Ce probl`eme a ´et´e ´evoqu´e par Olivier Faugeras et Long Quan et nous donnons ici une solution relativement simple.
Nous d´eveloppons une ´equation qui peut ˆetre consid´er´ee comme l’analogue des ´equations de Kruppa de vues habituelles. Rappelons que le calibrage d’une cam´era est acquis si l’image de la quadrique absolue de l’espace analogue est d´etermin´ee. Pour une cam´era habituelle, il s’agit de la projection de la conique absolue, qui est aussi une conique dans l’image. Pour ce qui est des cam´eras lin´eaires, la quadrique absolue (du plan) est une conique de deux points, les points cycliques, tout comme sa projection. Les ´equations de Kruppa pour d´eterminer l’image de la conique absolue sont bas´ees sur la g´eom´etrie ´epipolaire et ne sont en effet rien d’autre que des contraintes d’appariement bifocales de coniques, sp´ecialis´ees aux cas de coniques identiques dans les vues (cf. 6.4.3). Quant aux cam´eras lin´eaires, il n’existe pas de contrainte d’appariement entre deux vues, mais un tenseur trifocal tr`es simple (voir 2.4.1).
L’´equivalent des ´equations de Kruppa serait une contrainte d’appariement de coniques (de deux points) entre trois vues, bas´ee sur le tenseur trifocal. Le transfert de coniques de deux vues lin´eaires vers une troisi`eme est relativement direct, mais il existe deux solutions : les coniques sont compo-s´ees de deux points chacune ce qui donne lieu `a deux possibilit´es pour l’appariement des points des coniques entre deux vues. `A ce point, nous devons noter une propri´et´e des points cycliques qui va simplifier le probl`eme : non seulement l’image de la conique form´ee des deux points cycliques reste fixe pour une cam´era en mouvement, mais aussi la projection des points cycliques individuels. Donc, il n’est pas n´ecessaire de consid´erer un transfert de coniques. Tout ce qu’il faut faire est de chercher les images des points cycliques parmi les points fixes dans les trois vues. Ceci se fait simplement en exprimant la relation trilin´eaire pour trois points image avec les mˆemes coordonn´ees et de r´esoudre cette ´equation pour ces coordonn´ees image :
G 222 u 1 u 1 u 1 =0 : (6.6)
6.3. AUTO-CALIBRAGE D’UNE CAM ´ERA LIN ´EAIRE 117
Nous avons normalis´e la deuxi`eme coordonn´ee `a1, ce qui n’engendre aucun probl`eme puisque les images des points cycliques doivent ˆetre des points finis (il y a un seul point `a l’infini sur la droite image, et celui-ci est un point r´eel). L’´equation (6.6) est cubique enu:
G 111 u 3 +(G 112 +G 121 +G 211 )u 2 +(G 122 +G 212 +G 221 )u+G 222 =0 :
Dans le cas g´en´eral, cette ´equation a exactement trois racines. Parmi ces racines il y a les coordonn´ees des images des points cycliques, qui sont des points imaginaires conjugu´es. Les images des points cycliques peuvent donc ˆetre d´etermin´ees, puisque la troisi`eme racine est r´eelle. Cette troisi`eme racine correspond `a un point r´eel dont l’image reste fixe dans les trois vues (voir la figure 6.3). Ce point n’a pas de signification pour le probl`eme de l’auto-calibrage. Le mˆeme point est d´ej`a apparu dans l’approche de Armstrong et al. pour l’auto-calibrage `a partir de mouvements planaires [6] (cf. 6.2.3.2). La d´etermination de la structure euclidienne du plan de mouvement (et des plans parall`eles) est une sous-´etape de l’approche de Armstrong et peut ˆetre consid´er´ee comme l’auto-calibrage de la cam´era lin´eaire obtenue par restriction des projections du monde 3D sur les points du plan de mouvement.
Vue 1
Vue 2 Vue 3
Le troisième point avec des projections identiques
FIG. 6.3: Le troisi`eme point avec des projections identiques, en dehors des deux points cycliques.
Pour toute paire de vues, les points 2D avec des projections identiques se trouvent sur une conique de Steiner. La construction de cette conique pour deux vues est esquiss´ee par quelques points d’intersec-tion de rayons de projecd’intersec-tion de points image avec les mˆemes coordonn´ees. Les projecd’intersec-tions des points cycliques sont identiques dans toutes les vues. Les points cycliques sont alors sur toutes les coniques de Steiner consid´er´ees ; par cons´equent, ces coniques sont des cercles. Les trois cercles, associ´es aux trois paires de vues, ont trois points en commun : les deux points cycliques et un troisi`eme point qui est r´eel.
6.3.1 D´eg´en´erescence de l’´equation d’auto-calibrage
Nous ´evoquons bri`evement les situations o`u l’´equation (6.6) d´eg´en`ere. Puisqu’il y a toujours deux solutions complexes conjugu´ees (les images des points cycliques), il ne peut y avoir que deux
possibilit´es pour la d´eg´en´erescence : le degr´e de l’´equation se r´eduit `a 2 – dans ce cas l’auto-calibrage est toujours possible – ou bien l’´equation devient une tautologie. Dans le dernier cas, tous les couples de points imaginaires conjugu´es peuvent ˆetre confondues avec les images des points cycliques. Il y a donc au moins une famille de solutions pour l’auto-calibrage. L’´equation devient une tautologie, si tous les termes disparaissent et c’est exactement le cas si les conditions suivantes sont satisfaites :
G 111 = 0 G 112 +G 121 +G 211 = 0 G 122 +G 212 +G 221 = 0 G 222 = 0 :
Il est certainement possible de d´eterminer les mouvements de cam´era qui correspondent `a ces ´equa-tions. Dans la section 7.8, nous poursuivons une autre approche pour d´eterminer les s´equences de
mouvements critiques, pour un nombre quelconque de vues.
L’auto-calibrage d’une cam´era lin´eaire avec plusieurs vues pourrait ˆetre effectu´e de mani`ere ana-logue aux diff´erentes approches pour les cam´eras habituelles, d´ecrites au 6.2.1.
6.3.2 Calibrage pour une rotation pure
Comme les cam´eras habituelles, les cam´eras lin´eaires peuvent ˆetre calibr´ees `a l’aide d’images prises en rotation pure (cf. 6.2.3.1). Tandis que le calibrage de cam´eras habituelles requiert au moins deux rotations (avec des axes diff´erentes), la cam´era lin´eaire peut ˆetre calibr´ee apr`es une seule rotation (cf. la d´erivation des s´equences critiques en 7.8).
Les ´equations pour le calibrage sont analogues au cas de vues habituelles (voir l’annexe C). Nous ne r´ep´etons pas ces d´eveloppements ici, mais donnons une solution explicite pour le calibrage. Soit
H
22l’homographie entre les deux vues prises en rotation. Nous imposons que son d´eterminant soit ´egal `a 1, ce qui fait que nous pouvons l’´ecrire sous la forme :
H= a b c 1 a (1+bc) :
L’´equation de calibrage (cf. (C.1)) est :
HKK T H T =KK T :
La solution de cette ´equation pour la matrice sym´etriqueKK T donne : KK T = , b c a 2 ,bc,1 2ac a 2 ,bc,1 2ac 1 ! :
Nous pouvons en extraire directement la matrice des param`etres intrins`eques :
K= p ,(a 2 +2a+bc+1)(a 2 ,2a+bc+1) 2ac a 2 ,bc,1 2ac 0 1 ! :