Trois vues align´ees. Pour des vues align´ees (centres de projections align´es), les plans ´epipolaires des paires de vues co¨ıncident. Ceci rend possible d’exprimer le probl`eme par un seul param`etre, comme dans le cas de deux vues. On peut appliquer le mˆeme sch´ema que dans le paragraphe 4.5.2.1. Par rapport `a la fonction de coˆut (4.5), un troisi`eme terme s’ajoute, pour la distance du point image `a la droite ´epipolaire dans la troisi`eme image. On obtient finalement un polynˆome de degr´e 10, dont il faut d´eterminer les racines.
Il serait facile d’obtenir des r´esultats pour des mouvements particuliers entre les vues, comme nous le faisons pour le cas de deux vues dans le paragraphe suivant, mais nous nous arrˆetons ici. Cam´era lin´eaire. Nous avons ´egalement ´etudi´e le probl`eme de triangulation pour trois vues de cam´eras lin´eaires, qui se pr´esente mieux, voir l’annexe A.2.
4.6 Triangulation pour des mouvements particuliers
R´ecemment, l’´etude de mouvements particuliers a suscit´e quelque int´erˆet dans le domaine de la vision non calibr´ee. Pour citer quelques exemples, des m´ethodes de calibrage pour des rotations pures [82] et des mouvements planaires [6, 226] ou de reconstruction affine `a partir de translations pures [131] ont ´et´e propos´ees (voir 6.2.3 pour une discussion approfondie). Dans le contexte de la trian-gulation, nous nous int´eressons `a des mouvements particuliers entre deux vues d’une mˆeme cam´era. Torr et al. [204] et Vi´eville & Lingrand [215] ont ´etudi´e des formes particuli`eres que prend la matrice fondamentale lors de mouvements particuliers (voir la section 2.3.4).
Nous consid´erons ces formes particuli`eres deF en vue de nos m´ethodes de triangulation POLY
et POLY-ABS. Pour quelques mouvements particuliers, nous montrons comment la recherche du mi-nimum global de la fonction de coˆut (4.2) (respectivement (4.8)) se simplifie, par une r´eduction du degr´e du polynˆomer
1
(t)(respectivementr 2
(t)) `a r´esoudre (cf. les ´equations (4.7) et (4.9)).
Dans les deux paragraphes suivants, nous d´eveloppons le cas des cam´eras affines et celui d’une cam´era (perspective) effectuant une rotation autour d’un axe fixe. Deux autres cas, translation pure et changement de focale ou de mise au point, sont trait´es dans l’annexe A. Dans cette annexe, nous consid´erons ´egalement la triangulation `a partir de trois vues d’une cam´era lin´eaire. Si `a la place de la matrice fondamentale nous consid´erons une homographie associ´ee aux projections d’un plan dans les deux vues, nous obtenons un probl`eme similaire `a la triangulation. Dans l’annexe B, nous proposons un sch´ema de correction de points image de mani`ere `a ce qu’ils se correspondent exactement par l’homographie donn´ee.
Le tableau 4.1 r´esume tous ces cas. 4.6.1 Cam´eras affines
Apr`es l’application des mˆemes transformations rigides que dans la section 4.5.2, les ´epipˆoles sont les points `a l’infini des axes desuet la matrice fondamentale se simplifie encore davantage :
F= 0 @ 0 0 0 0 0 b 0 0 d 0 e 0 1 A :
Poly. La fonction de coˆut est :
s 1 (t)=t 2 + (d 0 t+e 0 ) 2 0 2 =(1+ d 0 2 0 2 )t 2 +2 d 0 e 0 0 2 t+ e 0 2 0 2 ;
Type de mouvement/cam´era Poly Poly-Abs G´en´eral 6 8 Translation pure – ´epipˆoles finis 2 2 – ´epipˆoles infinis 1 1 Cam´eras affines 1 1
Zoom + mise au point
– forme g´en´erale 6 8
– pixels rectangulaires 2 2
– translation dans plan focal et pixels rectangulaires 1 1
Rotation autour d’un axe fixe
– forme g´en´erale 6 8
– tˆete st´er´eo 6 8
– tˆete st´er´eo sym´etrique 2 2
3 vues de cam´eras lin´eaires (voir section A.2) 15 6
3 vues de cam´eras habituelles
– forme g´en´erale grand grand
– vues align´ees 10 grand
Homographie d’un plan (voir annexe B) 8 grand
Homographie affine d’un plan 1 2
TAB. 4.1: La complexit´e des m´ethodes POLY et POLY-ABS pour diff´erents sc´enarios. Les chiffres correspondent aux degr´es maximaux des polynˆomes `a r´esoudre.
