2.3 La g´eom´etrie ´epipolaire
2.3.4 La matrice fondamentale pour des mouvements particuliers
Dans ce paragraphe, nous consid´erons le cas du mouvement d’une cam´era, incluant ´eventuelle-ment un change´eventuelle-ment de focale ou une mise au point. Pour des mouve´eventuelle-ments particuliers, la matrice fondamentale peut prendre des formes particuli`eres d´ependant de moins de param`etres que la forme g´en´erale. Ces formes particuli`eres deFont d´ej`a ´et´e ´etudi´ees par Torr et al. [204] et Vi´eville et Lin-grand [215]. Torr propose une m´ethode robuste de choix de mod`ele pour la matrice fondamentale, afin de trouver la forme minimale de la matrice fondamentale, qui correspond bien `a la nature du mouve-ment sous-jacent. Vi´eville et Lingrand ´etudient commouve-ment des formes particuli`eres deFpermettent de simplifier les ´equations de Kruppa [108, 123] et ainsi de simplifier et stabiliser l’auto-calibrage bas´e sur ces ´equations (voir 6.2.3.3).
Nous d´ecrivons, dans la suite, des formes particuli`eres deFpour certains types de mouvements. Dans la section 4.6, ces formes particuli`eres sont exploit´ees afin de simplifier la triangulation de points 3D `a partir de deux vues. Le tableau 2.1 sur la page 25 r´esume les diff´erentes formes (d’autres formes particuli`eres peuvent ˆetre trouv´ees dans [215]).
2.3.4.1 Translation pure
Pour une translation pure entre deux vues (les param`etres intrins`eques restent constants), F est anti-sym´etrique : F=[e] ^ = 0 @ 0 ,e 3 e 2 e 3 0 ,e 1 ,e e 0 1 A ;
o`ue= (e 1 ;e 2 ;e 3 ) T
est l’´epipˆole, qui est commun aux deux images. La construction deFimplique qu’elle est de rang 2.
2.3.4.2 Cam´eras affines
Pour une cam´era affine [134], le plan `a l’infini est projet´e sur la droite `a l’infini du plan image. Consid´erons une paire de cam´eras affines. Leurs centres optiques se trouvent `a l’infini, donc les ´epipˆoles sont des points `a l’infini dans les images. En outre, les droites `a l’infini des plans image sont des droites ´epipolaires correspondantes. La matrice fondamentale affine a donc la forme particuli`ere suivante [172] : F= 0 @ 0 0 a 0 0 b c d e 1 A : (2.4)
La construction deFimplique qu’elle est de rang au plus 2. 2.3.4.3 Zoom et mise au point
Nous consid´erons le cas d’un changement de focale et ´eventuellement d’une mise au point d’une cam´era qui ne se d´eplace pas. Les syst`emes m´ecaniques et optiques sont complexes et relativement difficiles `a mod´eliser, donc nous adoptons les hypoth`eses faites par Vi´eville et Lingrand [215] : la mise au point et le changement de focale peuvent ˆetre mod´elis´es par un changement de quelques param`etres intrins`eques (point principal et distance focale) et d’une translation du centre optique. La taille des pixels, l’angle entre les axes des pixels et l’orientation de la cam´era sont suppos´es rester constant. Soient : K 1 = 0 @ 1 s u 1 0 1 v 1 0 0 1 1 A K 2 = 0 @ 2 s u 2 0 2 v 2 0 0 1 1 A
les matrices des param`etres intrins`eques avant et apr`es le mouvement. Soittle vecteur de translation du d´eplacement du centre optique. La matrice fondamentale se calcule d’apr`es (voir la section 2.6) :
F=K ,T 2 [t] ^ K ,1 1 :
Cette forme de la matrice fondamentale est relativement compliqu´ee, mais des contraintes entre ses coefficients permettent de d´eriver une forme g´en´erique qui ne d´epend que de 5 param`etres :
F 0 @ 0 1 a ,1 b c d e ae,cd+abd 1 A :
Nous consid´erons des combinaisons des cas particuliers suivants :
. les pixels sont rectangulaires (=90
ous=0) ;
. la translation du centre optique s’effectue le long de l’axe optique (t=(0;0;t 3
) T
) ;
. la translation du centre optique s’effectue dans le plan focal (t=(t 1 ;t 2 ;0) T ) ;
2.3. LA G ´EOM ´ETRIE ´EPIPOLAIRE 21
. le point principal reste fixe.
Les diff´erentes formes deFsont regroup´ees dans le tableau 2.1 sur la page 25. Notons que l’hypoth`ese de pixels carr´es ( =1) n’apporte pas de simplifications suppl´ementaires par rapport au cas de pixels
rectangulaires.
2.3.4.4 Rotation autour d’un axe fixe
Nous consid´erons le cas d’une cam´era avec des param`etres intrins`eques fixes, qui effectue une rotation pure, autour d’un axe qui ne passe pas par le centre de projection. C’est le mouvement de base pour le cas du mouvement planaire, c’est-`a-dire o`u la cam´era se d´eplace dans un plan et effectue des rotations autour d’axes perpendiculaires au plan de mouvement (voir 6.2.3.2 pour l’auto-calibrage bas´e sur de tels mouvements).
