La contrainte ´epipolaire pour les quadriques

quadrique et les droites ´epipolaires en induites sont tangentes aux coniques image. Donc, les droites ´epipolaires tangentes aux coniques image se correspondent.

imageq 1etq

2peut s’´ecrire comme :

q T 2 F 12 q 1 =0 :

Cette ´equation exprime queq

2 se trouve sur la droite ´epipolaire correspondante `aq

1et qui est don-n´ee par l

2 = F

12 q

1. La transposition de l’´equation donne le r´esultat analogue dans l’autre sens :

q T 1 F T 12 q 2 =q T 1 F 21 q 2 =0, c’est-`a-dire queq

1 se trouve sur la droite ´epipolaire correspondante `aq 2, l 1 =F 21 q 2.

Jusqu’alors nous avons travaill´e dans les rep`eres pixels. Si l’information du calibrage des deux vues est disponible, on peut remonter aux rep`eres image. Soient K

1 et K

2 les deux matrices des param`etres intrins`eques. Transformer les points image via K

,1 1 et K ,1 2 implique la transformation suivante de la matrice fondamentale :

E=K T 2 FK 1 :

La matrice Eest appel´ee matrice essentielle ; elle repr´esente la g´eom´etrie ´epipolaire calibr´ee. Elle contient toute l’information sur le mouvement des cam´eras, qui peut ˆetre extraite des seules images. SoientR

1,R 2,t

1ett

2les orientations et positions des deux cam´eras. La matrice essentielle est donn´ee par : E=[R 2 (t 1 ,t 2 )] ^ R 2 R T :

2.3. LA G ´EOM ´ETRIE ´EPIPOLAIRE 17

Le fait queEest le produit d’une matrice anti-sym´etrique et d’une autre orthogonale, impose, outre la nullit´e de son d´eterminant, la contrainte que ses deux valeurs singuli`eres non nulles soient ´egales [101]. Il est possible d’extraire, deE, l’orientation relative entre les deux cam´eras, c’est-`a-dire le d´eplacement rigide entre elles, mais, comme il est connu, seulement `a un facteur d’´echelle global pr`es : on peut juste d´eterminer la direction de la translation entre les cam´eras, non son amplitude. Afin d’´eviter des confusions concernant la notion classique de l’orientation relative, nous introduisons ici la rotation relative, qui d´ecrit uniquement la partie rotationnelle du d´eplacement entre les deux cam´eras. La rotation relativeR=R

2 R

T

1 peut ˆetre d´etermin´ee `a partir de la matrice essentielle. Deux solutions sont obtenues (´etant donn´e une solution, la deuxi`eme est obtenue en rajoutant une rotation de 180



autour de la droite de translation). En pratique on peut g´en´eralement rejeter une de ces 2 solutions.

La matrice essentielle a ´et´e introduite par Longuet-Higgins [112] et utilis´ee par beaucoup de cher-cheurs pour l’estimation du mouvement entre deux cam´eras calibr´ees [103, 112, 147, 212, 223, 240]. Une fois le mouvement d´etermin´e, il est ais´e d’´etablir deux matrices de projection afin de recons-truire la sc`ene par triangulation. La matrice essentielle contient donc toute l’information n´ecessaire pour obtenir une reconstruction euclidienne de la sc`ene. Son analogue non calibr´e, la matrice fonda-mentale, permet de trouver la structure projective de la sc`ene [63, 72], ainsi que deux informations sur le calibrage des deux cam´eras [69, 77] (voir aussi 6.2.1.6).

2.3.2 Estimation de la matrice fondamentale

Il y a une multitude de m´ethodes d’estimation de la matrice fondamentale, presque toutes utili-sant uniquement des correspondances de points image comme donn´ees [21, 46, 71, 110, 114, 116, 156, 204, 236, 237]. Ces m´ethodes se distinguent surtout dans la param´etrisation deF et le crit`ere d’optimisation. Nous n’allons pas d´ecrire ces m´ethodes en d´etail, mais renvoyons aux nombreuses r´ef´erences cit´ees ci-dessus. Ici, nous allons juste ´etudier deux crit`eres d’optimisation, afin de pr´eparer la discussion sur l’optimalit´e d’une m´ethode de triangulation que nous proposons en chapitre 4.

Il est g´en´eralement admis que le mieux qu’on puisse faire pour l’estimation de la matrice fonda-mentale est d’utiliser une m´ethode it´erative, en partant d’une bonne initialisation. Le crit`ere de mini-misation le plus souvent utilis´e pour les m´ethodes it´eratives est la somme des carr´es des distances des points image `a leurs droites ´epipolaires [114] :

b F=argmin n X p=1 (d(q 1p ;F T q 2p ) 2 +d(q 2p ;Fq 1p ) 2 ) ; (2.2)

´eventuellement incluant une pond´eration des termes bas´ee sur l’incertitude des coordonn´ees des points image.

