Calcul des paramètres d’ordre à l’aide de la fonction de Green

Dans la section suivante, nous décrivons en quelques lignes, sans entrer dans les dé-tails, la procédure pour trouver l’état fondamental de notre système. Nous utilisons la fonction de Green à un corps pour trouver les valeurs moyennes. Ces valeurs décrivent entièrement le gaz d’électrons dans une phase. Ce sont nos paramètres d’ordre. Les opé-rateurs _{;n1; a; ;n2; b}(q) sont dé…nis par la valeur moyenne de l’éq.(3:15). Le point de départ du calcul est la dé…nition de la fonction de Green [19] :

G _{; a; ; b}(x; ;x⁰; ⁰) Trn

où la deuxième ligne est obtenue en insérant les opérateurs approximés (donnés par les éq.(3:3) et(3:4)) dans la moyenne. Une nouvelle dé…nition de la fonction de Green, mise dans les coordonnées des centres d’orbite, apparaît. Puisque l’hamiltonien ne dépend pas du paramètre (ce paramètre doit devenir un temps imaginaire compris entre 0<

Chapitre 3 : Interaction de Coulomb et diagramme de phase du GE2DC 45

< _T~ pour avoir une anti-périodicité de la fonction de Green et donc la possibilité d’une décomposition de Fourier temporelle), la fonction de Green dépend seulement de la di¤érence ⁰, il est donc possible d’écrire :

G _{;m; a; ;n; b}(X; ;X⁰;0) D est l’opérateur du nombre de particule total et est le potentiel chimique. L’opérateur N peut s’écrire dans la base des centres d’orbite et des orbitales :

N =X

L’opérateur K^ est utilisé pour généraliser la représentation d’Heisenberg à température

…nie dans l’ensemble grand canonique. Les opérateurs répondent à l’équation d’Heisen-berg qui utilise cet opérateur [19] :

~ d

La fonction de Green est trouvée en utilisant l’équation du mouvement. Il faut d’abord dériver la fonction de Green par rapport au temps imaginaire . L’équation du mouvement dans la représentation d’Heisenberg (éq.(3:29)) remplace la dérivée de c _{;m;X; a}( ) par rapport à par le commutateur avecK^. Il faut aussi dériver la fonction d’Heaviside due à l’ordre temporel de la fonction de Green, par rapport à ; cela donne un delta de Dirac :

d

Le commutateur fait intervenir l’hamiltonienH_HF et l’opérateur N^. Il su¢ t maintenant de calculer chacun des termes du commutateur. Le calcul complet n’est pas fait ici. Notons

d’abord que :

;n3; b; ;n4; b(q);c _{;m;X; a} = 1

N e ^2iqx(

2Xj

`2 qy)

; n3;m b; ac _{;n4;(Xj qy`}²_{); b}: (3.31) RemplaçantK^ par sa dé…nition (les éq.(3:24)et(3:27)) dans le commutateurh

K; c^ _{;m;X; a}i et un utilisant l’éq.(3:31) pour évaluer ce dernier, le résultat est une somme d’opérateurs fermioniques c. En insérant dans l’équation du mouvement ce dernier résultat c( ), la deuxième ligne de l’éq.(3:30)couple les fonctions de Green (éq.(C:3)). La série de Fourier de la fonction de Green remplace par des fréquences discrètes!_n :

G _{;m; a; ;n; b}(X; ;X⁰;0) = 1

T~ X

!n

e ^i!n G _{;m; a; ;n; b}(X; X⁰; !_n); (3.32)

avec _T = _k¹

BT.

À ce point nous dé…nissons la série de Fourier sur l’espace comme : G _{;m; a; ;n; b}(q⁰; !_n) = 1

N X

X;X⁰

e ^i2q0x(X+X0) _X;X0 q_y⁰`²G _{;m; a; ;n; b}(X; X⁰; !_n): (3.33)

Avec cette dé…nition nous obtenons une série d’équations couplées pour les fonctions de Green dans l’espace de Fourier :

i}!_n E^C_;n+ G _{;m; a; ;n; b}(q⁰; !_n) = } ^0;qy ; m;n a; b (3.34) +

X2 n4=0

X

q6=0

XU^H(m; n₄;q q⁰)G _{;n4; a; ;n; b}(q⁰; !_n)

X2 n4=0

X

q

XU^{F Intra}(m; n₄;q q⁰)G _{;n4; ; ;n; b}(q⁰; !_n)