Les points 3D dont les projections dans les deux images sont identiques, sont montr´es dans la figure 2.7 (a) : il s’agit des points sur l’axe de rotation et sur le cercle dans le plan de mouvement qui passe par les deux centres de projection et l’axe de rotation. La conique de Steiner repr´esent´ee par la partie sym´etrique deF, d´eg´en`ere en une paire de droites (voir la figure 2.7 (b)). Il en d´ecoule une contrainte suppl´ementaire sur la matrice fondamentale :
detF s =det (F+F T )=0 : (2.5) Notons l
r l’image de l’axe de rotation, etl
h la(( ligne d’horizon )), l’image du plan de mouve-ment. Nous d´erivons maintenant une param´etrisation pour la matrice fondamentale qui engendre la contrainte (2.5). Pour ce faire, nous suivons la construction g´eom´etrique de la corr´elation repr´esen-t´ee parF (cf. figure 2.7 (c)) : soitq
1 un point dans la premi`ere image ; sa droite ´epipolaire dans la deuxi`eme image est obtenue par :
l 2 Fq 1 e 2 ^(l r ^(e 1 ^q 1 )) :
En repr´esentation matricielle ceci s’´ecrit comme :
Fq 1 [e 2 ] ^ [l r ] ^ [e 1 ] ^ q 1 :
Puisque ceci est valable pour tous les points q
1, nous pouvons identifier la matrice fondamentale comme : F[e 2 ] ^ [l r ] ^ [e 1 ] ^ : (2.6)
F peut donc ˆetre param´etr´ee par les deux ´epipˆoles et l’image de l’axe de rotation (il y a encore d’autres possibilit´es). Chacune de ces trois entit´es n’est d´efinie qu’`a un scalaire pr`es, ce qui fait que
Fest d´efinie par 6 param`etres. Ceci est en accord avec le fait que la contrainte (2.5) diminue de 1 le nombre de param`etres deF.
Plusieurs cas particuliers existent, dont le plus int´eressant sera d´evelopp´e dans la suite. Consid´e-rons une cam´era avec des pixels rectangulaires et supposons que l’axede rotation est parall`ele au plan image et, de plus, `a un des axes des pixels (voir la figure 2.8). Il s’agit d’une configuration st´er´eo typique que l’on retrouve fr´equemment pour les((tˆetes st´er´eo)). Nous consid´erons le cas o`u l’axe de rotation est parall`ele `a l’axe desv.
La matrice fondamentale prend la forme suivante :
F= 0 @ 0 ,cos 2 v 0 cos 2 cos 1 0 u sin 1 ,u 0 cos 1
,v cos u cos , sin v ( (sin ,sin )+u (cos ,cos )) 1 A
Axe de rotation
, plan de mouvement
(a) Les points 3D avec des projections fixes sont ceux sur l’axe de rotation et sur le cercle dans le plan du mouvement qui passe par les deux centres de projection et l’axe de rotation.
l r h l e1 2 e
(b) La conique de Steiner qui contient les projections des points 3D de la figure (a) est une conique d´eg´en´er´ee, consistant de deux droites :lr est l’image de l’axe de rotation etl
h la((ligne d’horizon )), c’est-`a-dire la projection du plan de mouvement. Les deux ´epipˆoles se trouvent ´evidemment surlh.
l r h l e1 2 e q 1 2 l
(c) La construction de la droite ´epipolairel 2
correspondante au pointq1. Reliere2avec le point d’intersection del ret la droitehe 1 q 1 i donnel2.
FIG. 2.7: G´eom´etrie ´epipolaire pour une rotation autour d’un axe fixe.
o`uu 0
;v 0
;
u sont les param`etres intrins`eques de la cam´era et 1 et
2.3. LA G ´EOM ´ETRIE ´EPIPOLAIRE 23
1 2
FIG. 2.8: Configuration g´eom´etrique d’une tˆete st´er´eo. Les grilles de pixels sont esquiss´ees pour
illustrer qu’il n’y a pas de rotation autour des axes optiques.
pouvons identifier les param`etres suivants :
a = ,cos 2 b = v 0 c = ,cos 1 d = u sin 1 ,u 0 cos 1 e = u 0 cos 2 , u sin 2 ;
avec lesquels la matrice fondamentale s’´ecrit comme :
F= 0 @ 0 a ,ab ,c 0 d bc e ,b(d+e) 1 A :
Dans le cas d’une (( tˆete st´er´eo sym´etrique )), c’est-`a-dire o`u les angles de vergence sont oppos´es (
2 =,
1), la matrice fondamentale se simplifie davantage :
F= 0 @ 0 cos ,v 0 cos cos 0 u sin,u 0 cos ,v 0 cos , u sin,u 0 cos 2u 0 v 0 cos 1 A :
Avec les param`etres :
a = cos b = v 0 c = u sin d = u 0 cos ;
la matrice fondamentale s’´ecrit comme :
F= 0 @ 0 a ,ab a 0 c,d 1 A :
Une forme similaire peut ˆetre d´eriv´ee pour un axe de rotation parall`ele `a l’axe des