Hartley a remarqu´e [71] que, sous l’hypoth`ese d’un bruit gaussien dans les coordonn´ees des points image, ce crit`ere ne donne pas la matrice fondamentale statistiquement optimale (au sens du maxi-mum de vraisemblance). Il faudrait plutˆot d´eterminer et la matriceb

Fet des points image corrig´esb q 0 ip

tels que ces points satisfassent exactement la contrainte ´epipolaire donn´ee parb

Fet que la somme des carr´es des distances des points corrig´es `a ceux mesur´es soit minimale :

f b F;qb 0 11 ;::: ;bq 0 1n ;bq 0 21 ;::: ;qb 0 2n g=argmin P n p=1 (d(q 1p ;q 0 1p ) 2 +d(q 2p ;q 0 2p ) 2 ) sous la contrainte q 0 2 T Fq 0 1 =0 : (2.3)

Les inconv´enients du crit`ere (2.3) sont le nombre ´elev´e des inconnues et le besoin d’une m´ethode d’estimation it´erative. En effet, minimiser (2.3) revient `a effectuer, implicitement, une reconstruction projective optimale, c’est-`a-dire qui minimise les erreurs de reprojection (voir 3.7).

Trivedi a d´ej`a appliqu´e le crit`ere (2.3) pour l’estimation de la matrice essentielle [211]. Shapiro

et al. montrent dans [172] que, pour le cas de la g´eom´etrie ´epipolaire de cam´eras affines, la

minimi-sation de (2.3) ne n´ecessite pas la prise en compte d’inconnues pour les points image corrig´es. Nous red´erivons ce r´esultat en 4.6.1, o`u nous consid´erons la triangulation de points 3D avec des cam´eras affines. Notamment, nous montrons une expression simple qui donne les points corrig´es optimauxbq

0 ip

en fonction des coefficients de la((matrice fondamentale affine)).

2.3.3 Parties sym´etrique et anti-sym´etrique de la matrice fondamentale Les parties sym´etrique et anti-sym´etrique de la matrice fondamentale,F

s =F + F T etF a =F , F T , ont une interpr´etation g´eom´etrique int´eressante, que nous d´ecrivons dans la suite.

2.3.3.1 La partie sym´etrique

Consid´erons un point 3DQ, dont les projections dans les deux images ont les mˆemes coordonn´ees homog`enes,q

1 q

2. Nous pouvons alors ´ecrire la contrainte ´epipolaire pour ces deux points comme

q T 1 Fq 1 =0ouq T 1 F T q 1

=0. L’addition de ces ´equations donne :

q T 1 F s q 1 =0 :

Il est tentant d’interpr´eter la matrice sym´etriqueF

scomme une conique. En effet, si l’on repr´esente les deux ´epipˆoles et les faisceaux ´epipolaires dans le mˆeme rep`ere,F

sest la matrice de la conique de Steiner (voir 2.7.4) construite par les faisceaux ´epipolaires (voir la figure 2.6). Donc,F

sest le lieu de tous les points imageqpour lesquels il existe un point 3DQtel queqP

1 QP 2 Q. 2.3.3.2 La partie anti-sym´etrique Soitq

ale noyau de la matrice anti-sym´etriqueF

a, c’est-`a-dire que(F,F T )q a =0ou, autrement dit,F a =[q a ] ^. Il en d´ecoule queFq a =F T q

a. Nous pouvons interpr´eterl a

=Fq

acomme une droite ´epipolaire dans la deuxi`eme image, qui passe donc par le deuxi`eme ´epipˆole. De mˆeme,l

a = F

T q

a

repr´esente une droite ´epipolaire dans la premi`ere vue, passant par le premier ´epipˆole. l

a est donc la droite reliant les ´epipˆoles (alg´ebriquement, et non pas au sens g´eom´etrique 3D).

Il est facile de montrer que le pointq

an’est rien d’autre que le pˆole del

apar rapport `a la conique

F s(cf. la figure 2.6) : F s q a =(F+F T )q a =Fq a +F T q a =2Fq a l a : F s et F

a sont une repr´esentation presque unique de la g´eom´etrie ´epipolaire : les ´epipˆoles sont les deux intersections del

aavec la conique F

s. Pour un point image donn´e, on d´etermine sa droite ´epipolaire dans l’autre image comme suit : on relie le point avec l’´epipˆole de son image et d´etermine le point d’intersection de cette droite avec F

s. La droite reliant le point d’intersection avec l’autre ´epipˆole est la droite ´epipolaire cherch´ee. La seule ind´etermination est l’attribution des deux ´epipˆoles aux deux images.

2.3. LA G ´EOM ´ETRIE ´EPIPOLAIRE 19 Épipôle Épipôle s