= ( H je 2 ) et les matricesP 1 T;P 2
T, pour toute transformation T
44 non singuli`ere.H
est une homographie d’un plan quelconque.
2.7 Coniques, quadriques, cˆones, ...
2.7.1 Coniques et quadriques Une quadrique dansP
n
est un ensemble de points satisfaisant une ´equation quadratique en leurs coordonn´ees homog`enes. Dans cette th`ese, nous ne consid´erons que des quadriques avec des coeffi-cients r´eels. Toute quadrique peut ˆetre repr´esent´ee par une matrice(n+1)(n+1)sym´etrique.
Une quadrique imaginaire est une quadrique qui ne contient aucun point r´eel et une quadrique propre est une quadrique dont la matrice est non singuli`ere. Les coniques sont les quadriques du plan projectifP
2
; dans la suite nous n’allons pas distinguer la conique de sa matrice. Une conique dans l’espace 3D – une conique 3D – est d´efinie par son plan support et l’´equation de la conique dans ce plan.
Toutes les coniques propres et imaginaires sont des coniques `a centre [20] (le centre d’une conique est le pˆole de la droite `a l’infini). Les caract´eristiques suivantes se r´ef`erent aux coniques imaginaires et propres. Leur forme normale euclidienne est la matrice diagonale des valeurs propres, d´efinie `a une permutation des valeurs propres pr`es. Si les trois valeurs propres sont distinctes, la conique est une ellipse imaginaire et poss`ede deux axes de sym´etrie. Les axes sont orthogonaux et passent par le centre de la conique. Si les valeurs propres ne sont pas distinctes, la conique est un cercle imaginaire et toutes les droites passant par le centre sont des axes de sym´etrie.
2.7.2 Cˆones
Un cˆone (propre) est une quadrique deP n
de rangn. Nous nous restreignons, dans la suite, au cas deP
3
. Sauf mention contraire, nous comprenons par cˆone une quadrique de rang 3 dansP 3
, dont le vertex (le point singulier) ne se trouve pas sur le plan `a l’infini. Un cˆone est d´efini de mani`ere unique par son vertex et une section plane quelconque ne contenant pas le vertex, les sections planes d’un cˆone ´etant des coniques. Dans le chapitre 7, nous utilisons les cˆones via la notion de cˆone de projection d’une conique 3D, c’est-`a-dire le cˆone trac´e par les rayons de projection des points sur la conique (voir la figure 2.10).
La forme normale euclidienne d’un cˆone est une matrice diagonale de ses valeurs propres, diag( 1 ; 2 ; 3 ;0), avec des
i non nuls. Si tous les
i sont distincts, le cˆone est elliptique et pos-s`ede trois axes mutuellement orthogonaux. Des rotations de 180
autour des axes laissent le cˆone globalement invariant. Si exactement deux des
i sont ´egaux, le cˆone est circulaire et invariant `a des rotations de degr´e arbitraire autour de son axe principal. Un cˆone avec des valeurs propres non nulles identiques est un cˆone isotropique. Des rotations arbitraires autour du vertex laissent un cˆone isotropique globalement invariant. L’intersection d’un cˆone isotropique avec le plan `a l’infini est la conique absolue (voir plus bas).
FIG. 2.10: Cˆone de projection d’une conique 3D.
2.7.3 Quadrique et conique absolues La quadrique absolue deP
n
est d´efinie par les ´equations :
n X i=1 X 2 i =X n+1 =0 : La conique absolue
1est la quadrique absolue deP 3
et celle du plan projectifP 2
consiste en deux points imaginaires conjugu´es, connus sous le nom de points cycliques.
La quadrique absolue deP n
est une quadrique imaginaire sur l’hyperplan `a l’infini et sa position d´efinit la structure euclidienne de l’espace consid´er´e ; par exemple, connaˆıtre la conique absolue nous donne la structure euclidienne de l’espace tridimensionnel.
Le calibrage intrins`eque d’une cam´era est ´equivalent `a la d´etermination de l’image! 1de 1(ou de son dual! 1) [59, 123]. La relation! 1 KK T
permet de d´eterminer la matrice des param`etres intrins`equesKde mani`ere unique par une d´ecomposition de Cholesky.
2.7.4 La conique de Steiner
La notion de conique de Steiner se r´ef`ere `a un principe de construction d’une conique : consid´e-rons deux faisceaux de droites, chacun param´etr´e projectivement. Les intersections des droites avec les mˆemes coordonn´ees projectives dans leur faisceau forment une conique (voir la figure 2.11). Cette conique contient les points de base des deux faisceaux.
