B.2 Polarisation dans une vallée du liquide incohérent dans n = 0
D.0.3 Dérivation des types de courant, dipôle et magnétisation
Les dipôles électriques contribuent au courant total. Nous tentons d’isoler la partie dipolaire du courant à l’aide de la dynamique dipolaire :
JxDip(q) = i~d
avec l’hamiltonien à un corps sous forme de paramètres d’ordre : HO[K+] = N Il est maintenant possible de calculer le commutateur avec la relation suivante :
N [ nm(q); lk(q0)] =e 2i`2(q q0) l;m n;k(q+q0) e+2i`2(q q0) n;k l;m(q+q0): (D.39) Le courant dipolaire en xdonne :
[HO; dx(q)]
Chapitre D : Dipôles électriques, courant et aimantation 161 Soit,
JxDip(q) = i
~e q
2`2
4 N'`e pLL
2 0;1(q) 1;0(q) + LL 1 q2l2
4 1;2(q) 2;1(q) ; (D.41) ou encore
JxDip(q) = i
~e q
2`2
4 N'`e 2i pLL 2
1 0
y (q) + 2i LL 1 q2l2 4
1 2
y (q) : (D.42)
Alors que celui eny est donné par : En utilisant l’éq .(D:33)nous pouvons retrouver ces contributions. Maintenant que nous avons isolé la contribution dipolaire, nous pouvons en tirer la contribution de l’aimanta-tion.En e¤et il reste maintenant la partie du courant provenant de l’aimantation. C’est un courant lié et s’écrit, selon l’électromagnétisme classique, sous la forme :
Chapitre D : Dipôles électriques, courant et aimantation 163
JM agB (q) = iqymz(q)^x iqxmz(q)^y: (D.45) Écrivons de manière explicite le courant dans la direction x trouvé plus haut :
Jx(q) = e i` où nous rappelons que les facteurs de forme sont donnés par :
Fn;t(q)
Il ne reste plus qu’à faire beaucoup d’algèbre pour trouver le courant dipolaire :
Il faut maintenant isoler les termes qui ressemblent à h
JM agB (q)i
Chapitre D : Dipôles électriques, courant et aimantation 165 Il fait maintenant faire le même boulot avec Jy(q) et trouver h
JM agB (q)i En isolant le courant dipolaire :
Jy(q) = JyDip(q) iqx
L’aimantation totale est alors donnée par : mz(q) = e q
2`2
4 N' LL
2p
2} `2e p
2 0;0(q) + q2`2 p2 3p
2 1;1(q) (D.53) e q
2`2
4 N' LL
2p
2} `2e 5p
2 2p
2q2`2+ q4`4 4p
2 2;2(q) +e q
2`2
4 N' LL
p2} `2ei` qx 0;1x (q) qy 0;1y (q) +2e q
2`2
4 N' LL
} `2ei` 1 q2`2
8 qx 1;2x (q) qy 1;2y (q) +e q
2`2
4 N' LL
2p
2} `2e qx2 qy2 `2 0;2x (q) 2qxqy`2 0;2y (q) :
Nous trouvons alors qu’il y a un terme supplémentaire dans le courant qui n’est pas dans le dipôle ni dans l’aimantation :
JextraK ; (q) = 2e q
2`2
4 iN' LL
p2} `2e qx 0;2y (q) +qy 0;2x (q) x+^ qx 0;2x (q) qy 0;2y (q) ^y : (D.54) Nous n’avons pas encore établi l’origine de ce terme.
Annexe E
Formalisme général de la réponse linéaire à un potentiel externe
Il y a plusieurs phases électroniques dans notre système. Ces phases sont caratérisées, dans l’approximation Hartree-Fock, par les paramètres d’ordre! h HFj ;n; a; ;m; b(q)j HFi. Le sujet de cet annexe est de calculer la réaction du système s’il y a un champ externe qui dépend du temps dans un formalisme à température nulle. La question est donc de trouver les excitations que peut avoir le système si la perturbation externe est assez faible par rapport à l’hamiltonien Hartree-Fock H^HF (voir [19]) :
H^ = ^HHF + ^Hext(t): (E.1)
L’équation de Schrödinger détermine l’évolution de l’état fondamental avec la perturba-tion externe :
i~@
@tj HF(t)i= H^HF + ^Hext(t) j HF(t)i; (E.2) qui a comme solution :
j HF(t)iext=e ~iH^HFtA(t)j 0i; (E.3) oùA(t) est l’évolution due àH^ext(t). L’équation pour cet opérateur est obtenu en injec-tant la solution donnée par l’éq.(E:3)dans l’équation de Schrödinger :
i~@
@tA(t) = e~iH^HFtH^ext(t)e ~iH^HFtA(t); (E.4) i~@
@tA(t) = H^Hext(t)A(t); (E.5)
167
où nous avons dé…ni l’hamiltonien de perturbation dans la représentation de Heisenberg La solution de l’éq.(E:4) se trouve en faisant une intégration itérative. Il est maintenant possible d’écrire l’état Hartree-Fock dynamique à l’aide de l’éq.(E:3) et de l’éq.(E:7). À l’aide de ces vecteurs d’état il est possible de déterminer les valeurs moyennes perturbées des opérateurs.
