Développement aux grandes longueurs d’ondes de l’énergie Hartree-

Dans le cas du cristal, nous supposons encore avoir un pseudospineur à trois com-posantes. Dans ce cas l’éq.(6:6) n’a plus les matrices de Pauli mais bien les matrices génératrices de rotations dans le groupe SU(3), les matrices de Gell-Mann (Ta). Ces dernières sont présentées dans l’annexe F. Donc sans connaître le pseudospineur exact nous connaissons les champs avec lesquels il est possible d’écrire le modèle SN L. Si la moyenne est prise avec l’état cristallin, les champs de l’éq.(6:6)s’écrivent aussi comme :

hT_a(r)i= X

X;X⁰

X

n;m

hnjT_ajmih_n;X(r)h_m;X0(r)D

c^y_n;Xc_m;X0

E

; (6.17)

alors que dans l’espace de Fourier : hT_a(q)i=N X

n;m

hnjT_ajmiK_n;m( q) _n;m(q) : (6.18)

Chapitre 6 : Modèle de pseudospin et stabilité topologique 121 Dans le chap.3, le calcul de toutes l’information nécessaire pour calculer l’éq.(6:18) est donné. La forme des huit champs est donnée dans les éq.(F:9), (F:10), (F:11), (F:12), (F:13), (F:14), (F:15) et l’éq.(F:16). Nous désirons toutefois connaître le comportement des paramètres d’ordre seulement. Nous dé…nissons alors les champs de centre d’orbite, c’est-à-dire que les facteurs de forme sont mis à un. Les champs deviennent alors :

Te₁(q) = ^(0;1)_x (q); (6.19)

e

T₂(q) = ^(0;1)_y (q); (6.20)

Te₃(q) = ^(0;1)_z (q); (6.21)

Te₄(q) = ^(0;2)_x (q); (6.22)

e

T₅(q) = ^(0;2)_y (q); (6.23)

Te₆(q) = ^(1;2)_x (q); (6.24)

e

T₇(q) = ^(1;2)_y (q); (6.25)

Te₈(q) = 1 2p

3 ^0;0(q) + _1;1(q) 2 _2;2(q) ; (6.26) avec :

(n;m)

x (q) ^n;m(q) + _m;n(q)

2 ; (6.27)

(n;m)

y (q) ^n;m(q) _m;n(q)

2i ; (6.28)

(n<m)

z (q) _n;n(q) _m;m(q): (6.29)

Un exemple de ces champs de vecteur dans la phase cristalline est donné dans la …g.(6:2).

Le champ de spin de la …g.6:2 (a)est, comparé à la …g.(6:1), très semblable à un skyrmion de spin. C’est pour cela que nous pensons que le cristal est peut-être stable topologique-ment. Le but est donc de retrouver le modèle SN L donné par l’éq.(6:8), où hSi est maintenant un vecteur à huit composantes données par les huit champs (Ta), dans l’ha-miltonien Hartree-Fock. Pour ce faire, nous suivons la démarche empruntée par Gosh et Rajaraman [28] en développant l’énergie Hartree-Fock pour des interactions aux grandes longueurs d’onde. L’énergie moyenne Hartree-Fock est donnée par :

x/a0

Figure 6.2 – Les champs de vecteurs sont sans les facteurs de forme (a) Champ de vecteur ⁰¹_x ; ⁰¹_y et le fond, est la variation de ⁰¹_z . (b) Champ de vecteur ¹²_x ; ¹²_y et le fond est la densité d’électrons. (c) Les champ de vecteur ⁰²_x ; ⁰²_y et le fond est T~₈

Chapitre 6 : Modèle de pseudospin et stabilité topologique 123

L’approximation proposée est que l’interaction en champ magnétique ne fait que coupler les centres d’orbite qui ne sont pas trop éloignés, donc ceux séparés environ par `. Ceci se traduit par :

n;t(r⁰) ' n;t(r) +X de manipulations algébriques, il est possible de montrer que l’énergie s’écrit comme :

hHCi

Le troisième terme commence à ressembler à celui de l’éq.(6:8). Il faut combiner les 81 possibilités pour voir s’il est possible de retrouver l’éq.(6:8). Il reste toutefois les deux premiers termes qui ne peuvent pas être dans le modèle SN L. Il ne semble pas possible d’obtenir le modèle voulu. Il est peut-être possible d’avoir un modèle modi…é qui admet quand même un soliton. Le travail de combiner les _n1;n2(r) pour obtenir les champs P

a(@_ihT_a(r)i)^y(@_ihT_a(r)i)est encore à faire. Il est donc encore à déterminer si le cristal est stable topologiquent.