(a) Deux faisceaux de droites. (b) Les points d’intersection des droites correspon-dantes forment une conique.
3.
Stratification du calibrage et de la
reconstruction
Stratification du calibrage et de la
reconstruction
Dans ce chapitre, nous esquissons un sc ´e-nario g ´en ´eral de calibrage et de reconstruction, celui de l’ajustement de faisceaux. Le but est d’orienter les cam ´eras (de les calibrer) et de d ´eterminer des points 3D tels que les rayons de projection des points image correspondants se coupent simultan ´ement aux points 3D. Si les seules donn ´ees sont des points image, les r ´e-sultats de l’ajustement de faisceaux sont un ca-librage et une reconstruction projectifs. Afin d’obtenir des r ´esultats plus riches en informa-tion, il faut introduire des connaissances sur la sc `ene `a reconstruire ou sur le calibrage des
ca-m ´eras. Nous d ´ecrivons plusieurs sc ´enarios, se-lon le type des connaissances disponibles. En particulier, nous d ´ecrivons les cas de recons-truction et de calibrage projectifs, affines et eu-clidiens.
Le but de ce chapitre est de placer les cha-pitres suivants, qui traitent des probl `emes de reconstruction projective et d’auto-calibrage, dans un cadre plus g ´en ´eral. La distinction des niveaux projectif, affine et euclidien pour la re-construction et le calibrage suit les id ´ees de stratification pr ´esent ´ees par Faugeras [59], Luong et Vi ´eville [120] et Koenderink et Van Doorn [105].
3.1 Introduction
Consid´erons les cam´eras comme des instruments de mesure. Notre but est de les utiliser pour la perception tridimensionnelle et en particulier pour la d´etermination de la structure tridimensionnelle d’un objet ou d’une sc`ene, ce que nous appelons aussi reconstruction (tridimensionnelle) de cet objet ou de cette sc`ene. Les applications en sont nombreuses ; nous renvoyons au chapitre d’introduction pour des exemples. Outre la structure d’un objet on peut aussi s’int´eresser au mouvement de celui-ci ou d’une cam´era. Cette tˆache est en effet compl´ementaire `a la d´etermination de la structure de l’objet et quand nous parlons de reconstruction, nous sous-entendons g´en´eralement qu’elle consiste en la d´etermination de la structure et du mouvement.
Le sc´enario pour la reconstruction est le suivant : une ou plusieurs images d’une sc`ene sont prises par autant de cam´eras. L’ensemble des cam´eras est appel´e syst`eme de cam´eras. Les cam´eras ne sont pas n´ecessairement toutes diff´erentes, i.e. une cam´era peut prendre plusieurs images, tout en se d´epla¸cant entre les prises d’image, mais cela ne fait pas de diff´erence pour la suite.
Comme tout instrument de mesure, les cam´eras peuvent ˆetre calibr´ees. La notion classique de cali-brage se r´ef`ere `a la d´etermination des propri´et´es physiques qui sont intrins`eques aux cam´eras. Au sens de notre sc´enario de reconstruction, nous parlons de calibrage avec l’id´ee de calibrer le syst`eme
com-plet de cam´eras, que nous consid´erons comme un seul instrument de mesure. Le calibrage du syst`eme
de cam´eras consiste `a ´etablir `a la fois les propri´et´es intrins`eques des cam´eras ainsi que les relations g´eom´etriques qui d´ecrivent les positions de prise de vue. Nous allons voir que plusieurs niveaux de calibrage existent, qui donnent lieu `a des reconstructions de diff´erents niveaux d’information. Il est souhaitable d’obtenir une reconstruction euclidienne, c’est-`a-dire qui contient des informations m´e-triques sur la sc`ene : des distances entre des points, des angles entre des segments de droite ou entre des plans... Nous appelons alors le niveau de calibrage n´ecessaire un calibrage euclidien ou m´etrique. Si seulement une partie des param`etres du calibrage peut ˆetre d´etermin´ee, la structure 3D recons-truite sera ´eventuellement moins riche que m´etrique. Parmi les calibrages partiels, nous distinguons les calibrages affine et projectif, qui permettent d’obtenir respectivement une reconstruction affine ou projective de la sc`ene. Ces reconstructions contiennent des informations moins riches que les re-constructions m´etriques, mais peuvent n´eanmoins s’av´erer utiles. Une reconstruction affine pr´eserve le parall´elisme et permet de mesurer les rapports de distances entre des points sur des segments de droite parall`eles. Une reconstruction projective pr´eserve la collin´earit´e de points et on peut y mesurer les birapports de points collin´eaires.