Prenons la densité électronique n^K ; (r) :
^
nK ; (r)H e~iH^HFt^nK ; (r)e ~iH^HFt; (E.8) comme exemple et calculons sa valeur moyenne avec l’état Hartree-Fock perturbé. Nous utilisons l’indiceh:::iextlorsque la moyenne est faite avecj HF(t)iext, alors que le symbole de la moyenne normale h:::i est pour j HFi sans champ externe :
En se limitant au premier ordre dans la série d’itération, cela donne l’approximation linéaire, éq.(E:11) : Le premier terme de l’éq.(E:11) représente la valeur moyenne de la densité au temps t alors que le second est la première correction due à la perturbation du champ externe H^ext(t). La correction linéaire à la densité est dé…nie comme :
^
Chapitre E : Formalisme général de la réponse linéaire à un potentiel externe 169 Lorsqu’un champ externe ext(r; t) se couple à la densité électronique, l’hamiltonien s’écrit :
H^Hext(t) =e Z
dr ext(r; t)^nK ; (r;t)H: (E.13) Dans ce cas la perturbation au premier ordre devient :
^
nK ; (r) (t) = i
~ Z
dr0 Z t
0
dt0 ext(r0; t0) n^K ; (r0;t0)H;n^K ; (r;t0)H : (E.14) Il est possible d’étendre l’intégrale sur le temps sur tous les réels et d’ajouter une fonction marche de Heaviside pour tenir compte de la causalité de la perturbation :
^
nK ; (r) (t) = e
~ Z
dr0 Z 1
1
dt0 ext(r0; t0) Rn;^^n(r;t;r0;t0); (E.15) avec :
i Rn;^^n(r;t;r0;t0) n^K ; (r;t)H;n^K ; (r0;t0)H (t t0); (E.16)
= n~K ; (r;t)H;n~K ; (r0;t0)H (t t0):
La fonction Rn;^^n(r;t;r0;t0) est la fonction de réponse, temporellement retardée, densité-densité. De plus la dé…nition suivante,~nK ; (r0;t0)H n^K ; (r0;t0)H n^K ; (r0;t0)H est utilisée.
Il faut maintenant établir le lien entre les densités électroniques et les paramètres d’ordre calculés dans l’approximation Hartree-Forck a…n d’évaluer la valeur moyenne du commutateur. Puisque nous nous intéressons à des cas où le gaz2Dest polarisé en vallée et spin, il est possible d’écrire simplement :
R
^
n;^n(q;t;q0;t0) =N
X2 n;m;n0;m0=0
Km;n( q)Km0;n0(q0) 0;Rm;n;m0;n0(q;t;q0;t0); (E.17)
où :
i 0;Rn1n2n3n4(q;t;q0;t0) N n1n2(q;t)H ; n3n4( q0; t0)H (t t0): (E.18) L’équation précédente est la fonction de réponse temporellement retardée des opérateurs qui représentent les paramètres d’ordre 0;Rm0n0mn(q;t;q0;t0). La perturbation en densité
dans l’espace de Fourier peut se trouver à partir des dé…nitions précédentes :
^
nK ; (r) (t) = e
~ Z
dr0 Z 1
1
dt0 ext(r0; t0) R^n;^n(r;t;r0;t0); (E.19)
= e
~ 1 S2
Z d!
2 X
q0;q
eiq re i!t ext( q0; !) Rn;^^n(q;q0; !);
^
nK ; (q) (!) (E.20)
N
X2 n;m;n0;m0=0
X
q0
Km0;n0(q0)Km;n( q) ext( q0; !) 0;Rm;n;m0;n0(q;q0;!):
Nous savons que la fonction de Green à deux particules contient toute l’information de la fonction de réponse temporellement retardée et plus encore. La représentation de Lehmann permet d’écrire les égalités suivantes :
Re 0n
1n2n3n4(q;q0;!) = Re 0;Rn
1n2n3n4(q;q0;!) ; (E.21)
!
j!jIm 0n1n2n3n4(q;q0;!) = Im 0;Rn1n2n3n4(q;q0;!) ; (E.22) où :
0
n1n2n3n4(q;q0;t t0) N T ~n1n2(q;t t0)H ~n3n4( q0;0)H ; (E.23) avecT[:::]l’opérateur d’ordre temporel,~n1n2(q;t t0)H n1n2(q;t t0)H n1n2(q; )H est la perturbation par rapport à l’état Hartree-Fock (la moyenne n1n2(q;t t0)H est donc prise avec l’état Hartree-Fock).