Conclusion

Sachant que la phase du liquide incohérent dans l’orbitaln= 0 est l’état fondamental dans la bicouche de graphène quand LL >0et que le remplissage est entier K+; = 1, il était surprenant de trouver une instabilité dans les modes collectifs de ce même liquide dans la tricouche de graphène. Le projet commence donc par l’étude de la tricouche de graphène. Nous identi…ons la zone de brillouin dans le réseau réciproque d’une couche de graphène. Cette zone possède deux vallées identi…ées par K₊ et K . Le modèle liaison forte est utilisé pour déterminer l’hamiltonien du système. Nous trouvons six bandes d’énergies et le système n’a pas de gap d’énergie. L’introduction d’une di¤érence de potentiel entre les couches aux extrémités ouvre un gap dans la structure de bande.

Nous dérivons ensuite un modèle de faible énergie à deux bandes autour des vallées.

L’énergie a une dispersion cubique à l’ordre zéro et l’hamiltonien est quali…é de chiral puisque la direction du pseudospin des atomes est liée à la quantité de mouvement de l’électron. Nous introduisons ensuite un champ magnétique et obtenons aussi un modèle à faible énergie à deux bandes. Encore à l’ordre zéro, ce modèle e¤ectif possède trois orbitales dégénérées dans le niveau de LandauN = 0. Chaque niveau de Landau possède la dégénérescence de spin de vallée et celle des centres d’orbiteX, rendant chaque niveau dégénéré 4N fois, exactement comme la bicouche et la simple couche de graphène. Le niveau N = 0 possède donc une dégénéresence supérieure de12N . Cette dernière a été observée dans le saut entre les plateaux de la conductivité de Hall. Si nous introduisons une di¤érence de potentiel entre les première et troisième couches et le paramètre ₄, alors la dégénérescence orbitale est levée.

Nous introduisons ensuite l’interaction de Coulomb au modèle e¤ectif en champ ma-gnétique. L’interaction de Coulomb est traitée dans l’approximation Hartree-Fock. À cause de cette interaction, nous montrons que les remplissages étudiés, = 5; 4;4et 5 reviennent à étudier un système à trois niveaux et non douze parce que le spin et la

125

vallée sont polarisés. Ainsi, nous résolvons le système d’équations des fonctions de Green en posant une phase caractérisée par une onde de densité de charge bidimensionnelle.

Nous nommons cette modulation cristal. Le résultat est que la tricouche de graphène possède un cristal triangulaire (quand LL <0;1^e2_` et K+; = 1), alors que la bicouche présente un liquide incohérent pour des conditions identiques. Le diagramme de phase de la tricouche n’est pas aussi diversi…é que celui de la bicouche. Il est essentiellement composé de trois phases. Pour K ; = 1, avec la croissance de LL et en débutant avec

LL < 0;38^e2_`, le système est dans l’état du liquide incohérent dans l’orbitale n = 2, pour ensuite devenir le cristal triangulaire pour …nalement redevenir un liquide incohérent mais polarisé dans l’orbitalen= 0. Le liquide cohérent et une modulation spatiale en une dimension (onde de charge) sont des solutions possibles, mais totalement éclipsées par le cristal. Ce cristal est très robuste. Nous avons aussi montré que cette onde de charge 2D ne fait pas que s’écraser avec l’augmentation du biais électrique. La transition entre le liquide et le cristal est brusque, il y a discontinuité dans la pente des paramètres d’ordre.

Dans le cas K ; = 2, nous obtenons encore trois phases seulement. Deux liquides in-cohérents, les orbitales n = 2, n = 1 pleines pour les LL <0, alors que pour LL >0, ce sont les orbitales n = 0, n = 1 qui sont pleines. Il y a un état cristallin de trous pris en sandwich entre ces deux dernières phases. Le cristal est possible dans la tricouche parce qu’il existe une énergie de cohésion pour des modulations non-nulles. Puisqu’il y a trois orbitales, il y a moins de contraintes et cette énergie de cohésion est permise. Il reste toutefois nécessaire de déterminer la validité de l’approximation Hartree-Fock et si l’existence du cristal subsiste avec un autre modèle.

