

H

= a

b

b

a

b

a

H

0 B B B B B B B B B @

a

b

b

a

b

a

1 C C C C C C C C C A

(1.46)

H

0 B B B B B B B B B @

eV

2

eV

o 6

eV

4 3 1

eV

3 4 4 o

eV

6 o 5 4 1

eV

1 C C C C C C C C C A

: (1.47)

Négligeons

et

, [9], puisque ce sont des sauts assez improbables de la distance entre les sites (voir le tab.(1:1)). Le terme (k) est dé…ni dans le section sur la monocouche (voir éq.(1:15)). Les eV

sont des potentiels appliqués sur les couches i a…n de créer une di¤érence de potentiel entre chaque couche. Nous utilisons les paramètres

donnés dans l’article [9] qui sont trouvés à l’aide d’un lissage pour adapter la structure de bandes du modèle des liaisons fortes à celle trouvée avec la technique de DFT (density functional theory). La …g.(1:6)) montre la dispersion électronique de cet hamiltonien (éq.(1:47)). Il y a six bandes d’énergie. Il n’y a pas de gap dans la structure de bandes. Il est possible d’ouvrir un gap en appliquant une di¤érence de potentiel entre les couches [10]. Il y a un petit gap d’environ = 2

entre les deux bandes aux basses énergies et les deux aux hautes énergies. Ce gap est situé au point autour du point K

=

o

2

3

; 0 . Les vecteurs

propres dans l’espace des k des bandes qui se touchent près du zéro d’énergie au point

Chapitre 1 : Notions de base sur le graphène et la tricouche ABC 23

|k| unité de (2 π /a

)

É n e rg ie (e V )

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

K- K+

Zone irréductible en rouge

1^erzone de Brillouin

|k| unité de (2π/ao)

Énergie(eV)

0.66 0.6620.664 0.6660.668 0.67 0.672 0.674 -0.005

0 0.005 0.01

Figure 1.6 – Les six bandes d’énergie de la tricouche ABC de graphène. L’axe des

abscisses est tracé en suivant le triangle de la zone irréductible (médaillon de gauche), la

norme j k j somme sur le tour du triangle. Il n’y aucun potentiel électrique sur chacune des

couches. Le médaillon de droite est un agrandissement du point de rencontre des bandes

de valences et celles de conduction.