Annexe F
Matrices de Gell-Mann
Les matrices génératrices de rotation dans le groupe SU(3) sont données par les matrices dites de Gell-Mann [25], l’analogue des matrices de Pauli. Ces matrices sont hermitiques de déterminant unité et sans trace. Les matrices de rotation de l’isospin sont donc donnée par U = exp [i!aTa]où :
La structure de l’espace du groupe SU(3) est donnée par les relations de commutation suivantes :
avec les valeurs :
f123 = 1; (F.6)
f147 = f156 =f246 =f257 =f345 = f367 = 1
2; (F.7)
f458 = f678 = p3
2 : (F.8)
Les huit champs sont donnés par :
T1(q) = 1
2 N K0;1( q) 0;1(q) +N K1;0( q) 1;0(q) ; (F.9) T2(q) = 1
2i N K0;1( q) 0;1(q) N K1;0( q) 1;0(q) ; (F.10) T3(q) = 1
2 N K0;0( q) 0;0(q) N K1;1( q) 1;1(q) ; (F.11) T4(q) = 1
2 N K0;2( q) 0;2(q) +N K2;0( q) 2;0(q) ; (F.12) T5(q) = 1
2i N K0;2( q) 0;2(q) N K2;0( q) 2;0(q) ; (F.13) T6(q) = 1
2 N K1;2( q) 1;2(q) +N K2;1( q) 2;1(q) ; (F.14) T7(q) = 1
2i N K1;2( q) 1;2(q) N K2;1( q) 2;1(q) ; (F.15)
T8(q) = (F.16)
1 2p
3 N K0;0( q) 0;0(q) +N K1;1( q) 1;1(q) 2N K2;2( q) 2;2(q) :
Annexe G Absorption
Comment prédire la réaction d’une phase électronique, quand il y a une onde électro-magnétique qui oscille dans le temps, monochromatique et polarisé linéairement incidente sur ce système ? La réaction c’est l’excitation d’un mode, mais cette excitation a un prix énergétique. Disons que les photons incidents ont une longueur d’onde très grande com-paré à celle des modes collectifs des di¤érentes phases que nous étudions. Les seules excitations visibles avec le champ électrique sont donc celles à q!0. Nous mesurons donc le gap optique (celui à q! 1 est le gap en transport). Il faut noter toutefois que même s’il y a plusieurs modes avec un gap àq!0, ça ne veut pas dire qu’ils apparaissent tous dans l’absorption. Il y a des règles de sélection. Classiquement la puissance absorbée peut se trouver à partir de la force du champ externe sur l’électron et la vitesse de ce dernier, nous obtenons alors l’équation suivante :
Pi(!) = 1
2Re [ ii(q!0;q0!0;!)]jEextj2; (G.1) où i = x; y est imposé par la polarisation du champ électrique. Nous pouvons trouver le tenseur de conductivité à l’aide de l’éq.(E:12) pour l’opérateur courant. Le courant perturbé est le courant total présent dans le système puisque sans perturbation le courant d’une phase électronique est nul. Sachant que l’hamiltonien total est toujours invariant sous translation temporelle nous trouvons le courant :
DJ^K ; (r)E
ext(t) = i
~ Z t
0
dt0Dh
H^Hext(t0);J^K ; (r;t0)HiE
: (G.2)
173
Le couplage du système avec l’onde électromangétique s’écrit avec l’hamiltonien de cou-plage dans le chap.4 (éq.(4:15)), ce coucou-plage n’inclut pas le terme diamagnétique qui n’existe que pour ! = 0 : entre Rj;j(r;r0;t t0)et le potentiel vecteur soit un produit scalaire. Le potentiel vecteur s’écrit :
Finalement la base orthonormée des exponentielles et la loi d’Ohm locale permet d’iden-ti…er le tenseur de conductivité :
(r;r0;!) = i
~
R
j;j(r;r0;!)