X2 n4=0

X

q

XU^{F Inter}(m; n₄;q q⁰)G _{;n4; ; ;n; b}(q⁰; !_n);

avec les dé…nitions suivantes pour les potentiels d’interaction de la fonction de Green (en unité de ^e2_` ) :

Chapitre 3 : Interaction de Coulomb et diagramme de phase du GE2DC 47

U^HIntra(m; n₄;q) e ^{2i`2(q0 q)} X2 n1;n2=0

H_n1^;_;n2;m;n4(q) _{;n1; ; ;n2;} ( q) ; (3.35)

U^HInter(m; n₄;q) e ^{2i`2(q0 q)} X2 n1;n2=0

H_n1;n^;_2;m;n4(q) _{;n1; ; ;n2;} ( q) ;(3.36)

U^{F Intra}(m; n₄;q) e ^{2i`2(q0 q)} X2 n1;n2=0

X_n^;

1;n4;m;n2(q) _{;n1; ; ;n2; a}( q) ; (3.37) U^{F Inter}(m; n₄;q) e ^{2i`2(q0 q)}

X2 n1;n2=0

X_n1;n^;_4;m;n2(q) _{;n1; ; ;n2; a}( q) :(3.38)

L’éq.(3:34) peut se mettre sous une forme matricielle écrite de la façon suivante (I la matrice identité, G la matrice des fonctions de Green, U^H;F les matrices d’interaction des éqs.(3:35) et , E des matrices diagonales du potentiel chimique et des énergies de l’éq.(3:23)) :

[i}!_nI+ E] G = }I+ U^H U^F G; (3.39)

[i}!_nI+ E] G=B+U G; (3.40)

[i}!_nI+ F] G=B: (3.41)

Il faut diagonaliser la matrice F E+ U^H U^F sachant qu’elle est hermitique :

F=u D u^y; (3.42)

G=u [i}!_nI+ D] ¹ u^y B: (3.43)

La matrice u, dont les colonnes sont les vecteurs propres deF, est unitaire alors que D est la matrice diagonale des valeurs propres. Les valeurs propres sont en quelque sorte les énergies des états à une particule que crée l’interaction de Coulomb dans l’approxi-mation Hartree-Fock. Ces états peuvent être une superposition des trois orbitales et des centres d’orbite X, dans le cas où l’état est non-homogène. L’expression des fonctions de Green pour des nombres quantiques spéci…ques peut s’écrire comme une somme de résonnances aux fréquences qui sont données par les valeurs propres de la matrice F.

Chaque résonnance est pondérée par un poids : voir qu’elles sont reliées de la façon suivante :

;m; a; ;n; b(q_n) =G _{;n; b; ;m; a}(q_n; = 0 ): (3.45) Pour évaluer la fonction de Green à = 0 , il faut sommer la série de Fourier sur les fréquences de Matsubara. La somme suivante se fait en utilisant la méthode des résidus.

Les fréquences sont données par !_n = ⁽²ⁿ⁺¹⁾

T~ [19] : toujours à température nulle, cette distribution est alors remplacée par une fonction marche de Heaviside. Les D ;n1; ; ;n1; (qs;s) sont les énergies d’états à une particule.

L’approximation Hartree-Fock permet d’écrire l’hamiltonien d’interaction comme un ha-miltonien à un corps. Il existe alors des états qu’une seule particule peut occuper. Il faut faire un produit tensoriel de ces états occupés pour avoir l’état N-corps. Il est mainte-nant possible de calculer les paramètres d’ordre à l’aide de la matrice F (ses vecteurs et

Chapitre 3 : Interaction de Coulomb et diagramme de phase du GE2DC 49 valeurs propres). Cependant il faut remarquer que nous avons besoin préalablement des paramètres d’ordre pour calculer les potentiels d’interaction de l’éq.(3:35) qui sont pré-sents dans la matriceF. Nous nommons germe (seed) les valeurs initiales des paramètres d’ordre utilisés pour calculerFet obtenir de nouveaux _{;n; b; ;m; a}(q_n) . Avec ces nou-veaux paramètres il faut recalculerFpour obtenir de nouveaux _{;n; b; ;m; a}(q_n) . Il faut suivre cette démarche jusqu’à ce que la di¤érence entre de deux itérations consécutives, tende vers la précision désirée.

À partir de l’éq.(3:49) il est possible de déduire des règles de somme :

Nq

X

s=1

X

;m; a

;n; b; ;m; a(q_s) ² = _{;n; b; ;n; b}(0) ; (3.50) ces règles sont toujours respectées par le système, elles sont des contraintes pour les paramètres d’ordre.