et pourr 1 (t)nous obtenons : r 1 (t)=(b 0 2 +d 0 2 )t+d 0 e 0 : Le minimum global des 1
(t)peut donc ˆetre calcul´e directement. Il est atteint en :
t=, d 0 e 0 b 0 2 +d 0 2 :
La d´eriv´ee seconde est positive, donc il s’agit vraiment d’un minimum. Poly-Abs. La fonction de coˆut est :
s 2 (t)=jtj+ jd 0 t+e 0 j jb 0 j :
Il s’agit de la somme des valeurs absolues de deux fonctions lin´eaires. Le minimum global se trouve alors `a une des deux racines,0ou,
e 0 d
0, ou il occupe tout l’intervalle entre ces deux racines.
Solution directe. Au lieu d’appliquer des transformations rigides pr´ealablement `a la formulation de la fonction de coˆut, nous pouvons omettre cette ´etape ici et r´esoudre le probl`eme pour la matrice fondamentale originale, donn´ee par :
F= 0 @ 0 0 a 0 0 b 1 A :
4.6. TRIANGULATION POUR DES MOUVEMENTS PARTICULIERS 59
Les ´epipˆoles sont les points `a l’infinie 1 = (d;,c;0) T ete 2 = (b;,a;0) T
. Les droites ´epipolaires dans chaque image sont parall`eles, avec les directions normalesn
1 = (c;d;0) T etn 2 = (a;b;0) T . Les points corrig´es bq
0 1
et bq 0 2
´etant les projections orthogonales des points image mesur´es sur des droites ´epipolaires correspondantes, nous pouvons formuler le probl`eme en utilisant un param`etret:
q 0 1 =q 1 +tn 1 =q 1 +t 0 @ c d 0 1 A :
Le point corrig´e dans la deuxi`eme image est la projection orthogonale deq
2 sur la droite ´epipolaire deq 0 1 : q 0 2 =(Fq 0 1 )^(q 2 ^n 2 ) :
Nous omettons les d´etails et donnons directement la solution unique detqui minimise la somme des carr´es des distances entre points corrig´es et points mesur´es :
t=, aq 21 +bq 22 +cq 11 +dq 12 +e a 2 +b 2 +c 2 +d 2 :
Le minimum global de la somme des carr´es des distances s’´evalue d’apr`es :
b s 1 = (aq 2 1 +bq 2 2 +cq 1 1 +dq 1 2 +e) 2 a 2 +b 2 +c 2 +d 2 :
Les points corrig´es optimaux sont :
b q 0 1 0 @ q 1 1 (a 2 +b 2 +d 2 ),c(q 1 2 d+q 2 1 a+q 2 2 b+e) q 1 2 (a 2 +b 2 +c 2 ),d(q 1 1 c+q 2 1 a+q 2 2 b+e) a 2 +b 2 +c 2 +d 2 1 A ; b q 0 2 0 @ q 2 1 (b 2 +c 2 +d 2 ),a(q 1 1 c+q 1 2 d+q 2 2 b+e) q 2 2 (a 2 +c 2 +d 2 ),b(q 1 1 c+q 1 2 d+q 2 1 a+e) a 2 +b 2 +c 2 +d 2 1 A :
On constate que les points corrig´es sont directement donn´es en fonction des coefficients de la matrice fondamentale et des points image mesur´es. Nous pouvons en tirer profit pour l’estimation optimale de la matrice fondamentale d’apr`es le crit`ere (2.3) : la minimisation ne n´ecessite pas des inconnues suppl´ementaires pour les points image corrig´es, mais peut se faire directement en fonction des coef-ficients deF. Le crit`ere de minimisation devient donc :
b F(a;b;c;d;e)=argmin 1 a 2 +b 2 +c 2 +d 2 n X p=1 (aq 2 1 +bq 2 2 +cq 1 1 +dq 1 2 +e) 2 : (4.10)
L’optimalit´e de ce crit`ere a d´ej`a ´et´e d´emontr´e par Shapiro et al. [172], mais par d’autres moyens. Il existe un lien int´eressant entre l’estimation optimale de la matrice fondamentale affine et la m´ethode de reconstruction affine par factorisation de Tomasi et Kanade [202]. Les deux m´ethodes fournissent la reconstruction affine optimale, c’est-`a-dire qui minimise l’erreur de reprojection (voir 3.7), mais par des moyens tr`es diff´erents : la premi`ere effectue une reconstruction optimale implicite via l’esti-mation it´erative de la matrice fondamentale affine, tandis que la deuxi`eme m´ethode est bas´ee sur une d´ecomposition en valeurs singuli`eres d’une grande matrice contenant toutes les coordonn´ees image. La factorisation offre tout de mˆeme l’avantage d’ˆetre applicable pour plusieurs vues simultan´ement.