Nous avons ensuite étudié les propriétés électroniques des di¤érentes phases. La mo-dulation électronique des cristaux est accompagnée d’un champ de dipôles orientés de façon radiale autour de chacun des sites électroniques, que ce soit pour K ; = 1 ou

K ; = 2. Les liquides incohérents ne possèdent pas de dipôles contrairement au liquide cohérent, même si la densité électronique est uniforme dans tous les liquides. L’orien-tation des dipôles dans le liquide cohérent n’in‡uence pas l’énergie du système de cette phase. Une autre propriété étudié est la densité d’états. Celle des liquides présente trois pics. Dans le cas de K ; = 1, le pic le plus bas en énergie est plein d’électrons alors que les autres sont vides (pour K ; = 2, ce sont les deux premiers qui sont pleins).

L’espacement d’énergie entre la …n du pic plein et le début du prochain pic vide permet de calculer un gap en conduction. Dans le cristal, les trois pics mentionnés sont consi-dérablement élargis. Les niveaux dégénérés dans le liquide se séparent dans le cristal. Il

Conclusion 127 reste tout de même possible d’observer un gap en conduction. La densité d’état local du cristal correspond au patron de densité et est observable par STM. Nous avons aussi isolé trois contributions à la densité de courant dans la tricouche. La première vient des dipôles, une deuxième d’une aimantation qui donne des courants liés et une troisième inconnue. Cette troisième est peut-être due à l’approximation de projection orbitale et donc pas vraiment présente. Il reste donc à calculer la forme de l’opérateur courant avec moins d’approximations.

Les excitations collectives des phases liquides incohérents, cohérents et des cristaux sont ensuite étudiées. Il est possible de calculer analytiquement les modes collectifs des liquides incohérents et d’en tirer les plages de LL de stabilité. Nous observons de plus l’instabilité à q6=0 dans le liquide h 00(0)i = 1 qui indique l’apparition de l’onde de densité de charge. Nous enchaînons avec le liquide cohérent qui présente un mode de Goldstone dû à la brisure de symétrie de l’invariance d’énergie avec la phase des di-pôles électriques. Ce liquide présente aussi des instabilités à vecteurs d’onde …nis, ces instabilités sont toujours dans la direction perpendiculaire aux dipôles. Nous …nissons le chapitre avec les modes des cristaux. Le mode de Goldstone dû à la brisure de symétrie de translation est présent, c’est le mode de plus basse énergie. Ce dernier donne une idée de la stabilité du cristal par sa largeur de bande que nous étudions en fonction de LL. Nous pensons qu’il y aurait l’introduction d’un gap dans ce mode avec le désorde et que la phase cristalline risque alors d’abaisser la conductivité de Hall au plateau inférieur.

De plus toutes les phases possèdent des modes collectifs gappés. Nous calculons donc l’absorption optique pour savoir quels modes sont observables. Une fois la représentation pseudospin introduite, il est intéressant de savoir quels pseudospins sont actifs dans les modes collectifs. Une étude de l’activité des pseudospins à été fait durant la maîtrise, mais les résultats ne sont pas présentés dans ce mémoire et de plus il reste beaucoup à faire dans cette étude.

Pour terminer nous introduisons la notion de pseudospin. À l’aide du pseudospineur, nous sommes capable de démontrer l’existence du mode de Golstone dans le liquide cohé-rent. Ensuite, il est question de stabilité topologique, le modèle SN L a comme solution des solitons nommés skyrmions. Puisqu’il existe des excitations sous forme de cristal de skymions dans la bicouche de graphène, nous essayons de savoir si le cristal dans la tricouche est aussi un composé de skyrmions. Pour ce faire, nous introduisons l’énergie moyenne développée aux grandes longueurs d’onde. Le but est de retrouver le modèle

SN L dans cet hamiltonien. Pour conclure, il reste à déterminer si le cristal est stable topologiquement en manipulant l’éq.(6:34) dans le chapitre 6. Si oui, il faut déterminer la forme du pseudospineur à trois composantes du modèle SN L-CP². Avec ce pseudos-pineur, le calcul la charge topologique et de l’énergie totale du système est possible. La présence du cristal serait alors expliquée d’une autre manière.

Annexe A

Opérateurs d’échelle, hamiltonien et modèle e¤ectif

A.1 Application des opérateurs d’échelle

a^yh_n(r) = ` La dérivée en x permet de trouver l’augmentation du niveau de Landau de un.

@

connaissant la relation de récurssion suivante . 2xH_n(x) @

@xH_n(x) =H_n+1(x): (A.3) 129

En utilisant cette relation on trouve.

En insérant la dérivée dans l’expression de l’opérateur on obtient.

a^yh_n(r) = i

Nous trouvons que la dé…nition de la fonction d’onde donne un i contrairement à la convention habituelle qui donneraita^yhn(r) =p

n+ 1hn+1(r).