D´erivation alg´ebrique des s´equences critiques

.

concluons que la s´equence est critique mˆeme si la cam´era effectue des rotations quelconques. Ceci n’est pas ´etonnant : aucune reconstruction, ni projective ni euclidienne, n’est possible avec des images prises du mˆeme point de vue, et des rotations arbitraires n’y changent rien.

Consid´erons maintenant le cas g´en´eral o`u le rayon de est non nul. SoitQun point quelconque etCun centre de projection, tous deux sur . D’apr`es le th´eor`eme de Chasles, le birapport des droites

hC;Qi,hC;Q I

i,hC;IiethC;Jiest le mˆeme pour tous les centres de projectionC. Par cons´equent, le birapport des projections deQ;Q

I

;IetJest le mˆeme dans toutes les vues. Puisque les projections de Q

I

;I etJ sont identiques dans toutes les vues, il en est de mˆeme pour les projections deQ

2. Comme nous avons pris pourQ un point quelconque sur , nous avons alors d´eriv´e une condition n´ecessaire sur les rotations relatives : la s´equence est critique si et seulement si les projections de tous les points de sont identiques dans toutes les vues. Nous pouvons constater que tous les points imaginaires sur sont des points cycliques potentiels. Dans la figure 7.9 nous montrons un exemple d’une telle s´equence critique.

7.8.2 D´erivation alg´ebrique des s´equences critiques

Nous red´erivons les s´equences de mouvements critiques de mani`ere alg´ebrique, afin d’illustrer notre mani`ere de proc´eder pour les autres mod`eles de cam´era. Les r´esultats qui sont rapport´es dans la suite sont bien sˆur identiques aux r´esultats du paragraphe pr´ec´edent.

SoitQ I

un faux point cyclique. Consid´erons une position de cam´era initiale repr´esent´ee parR 1et

t

1. Nous d´eterminons les s´equences de mouvements critiques par rapport `aQ I

en d´eterminant toutes les autres positions de cam´era pour lesquelles Q

I

a la mˆeme projection que dans la vue initiale, i.e. nous cherchons tous lesR

2ett 2avec : R 2 ( I j,t 2 )Q I  R 1 ( I j,t 1 )Q I : SoitR=R T 2 R

1la rotation relative entre les vues1et2. La condition de la projection identique deQ I

dans les deux vues s’exprime alors par :

( I j,t 2 )Q I  R( I j,t 1 )Q I : (7.1)

Au lieu de d´eterminer directement les rotations R

2, nous consid´erons alors les rotations relatives R

entre les vues. Nous s´eparons les d´erivations en deux parties, selon queQ I

se trouve `a l’infini ou non.

7.8. S ´EQUENCES CRITIQUES DE LA CAM ´ERA LIN ´EAIRE 141

Le point qui est fixé au centre des images

FIG. 7.9: Nous savons d´ej`a que les centres de projection dans une s´equence qui est critique par

rap-port `a un point non `a l’infini se trouvent sur un cercle . En plus, les rotations des vues doivent ˆetre coh´erentes : tous les points du cercle ont la mˆeme projection dans toutes les vues. Dans cette figure, nous illustrons ceci pour le cas du point qui se projette sur le centre de l’image. Sur la gauche, nous affichons des vues regardant vers l’int´erieur du cercle et sur la droite des vues regardant vers l’ex-t´erieur ; ceci pour illustrer que des rotations de180



n’affectent pas la transformation de projection d’une cam´era lin´eaire.

7.8.2.1 Points cycliques potentiels `a l’infini SoitQ I donn´e par : Q I  Q I 0 ! :

L’´equation (7.1) s’´ecrit alors comme :

Q I

 RQ I

: (7.2)

On constate que les positionst

i des centres de projection n’ont aucune importance, comme c’est le cas pour les projections de tous les points `a l’infini. L’´equation (7.2) signifie queQ

I

est un vecteur propre deR. Toute matrice de rotation 22 a les deux points (1;I)

T

comme vecteurs propres. Le cas queQ

I

est l’un de ces deux points signifie queQ I

est un vrai point cyclique. Nous ne nous int´eressons qu’`a des faux points cycliques : les seules rotations avec d’autres vecteurs propres que ceux mentionn´es sont les rotations d’angle 0



ou 180 

. Par cons´equent, pour qu’il existe un faux point cyclique il faut que les rotations relatives entre des paires de vues soient des rotations de0



ou

180 

. Les mouvements de cam´era dans la s´equence critique sont donc exactement des translations pures, suivies ´eventuellement de rotations de180



.

De telles rotations sont repr´esent´ees par la matrice identit´e (`a un facteur 1pr`es) ce qui veut dire que tous les points `a l’infini sont projet´es sur des points identiques dans toutes les vues. Par

cons´equent, s’il existe un seul faux point cyclique, tous les points imaginaires sur la droite `a l’infini sont des points cycliques potentiels.