4.6.2 Rotation autour d’un axe fixe
Le seul cas parmi ceux d´ecrits au 2.3.4.4 pour lequel nous avons r´eussi `a baisser le degr´e des polynˆomes `a r´esoudre, est celui de la((tˆete st´er´eo sym´etrique)). La matrice fondamentale a la forme :
F= 0 @ 0 a ,ab a 0 c,d ,ab ,c,d 2bd 1 A :
Les ´epipˆoles sont e 1 = ( d,c a ;b;1) T et e 2 = ( d+c a ;b;1) T
et leur point milieu est q = ( d a
;b;1) T
. Appliquer la mˆeme translation dans les deux images, qui ram`eneq`a l’origine, d´eplace les ´epipˆoles sur les axes desurespectifs, sur des points oppos´es par rapport `a l’origine. La matrice fondamentale transform´ee est de la forme :
F 0 @ 0 a 0 a 0 c 0 ,c 0 1 A ;
et les ´epipˆoles sont les points(, c a ;0;1) T et( c a ;0;1) T
. Contrairement `a la m´ethode g´en´erale, nous ne pla¸cons pas les points image `a l’origine, ce qui doit ˆetre pris en compte lors de la construction de la fonction de coˆut. Soientq
0 1
etq 0 2
les points image transform´es par les translations d´ecrites. Poly. La fonction de coˆut est :
s 1 (t)= (cq 0 12 ,aq 0 11 t,ct) 2 +(cq 0 22 +aq 0 21 t,ct) 2 a 2 t 2 +c 2 et le polynˆomer 1
(t)est une fonction quadratique ent:
r 1 (t) = t 2 a 2 c(a(q 0 11 q 0 12 ,q 0 21 q 0 22 )+c(q 0 12 +q 0 22 ))+ tc 2 (2c 2 +a 2 (q 0 11 2 +q 0 21 2 ,q 0 12 2 ,q 0 22 2 )+2ac(q 0 11 ,q 0 21 )), c 3 (a(q 0 11 q 0 12 ,q 0 21 q 0 22 )+c(q 0 12 +q 0 22 )) :
Nous obtenons donc directement les deux solutions candidates possibles. Il est tout de mˆeme n´eces-saire d’´evaluer la fonction de coˆut pour t = 1, pour traiter la situation o`u b
q 0
1 se trouverait sur la mˆeme droite verticale quee
1. Nous obtenons la valeurs 1 (1)= 2c 2 +a 2 (q 0 11 2 +q 0 21 2 )+2ac(q 0 11 ,q 0 21 ) a 2 .
Poly-Abs. La fonction de coˆut est :
s 2 (t)= jcq 0 12 ,aq 0 11 t,ctj+jcq 0 22 +aq 0 21 t,ctj p a 2 t 2 +c 2 : Le polynˆomer
2est quadratique, tout commer 1: r 2 (t)=ac 2 (c(q 0 11 +q 0 21 )+a(q 0 12 ,q 0 22 )t)(2c 2 +a 2 (q 0 12 +q 0 22 )t+ac(q 0 11 ,q 0 21 )) ;
et nous pouvons tirer les mˆemes conclusions pour ce cas.