!+i (G.6)
Si le système est invariant sous translation spatiale (contrairement au cristal) nous obte-nons la forme la plus simple dans l’éq.(G:7):
DJ^K ; (q)E
ext
(!) = (q;!) Eext(q;!): (G.7) Par identi…cation, à l’aide de la loi d’Ohm, il possible de trouver le tenseur de conductivité pour le cristal de la façon suivante :
(q;q0;!) i
~
R
j;j(q;q0;!)
!+i (G.8)
La puissance absorbée (pour!6= 0) se trouve à l’aide de l’éq.(G:1)et la relation éq.(E:22) [19] :
Chapitre G : Absorption 175
Pi(!) = (G.9)
1 2Re i
~ 1
!+i Re[ Rji;ji(0;0;!)] +ii
~ 1
!+i Im Rji;ji(0;0;!) jEextj2
= 1
2~
Im j
i;ji(0;0;!)
j!+i j jEextj2
Annexe H
Calcul pour la validité du modèle a 2 bandes
Pour e¤ectuer la véri…cation du modèle e¤ectif, il faut trouver les énergies propres de la matrice donnée par l’éq.(2:1) (pour la dé…nition de chacun de ses éléments se référer au premier chapitre) :
HO[K ] = 0 BB BB BB BB B@
(eV1) 2 oa 4a 3a 0
2 (eV3) 0 3a 4a oa
oa 0 (eV1) 1 4a 0
4a 3a 1 (eV2) oa 4a
3a 4a 4a oa (eV2) 1
0 oa 0 4a 1 (eV3)
1 CC CC CC CC CA
: (H.1)
Les paramètres o et 1 sont énergétiquement dominants par rapport aux autres. De ce fait même, il faut séparer la matriceHO[K ] en deux :
HO[K ] =HO0[K ] +W[K ]; (H.2)
177
avec les dé…nitions suivantes :
Il est alors possible de trouver les vecteurs et énergies propres deHO0[K ]. Le but est de mettre la matriceW[K ]dans la base des vecteurs propres deHO0[K ]. De cette façon il est possible de voir quelles bandes d’énergies dominantes sont couplées à cause de la perturbation W[K ]. Il su¢ t ensuite de diagonaliser W[K ] dans la nouvelle base. De cette façon il est possible de tracer les niveaux de Landau des di¤érentes bandes en fonc-tion du biais électrique B entre les couches ainsi qu’en fonction du champ magnétique B. Posons la forme d’un état propre d’une bande i (i= 1;2:::6) :
l’application d’un opérateur d’échelle sur un niveau s’écrit comme suit :
hrjni = hn;X(r); (H.6)
a jni = ip
n+ K ;K jn 1i; (H.7)
a jni = ip
n+ K+;K jn 1i: (H.8)
Chapitre H : Calcul pour la validité du modèle a 2 bandes 179 Le but est d’enlever les opérateurs d’échelle de cette matrice. Il faut appliquer le vecteur général dans l’équation aux valeurs propres :
HO0[K ]j ii = 0i[K ]j ii; (H.9)
Il est maintenant possible d’utiliser les six équations et d’exprimer les niveaux de Landau
en terme d’un seuln à la place des six de l’éq.(H:5): l’hamiltonien donne six énergies, donc six bandes, chacune couple les niveaux n espacés de trois orbitales. Pour les niveaux de basses énergies il faut travailler un peu plus. Il y a donc trois cas spéciaux pour chaque vallée, voir éq.(H:16) et éq.(H:17). La taille du système est réduite pour chacun de ces cas. Dans le cas de la valléeK il reste une seule équation quand n = 0. Si n = 1 le système se réduit à une matrice 3 3 et donc trois bandes. Si n = 2 la matrice devient 5 5 et donc cinq bandes. Pour la vallée K+ c’est idem, à l’exception des coe¢ cients (la localisation sur un des atomes de la maille) nuls
Chapitre H : Calcul pour la validité du modèle a 2 bandes 181 ne sont pas au même endroit.
j 0;iiK ;j 1;iiK ;j 2;iiK (H.16)
L’équation aux valeurs propres s’écrit maintenant sans opérateur et sans fonction d’onde de niveau de Landau, les éléments de matrice deviennent tous scalaires. L’éq.(H:20) est pourn 3et l’éq.(H:21) est pourn 0:
MjniK H0O[K ] n;i = MjniK 0i[K ] n;i; (H.18) H0O[K ] n;i = 0i[K ] n;i; (H.19)
H0O[K ]
Maintenant que la forme général des vecteurs de HO0[K ] est déterminée, il su¢ t de mettre W[K ] dans la base de ce dernier. Nous montrons la procédure pour le cas générique (pas pour les vecteurs de basse énergie).
K h m;jjW[K ]j n;iiK (H.22)
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