7.8.2.2 Points cycliques potentiels finis

Dans la section 7.7, nous avons d´ej`a mentionn´e que le rep`ere euclidien du monde peut ˆetre choisi de mani`ere arbitraire. Donc, sans perte de g´en´eralit´e, nous pouvons supposer queQ

I

est donn´e par :

Q I  0 @

aI

0 1 1 A

;

pour un scalaire r´eel et non nul

a

. Une des contraintes sur les points cycliques potentiels est que leurs projections sont des points imaginaires. Nous devons alors exclure le cas d’un centre de projection sur la droite engendr´ee parQ

I

et son point conjugu´e. Dans notre cas, il s’agit de la droite

Y

=0, et nous pouvons supposer que :

t

i2

6=0

; i

=1

;:::;m :

(7.3)

L’´equation (7.1) s’´ecrit comme :



aI

,

t

21 ,

t

22   R 

aI

,

t

11 ,

t

12 

:

(7.4)

Si nous repr´esentons la rotation relativeRpar :

R=  cos



,sin



sin



cos





;

l’´equation (7.4) devient : 

aI

,

t

21 ,

t

22   

aI

cos



,

t

11 cos



+

t

12 sin



aI

sin



,

t

11 sin



,

t

12 cos





:

La multiplication crois´ee des coefficients de ces vecteurs donne :

cos



(

t

11

t

22 ,

t

12

t

21 )+sin



(

a

2 ,

t

12

t

22 ,

t

11

t

21 )+

aI

(cos



(

t

12 ,

t

22 )+sin



(

t

11 +

t

21 )) = 0

:

Nous obtenons donc deux ´equations, dues `a l’annulation des parties r´eelle et imaginaire de cette ´equation : cos



(

t

11

t

22 ,

t

12

t

21 )+sin



(

a

2 ,

t

12

t

22 ,

t

11

t

21 ) = 0 (7.5) cos



(

t

12 ,

t

22 )+sin



(

t

11 +

t

21 ) = 0

:

(7.6)

Positions du centre de projection. Calculer la tangente de



avec les deux ´equations et les mettre `a ´egalit´e m`ene `a une ´equation en termes des seules positions des centres de projectiont

1ett 2:

t

12

t

2 21 +

t

12

t

2 22 ,(

t

2 12 +

t

2 11 )

t

22 +

a

2 =0

:

7.8. S ´EQUENCES CRITIQUES DE LA CAM ´ERA LIN ´EAIRE 143

C’est une ´equation quadratique en les coefficients det

2, repr´esent´ee par une matrice sym´etrique :

(t 21 ;t 22 ;1) 0 @ t 12 0 0 0 t 12 , 1 2 (a 2 +t 2 11 +t 2 12 ) 0 , 1 2 (a 2 +t 2 11 +t 2 12 ) a 2 t 12 1 A | {z } 0 @ t 21 t 22 1 1 A =0 : (7.7)

La matrice repr´esente un cercle, centr´e `a :

C = 0 B @ 0 a 2 +t 2 11 +t 2 12 2t12 1 1 C A :

Nous pouvons conclure que les cam´eras dans une s´equence critique par rapport `a Q I

doivent se d´eplacer sur un cercle, qui est d´etermin´e parQ

I

et la positiont

1de la vue initiale.

Nous examinons maintenant s’il existent des cas sp´eciaux o`u le cercle d´eg´en`ere. Le d´eterminant de est calcul´e comme :

det =, 1 4 t 12 ((a,t 12 ) 2 +t 2 11 )((a+t 12 ) 2 +t 2 11 ) :

Comme nous avons exclu le cast 12

= 0(cf. l’´equation (7.3)), il faut donc que les deux conditions suivantes soient remplies pour que d´eg´en`ere :

t 11 = 0 (7.8) t 12 = a : (7.9)

Sous ces conditions, devient :

= 0 @ a 0 0 0 a ,a 2 0 ,a 2 a 3 1 A ;

ce qui repr´esente une conique de deux droites imaginaires, dont le point d’intersection est le seul point r´eel³. Autrement dit, est un cercle de rayon nul. Le point r´eel de est donn´e par(0;a;1)

T

, ce qui n’est rien d’autre que la position de cam´era initiale (cf. les ´equations (7.8) et (7.9)). Nous en concluons que, si la vue initiale est prise de cette position, les autres vues doivent ´egalement ˆetre prises de cette position pour que la s´equence soit critique par rapport `aQ

I

.

Rotations de la cam´era. Apr`es avoir trait´e les positions des centres de projection, il nous reste `a examiner les possibilit´es pour les rotations.

Consid´erons d’abord le cas sp´ecial o`u les centres de projection co¨ıncident tous au point(0;a;1) T

. ´

Evidemment, dans ce cas aucune reconstruction n’est possible puisqu’il n’y a pas d’information de profondeur. On peut v´erifier que les ´equations (7.5) et (7.6) deviennent des tautologies, comme sou-hait´e. Donc, mˆeme si la cam´era effectue des rotations quelconques autour du centre de projection, la s´equence d’images est critique (on verra plus bas que l’auto-calibrage est, en revanche, possible).

Regardons maintenant le cas o`u la cam´era se d´eplace sur un cercle de rayon non nul. Les ´equations (7.5) et (7.6) ne d´eg´en`erent pas ce qui veut dire qu’il y a une seule solution pour la tangente de l’angle

3. Les deux droites de la conique sont les droites isotropiques de leur point d’intersection [20], c’est-`a-dire les droites qui le relient aux deux points cycliques.

 de la rotation relative entre deux vues. Il y a donc deux rotations relatives possibles, qui diff`erent par une rotation de180



. La d´erivation d’une formule qui calcule en fonction de t 1 ;t 2 etQ I est facile.

Dans l’annexe D.1.2, nous prouvons un fait qui permet de d´ecrire les orientations relatives dans une s´equence critique de mani`ere plus illustrative. Notamment, non seulement les projections deQ

I

sont identiques dans toutes les vues, mais aussi les projections de tous les points sur le cercle , soient ils imaginaires ou r´eels !

Dans le document Vision 3D non calibrée : contributions à la reconstruction projective et étude des mouvements critiques pour l'auto-calibrage (Page 155-159)